Se presentan problemas de álgebra universitaria sobre la ecuación de la elipse. Más problemas sobre elipses con soluciones detalladas se incluyen en este sitio. Las soluciones a las preguntas a continuación se encuentran al final de la página.
¿Cuál es el eje mayor y su longitud para la siguiente elipse?
\[ \dfrac{1}{9}x^{2} + \dfrac{9}{25}y^{2} = \dfrac{1}{25} \]Una elipse está dada por la ecuación
\[ 8x^{2} + 2y^{2} = 32 \]Encuentre:
Encuentre la ecuación de la elipse cuyo centro es el origen de los ejes y tiene un foco en \( (0 , -4) \) y un vértice en \( (0 , -6) \).
Encuentre la ecuación de la elipse cuyos focos están en \( (0 , -5) \) y \( (0 , 5) \) y la longitud de su eje mayor es 14.
Una elipse tiene el eje x como eje mayor con una longitud de 10 y el origen como centro. Encuentre la ecuación de esta elipse si el punto \( (3 , \dfrac{16}{5}) \) se encuentra en su gráfica.
Una elipse tiene la siguiente ecuación
\[ 0.2x^{2} + 0.6y^{2} = 0.2 \]a) Encuentre la ecuación de la parte de la gráfica de la elipse dada que está a la izquierda del eje y.
Una elipse está dada por la ecuación
\[ \dfrac{(x - 1)^{2}}{9} + \dfrac{(y + 4)^{2}}{16} = 1 \]Encuentre:
Encuentre la ecuación de la elipse cuyos focos están en \( (-1 , 0) \) y \( (3 , 0) \) y la longitud de su eje menor es 2.
Una elipse está definida por sus ecuaciones paramétricas de la siguiente manera
\[ x = 6 \sin(t) \quad \text{y} \quad y = 4 \cos(t) \]Encuentre el centro, los ejes mayor y menor y sus longitudes de esta elipse.
Una elipse está dada por la ecuación
\[ 4x^{2} + 3y^{2} -16x + 18y = -31 \]Encuentre:
Multiplique todos los términos de la ecuación por 25 para obtener
\[ \dfrac{25}{9}x^{2} + 9y^{2} = 1 \]La ecuación anterior puede escribirse en la forma \( \dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \) de la siguiente manera
\[ \dfrac{x^{2}}{\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}} + \dfrac{y^{2}}{\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}} = 1 \]a) Divida todos los términos de la ecuación por 32 para obtener
\[ \dfrac{x^{2}}{4} + \dfrac{y^{2}}{16} = 1 \]La ecuación anterior puede escribirse como sigue
\[ \dfrac{x^{2}}{b^{2}} + \dfrac{y^{2}}{a^{2}} = 1 \]con \( a = 4 \) y \( b = 2 \) y \( a > b \). Por lo tanto, el eje mayor es el eje y y el eje menor es el eje x. La longitud del eje mayor = \( 2a = 8 \) y la longitud del eje menor = \( 2b = 4 \).
Tanto el foco como el vértice se encuentran en el eje y, lo que significa que el eje mayor es el eje y. La ecuación de la elipse tiene la forma
\[ \dfrac{x^{2}}{b^{2}} + \dfrac{y^{2}}{a^{2}} = 1 \]\( a \) es la distancia desde el centro de la elipse a un vértice y es igual a 6. \( c \) es la distancia desde el centro de la elipse a un foco y es igual a 4. Además, \( a \), \( b \) y \( c \) están relacionados de la siguiente manera
La ecuación de la elipse está dada por
\[ \dfrac{x^{2}}{20} + \dfrac{y^{2}}{36} = 1 \]De las coordenadas de los focos, \( c = 5 \) y el eje mayor es el eje y. De la longitud del eje mayor, obtenemos \( a = 7 \). También \( b^{2} = a^{2} - c^{2} = 24 \).
La ecuación de la elipse está dada por
\[ \dfrac{x^{2}}{24} + \dfrac{y^{2}}{49} = 1 \]La longitud del eje mayor es 10, por lo tanto \( a = 5 \) y la ecuación puede escribirse como sigue
\[ \dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \]Ahora usamos el hecho de que el punto \( (3 , \dfrac{16}{5}) \) se encuentra en la gráfica de la elipse para encontrar \( b^{2} \).
\[ \dfrac{3^{2}}{25} + \left(\dfrac{16}{5}\right)^{2} \dfrac{1}{b^{2}} = 1 \]Resuelva lo anterior para \( b \) y encuentre \( b = 4 \) y escriba la ecuación de la siguiente manera
\[ \dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{16} = 1 \]Una elipse tiene la siguiente ecuación
\[ 0.2x^{2} + 0.6y^{2} = 0.2 \]a) Resuelva la ecuación anterior para \( x \) y seleccione la solución para la cual \( x \) es positiva
Dada la ecuación
\[ \dfrac{(x - 1)^{2}}{9} + \dfrac{(y + 4)^{2}}{16} = 1 \]a) Elipse con centro en \( (h , k) = (1 , -4) \) con \( a = 4 \) y \( b = 3 \).
Encuentre la ecuación de la elipse cuyos focos están en \( (-1 , 0) \) y \( (3 , 0) \) y la longitud de su eje menor es 2.
Las ecuaciones paramétricas pueden escribirse de la siguiente manera: