Preguntas y Problemas de Álgebra Universitaria con Soluciones
muestra 7 : Ecuación del Círculo
Se presentan preguntas y problemas de álgebra universitaria sobre la ecuación del círculo. Las soluciones se encuentran al final de la página. En este sitio se incluyen tutoriales útiles sobre círculos.
Preguntas
Pregunta 1
Encuentra la ecuación de un círculo cuyo centro está en el punto \((-2 , 3)\) y su diámetro tiene una longitud de \(10\).
Pregunta 2
Encuentra el centro y el radio del círculo cuya ecuación está dada por \(x^2 + 4x + y^2 - 8y = 5\).
Pregunta 3
Encuentra una ecuación del círculo que es tangente a ambos ejes \(x\) e \(y\), con un radio de \(4\) y cuyo centro está ubicado en el segundo cuadrante.
Pregunta 4
Encuentra una ecuación del círculo cuyo centro está en el punto \((-4 , 6)\) y pasa por el punto \((1 , 2)\).
Pregunta 5
Encuentra una ecuación del círculo cuyo centro está en el punto \((-3 , 6)\) y es tangente al eje \(y\).
Pregunta 6
Encuentra una ecuación del círculo cuyo centro está en el punto \((2 , -5)\) y es tangente al eje \(x\).
Pregunta 7
Encuentra una ecuación del círculo cuyo diámetro tiene extremos en \((-5 , 2)\) y \( (3 , 6)\).
Pregunta 8
Encuentra las intersecciones con los ejes \(x\) e \(y\) de la gráfica del círculo dado por la ecuación
\(x^2 + 3x + y^2 - 4y = 18\)
Pregunta 9
¿El punto A(-3 , 8) está dentro, fuera o en el círculo cuya ecuación está dada por
\(x^2 + 4x + y^2 - 8y = 5\)?
Pregunta 10
Encuentra los puntos de intersección del círculo con ecuación
\((x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 40\)
y la línea con ecuación \(y = 3x\)
Pregunta 11
Se definen tres puntos de la siguiente manera: A(-2 , 1), B(6 , 1) y C(-2 , 7).
a) Encuentra el punto medio M del segmento BC.
b) Encuentra las longitudes de los segmentos de línea MA, MB y MC.
c) Encuentra la ecuación del círculo que pasa por los tres puntos A, B y C.
Soluciones a las Preguntas Anteriores
Solución a la Pregunta 1
Encuentra la ecuación de un círculo cuyo centro está en el punto \((-2 , 3)\) y su diámetro tiene una longitud de \(10\).
La ecuación estándar de un círculo con radio \(r\) y centro en el punto \((h , k)\) está dada por
\((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)
En este problema \(r = \frac{10}{2} = 5\) y \(h = -2\) y \(k = 3\).
La ecuación de este círculo está dada por: \((x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25\)
Solución a la Pregunta 2
Agrupa los términos en \(x\) y \(x^2\) y los términos en \(y\) y \(y^2\) en la ecuación dada
\((x^2 + 4x) + (y^2 - 8y) = 5\)
Completa los cuadrados dentro de los corchetes.
\((x^2 + 4x + 4 - 4) + (y^2 - 8y + 16 - 16) = 5\)
\((x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 25\).
Identifica lo anterior como la ecuación estándar de un círculo con centro \((-2 , 4)\) y radio \(5\).
Solución a la Pregunta 3
Encuentra una ecuación del círculo que es tangente a ambos ejes \(x\) e \(y\), con un radio de \(4\) y cuyo centro está ubicado en el segundo cuadrante.
Dado que el círculo es tangente al eje \(x\), la distancia desde el centro al eje \(x\) es igual al radio \(4\). De la misma manera, el círculo es tangente al eje \(y\) y, por lo tanto, la distancia desde el centro al eje \(y\) también es igual al radio. Por lo tanto, el centro tiene coordenadas \((-4 , 4)\). La ecuación de este círculo está dada por
\((x + 4)^2 + (y - 4)^2 = 16\)
Solución a la Pregunta 4
Primero necesitamos encontrar el radio, que está dado por la distancia desde el centro hasta el punto \( (1 , 2)\)
\(r = \sqrt{(6 - 2)^2 + (-4 - 1)^2} = \sqrt{41}\)
La ecuación está dada por
\((x + 4)^2 + (y - 6)^2 = 41\)
Solución a la Pregunta 5
Dado que el círculo es tangente al eje \(y\), el radio es igual a la distancia desde el centro hasta el eje \(y\), que es el valor absoluto de la coordenada \(x\) del centro, y eso es \(|-3| = 3\).
La ecuación está dada por
\((x + 3)^2 + (y - 6)^2 = 9\)
Solución a la Pregunta 6
Dado que el círculo es tangente al eje \(x\), el radio es igual a la distancia desde el centro hasta el eje \(x\), que es el valor absoluto de la coordenada \(y\) del centro, y eso es \(|-5| = 5\).
La ecuación está dada por
\((x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 25\)
Solución a la Pregunta 7
Primero encontramos el radio \(r\) que es la mitad de la longitud del diámetro
\(r = \frac{1}{2} \sqrt{64 + 16} = 2 \sqrt{5}\)
El centro \(C\) es el punto medio de \(A\) y \(B\): \(C(-1 , 4)\)
La ecuación está dada por: \((x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 20\)
Solución a la Pregunta 8
Intersección con el eje \(x\) (establece \(y = 0\) en la ecuación dada): \(x^2 + 3x = 18\)
resuelve para \(x\): \(x = 3\) y \(x = -6\) , 2 intersecciones con el eje \(x\): \((3 , 0)\) y \((-6 , 0)\)
Intersección con el eje \(y\) (establece \(x = 0\) en la ecuación dada): \(y^2 - 4y = 18\)
resuelve para \(y\): \(y = 2 - \sqrt{22}\) y \(y = 2 + \sqrt{22}\) , 2 intersecciones con el eje \(y\): \((0 , 2 - \sqrt{22})\) y \((0 , 2 + \sqrt{22})\)
Solución a la Pregunta 9
Primero escribimos la ecuación en forma estándar y encontramos el centro y el radio del círculo. Completando los cuadrados, la ecuación dada se puede escribir de la siguiente manera
\((x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 5^2\)
Centro en \((-2 , 4)\) y radio \(= 5\)
Ahora calculamos la distancia \(d\) desde el centro hasta el punto \(A(-3 , 8)\)
\(d = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} = 4.1\) (a la décima más cercana)
Dado que la distancia desde el centro al punto \(A\) es menor que el radio, el punto \(A\) está dentro del círculo.
Solución a la Pregunta 10
Necesitamos resolver el sistema de ecuaciones de la siguiente manera: Sustituye \(y\) por \(3x\) en la ecuación del círculo
\((x - 2)^2 + (3x - 6)^2 = 40\)
Resuelve para \(x\) para encontrar las soluciones: \(x = 0\) y \(x = 4\)
Usa \(y = 3x\) para encontrar los valores correspondientes de \(y\)
Para \(x = 0\) , \(y = 3x = 0\) y para \(x = 4\) , \(y = 12\).
Los puntos de intersección son: \((0 , 0)\) y \((4 , 12)\)
Solución a la Pregunta 11
a) \(M: (2 , 4)\)
b) \(L(MA) = \sqrt{16 + 9} = 5\)
\(L(MB) = \sqrt{16 + 9} = 5\)
\(L(MC) = \sqrt{16 + 9} = 5\)
c) Los tres puntos están a distancias iguales del punto \(M\) y, por lo tanto, el punto \(M\) es el centro del círculo; de ahí que la ecuación esté dada por
\((x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 25\)
Más Referencias y Enlaces
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