Preguntas y Problemas de Álgebra Universitaria con Soluciones muestra 6: Polinomios
Preguntas y problemas de álgebra universitaria sobre multiplicación, división y búsqueda de polinomios se presentan a continuación. Las soluciones se encuentran al final de la página.
Preguntas
Pregunta 1
Encuentra el producto de los polinomios \( P(x) = 2x^2 - 3x \) y \( Q(x) = 3x^2 + x - 5 \)
Pregunta 2
Encuentra el cociente y el resto cuando el polinomio \( P(x) = 2x^4 - x^3 -3x^2 + 7x - 13 \) se divide por \( Q(x) = x^2 - 4 \)
Pregunta 3
Encuentra el polinomio de cuarto grado \( P(x) \) cuya gráfica se muestra a continuación.
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Figura 1. Gráfica de polinomio de cuarto grado, pregunta 3
Pregunta 4
Encuentra el resto si \( 4 x^{200} + 5 x^{95} - 4 x^{21} + 2x - 6 \) se divide por \( x - 1 \)
Pregunta 5
Encuentra el polinomio de tercer grado con coeficiente principal -2 y que tiene ceros en 1, -2 y 3.
Pregunta 6
Encuentra todos los ceros del polinomio \( P(x) = 3x^4 + 26 x^3 + 74 x^2 + 74 x + 15 \) sabiendo que \( P(x) \) tiene dos ceros racionales.
Pregunta 7
El polinomio \( P(x) = x^3 + x^2 + c x + d \) tiene \( x - 2 \) como factor y cuando se divide por \( x - 1 \), el resto es igual a 3. Encuentra las constantes \( c \) y \( d \).
Pregunta 8
\( P(x) \) es una función polinómica par de cuarto grado tal que \( P(-2) = 0 \), \( P(x + 3) \) tiene un cero en \( x = 4 \) y \( P(0) = -9 \). Encuentra \( P(x) \).
Pregunta 9
El polinomio \( P(x) = 2 x^4 + 3 x^3 - 16 x^2 - 17 x + 12 \) tiene ceros en \( x = \frac{1}{2} \) y \( x = -3 \). Encuentra los otros ceros.
Pregunta 10
Factoriza los siguientes polinomios:
a) \( f(x) = x^3 - x^2 - 4 x + 4 \)
b) \( f(x) = 2 x^2 - x^3 \)
c) \( f(x) = x^2 - 2 x^4 \)
d) \( f(x) = -(x^2 - 2 x - 3)^2 \)
e) \( f(x) = x^4 + 3 x^3 + 3 x^2 + x \)
Pregunta 11
Un polinomio de grado 4 tiene un coeficiente principal negativo y ceros simples (es decir, ceros de multiplicidad 1) en \( x = 2 \), \( x = -2 \), \( x = 1 \) y \( x = -1 \). ¿La intersección con el eje y está debajo del eje x o arriba del eje x?
Figura 2. Gráfica de 4 funciones, pregunta 12 de relación
Pregunta 13
Da cuatro razones diferentes por las cuales la siguiente gráfica no puede ser la gráfica de \( p(x) = x^4 - x^2 + 1 \).
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Figura 3. Gráfica de polinomio, pregunta 13
Pregunta 14
La gráfica del polinomio f se muestra a continuación.
a) ¿El grado de f es par o impar?
b) ¿El coeficiente principal es negativo o positivo?
c) ¿Puedes encontrar el grado de f a partir de la gráfica? Explica tu respuesta.
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Figura 4. Gráfica de polinomio, pregunta 14
Pregunta 15
Si el polinomio \( 3x^3 + q x^2 + p x + 7 \), donde \( q \) y \( p \) son números reales, se divide por \( x^2 - 1 \), el resto es \( 5x + 4 \). Encuentra \( q \) y \( p \).
Soluciones a las Preguntas Anteriores
Solución a la Pregunta 1
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Figura 5. Multiplicación de polinomios, solución a la pregunta 1
Ceros en 0, 1, 3 y 4, por lo tanto \( P(x) \) se puede escribir como
\( P(x) = A x (x - 1)(x - 3)(x - 4) \)
Ahora usamos el punto (2 , 2) para escribir \( P(2) = 2 \) y usarlo para encontrar la constante \( A = \frac{1}{2} \).
\( P(x) = (\frac{1}{2}) x (x - 1)(x - 3)(x - 4) \)
Expandimos para encontrar
\( P(x) = (\frac{1}{2})x^4 - 4x^3 + (\frac{19}{2})x^2 - 6x \)
Solución a la Pregunta 4
Usando el teorema del resto,
resto = \( P(1) = 4*1^{200} + 5*1^{95} - 4*1^{21} + 2*1 - 6 = 1 \)
Según el teorema de los ceros racionales, los posibles ceros racionales son los siguientes: ±1 , ±1/3 , ±5/3 , ±3 , ±5
Sustituyendo o usando división sintética, se puede demostrar fácilmente que -3 y -5/3 son ceros racionales de \( P(x) \). Por lo tanto, \( P(x) \) se puede escribir como
\( P(x) = (x + 3)(x + \frac{5}{3}) Q(x) \)
\( Q(x) = \frac{P(x)}{(x + 3)(x + \frac{5}{3})} = 3x^2 + 12 x + 3 \) (usando división)
Los ceros restantes de \( P(x) \) son los ceros de \( Q(x) \), que son -2 + √3 y -2 - √3.
Solución a la Pregunta 7
Si \( (x - 2) \) es un factor, entonces \( P(2) = 0 \). El teorema del resto también establece que \( P(1) = 3 \). Después de las sustituciones en \( P(2) \) y \( P(1) \), obtenemos un sistema de 2 ecuaciones en \( c \) y \( d \).
\( 2c + d = -12 \) y \( c + d = 1 \)
resolviendo encontramos: \( c = -13 \) y \( d = 14 \)
Solución a la Pregunta 8
Si \( P(-2) = 0 \), entonces -2 es un cero de \( P \). Como \( P \) es par, 2 también es un cero de \( P \) debido a la simetría de la gráfica de \( P \) con respecto al eje y.
Si \( P(x + 3) \) tiene un cero en \( x = 4 \), entonces \( P(x) \) tiene un cero en \( x = 1 \) ya que la gráfica de \( P(x + 3) \) es la gráfica de \( P(x) \) desplazada 3 unidades a la izquierda. También, debido a la simetría, \( x = -1 \) es un cero de \( P \). Por lo tanto, \( P \) tiene 4 ceros: -2, -1, 1 y 2, y \( P(0) = -9 \).
\( P(x) = A (x + 1)(x + 2)(x - 1)(x - 2) \)
Usamos \( P(0) = -9 \) para encontrar el coeficiente \( A = -\frac{9}{4} \)
\( P(x) = -(\frac{9}{4}) (x + 1)(x + 2)(x - 1)(x - 2) = -(\frac{9}{4}) x^4 + (\frac{45}{4})x^2 - 9 \)
Solución a la Pregunta 9
Dado que \( x = \frac{1}{2} \) y \( x = -3 \) son ceros de \( P \), podemos escribir
\( P(x) = (x - \frac{1}{2})(x + 3) Q(x) \)
\( Q(x) = \frac{P(x)}{(x - \frac{1}{2})(x + 3)} = 2(x^2 - x - 4) \) (usando división)
Los ceros restantes de \( P(x) \) son los ceros de \( Q(x) \): \( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{17} \) y \( \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{17} \).
El coeficiente principal es negativo, por lo tanto, entre \( x = -2 \) y \( x = -1 \) la gráfica está arriba del eje x y debajo del eje x entre \( x = -1 \) y \( x = 1 \); por consiguiente, la intersección con el eje y está debajo del eje x.
Solución a la Pregunta 12
1 - C
2 - D
3 - B
4 - A
Solución a la Pregunta 13
1) P es par, la gráfica no es simétrica con respecto al eje y.
2) P no tiene ceros, la gráfica tiene intersecciones con el eje x.
3) P(0) = 1, la intersección con el eje y en la gráfica está debajo del eje x.
4) El coeficiente principal en P es negativo, la gráfica desciende hacia la izquierda y hacia la derecha.
Solución a la Pregunta 14
a) El grado de f es impar ya que su gráfica tiene 5 intersecciones con el eje x y los ceros complejos vienen en pares.
b) El coeficiente principal es negativo porque la gráfica desciende hacia la derecha y asciende hacia la izquierda.
c) No, el grado de un polinomio se determina por ceros reales y complejos. Solo los ceros reales en forma de intersecciones con el eje x se muestran en la gráfica.
Solución a la Pregunta 15
El polinomio dado, el divisor \( (x^2 - 1) \), el resto \( 5x + 4 \) y el cociente \( Q(x) \) se relacionan de la siguiente manera:
\( 3x^3 + qx^2 + px + 7 = Q(x)(x^2 - 1) + 5x + 4 \).
Sustituimos x por 1 y -1 en ambos lados de la ecuación para obtener 2 ecuaciones en q y p.
\( x = 1: 3 + q + p + 7 = 0 + 9 \)
\( x = -1: -3 + q - p + 7 = -1 \)
Resolvemos el sistema de ecuaciones anterior para encontrar: \( q = -3 \) y \( p = 2 \).
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