Preguntas y Problemas de Álgebra Universitaria con Soluciones
muestra 9 : Ecuación de la Parábola
Se presentan preguntas y problemas de álgebra universitaria sobre la ecuación de parábolas. Las soluciones con explicaciones se encuentran al final de la página.
Preguntas
Pregunta 1
Encuentra una ecuación de la parábola con foco en \( (0, 4) \) y vértice en \( (0, 0) \).
Pregunta 2
Encuentra una ecuación de la parábola con vértice en \( (0, 0) \), el eje x es su eje de simetría y su gráfica contiene el punto \( (-2, 4) \).
Pregunta 3
Encuentra una ecuación de la parábola con vértice en \( (0, 2) \) y foco en \( (0, 6) \).
Pregunta 4
Encuentra el vértice, el foco, el eje de simetría y la directriz de la parábola definida por la ecuación
\( 2y^2 + 8y + x + 1 = 0 \)
Pregunta 5
Encuentra el vértice, el foco, el eje de simetría y la directriz de la parábola definida por la ecuación
\( x^2 - 8x - y + 2 = 0 \)
Pregunta 6
Encuentra una ecuación de la parábola con vértice en \( (-2, -2) \) y foco en \( (-2, -8) \).
Pregunta 7
Escribe una ecuación para la parábola que se muestra en la gráfica a continuación y encuentra el foco de la parábola.
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Pregunta 8
Encuentra una ecuación de la parábola con foco en \( (8, 0) \) y directriz dada por la ecuación \( x = 2 \).
Pregunta 9
Encuentra una ecuación de la parábola con directriz dada por la ecuación \( y = 2 \), un foco en el eje y, y el punto \( (-6, -8) \) está en la parábola.
Pregunta 10
Un plato parabólico con un diámetro de 200 cm y una profundidad máxima de 50 cm se muestra a continuación. Encuentra el foco del plato.
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Soluciones a las Preguntas Anteriores
Solución Pregunta 1
La distancia del vértice \( (0, 0) \) al foco \( (0, 4) \) es \( |a| = 4 \). Dado que el vértice está en \( (0, 0) \) y el foco está en \( (0, 4) \) sobre el eje y, la parábola se abre hacia arriba, lo que significa \( a = 4 \) y su ecuación está dada por
\( x^2 = 4ay = 16y \)
Solución Pregunta 2
Dado que el eje x es el eje de simetría de la parábola y su vértice está en el origen, la ecuación de la parábola tiene la forma
\( y^2 = 4ax \)
El punto \( (-2, 4) \) está en la parábola: \( 4^2 = 4a(-2) \)
Resuelve para \( a \): \( a = -2 \) ; la ecuación es: \( y^2 = -8x \)
Solución Pregunta 3
Encuentra una ecuación de la parábola con vértice en \( (0, 2) \) y foco en \( (0, 6) \).
Dado que el vértice está en \( (0, 2) \) y el foco está en \( (0, 6) \), la parábola se abre hacia arriba y la ecuación de una parábola con vértice en \( (h, k) \) está dada por
\( (x - h)^2 = 4a(y - k) \)
\( h = 0 \) y \( k = 2 \); la ecuación es: \( x^2 = 4a(y - 2) \)
\( |a| = \) distancia del vértice al foco = 4 , dado que la parábola se abre hacia arriba \( a = 4 \)
La ecuación es: \( x^2 = 16(y - 2) \)
Solución Pregunta 4
Primero completamos el cuadrado usando los términos en \( y \) y \( y^2 \) y escribimos la ecuación dada en la forma \( (y - k)^2 = 4a(x - h) \) donde \( (h, k) \) es el vértice y el foco está en \( (h + a, k) \), el eje de simetría es \( y = k \), y la directriz es \( x = h - a \).
\( 2(y^2 + 4y) + x + 1 = 0 \)
\( 2((y + 2)^2 - 4) + x + 1 = 0 \)
\( (y + 2)^2 = -\frac{1}{2}(x - 7) \)
Vértice en \( (7, - 2) \)
\( -\frac{1}{2} = 4a \), por lo tanto \( a = -\frac{1}{8} \)
Foco en \( (7 - \frac{1}{8}, -2) = (6.875, -2) \)
Eje de simetría dado por \( y = -2 \)
La directriz es una línea vertical dada por: \( x = h - a = 7 + \frac{1}{8} = 7.125 \)
Solución Pregunta 5
Primero completamos el cuadrado usando los términos en \( x \) y \( x^2 \) y escribimos la ecuación dada en la forma \( (x - h)^2 = 4a(y - k) \) donde \( (h, k) \) es el vértice y el foco está en \( (h, k + a) \), el eje de simetría es \( x = h \), y la directriz es \( y = k - a \).
\( x^2 - 8x - y + 2 = 0 \)
\( ((x - 4)^2 - 16) - y + 2 = 0 \)
\( (x - 4)^2 = y + 14 \)
Vértice en \( (4, -14) \)
\( 1 = 4a \), por lo tanto \( a = \frac{1}{4} \)
Foco en \( (4, -14 + \frac{1}{4}) = (4, -13.75) \)
Eje de simetría dado por \( x = 4 \)
La directriz es una línea horizontal dada por: \( y = k - a = -14 - \frac{1}{4} = -14.25 \)
Solución Pregunta 6
El vértice y el foco están en la misma línea vertical \( x = -2 \) con el foco debajo del vértice, por lo tanto, la parábola se abre hacia abajo y su ecuación tiene la forma
\( (x - h)^2 = 4a(y - k) \), vértice en \( (h, k) \)
Con el vértice en \( (h, k) = (-2, -2) \), la ecuación es
\( (x + 2)^2 = 4a(y + 2) \)
La distancia del vértice \( (-2, -2) \) al foco \( (-2, -8) \) es \( |a| = 6 \). Dado que la parábola se abre hacia abajo \( a = -6 \).
La ecuación de la parábola es: \( (x + 2)^2 = -24(y + 2) \)
Solución Pregunta 7
Para la ecuación de la parábola de la forma \( (y - k)^2 = 4a(x - h) \) el vértice está en \( (h, k) \)
De la gráfica dada, el vértice está en \( (h, k) = (2, 4) \), por lo tanto, la ecuación de la parábola es
\( (y - 4)^2 = 4a(x - 2) \)
Usa el punto \( (-2, -2) \) para encontrar \( a \) de la siguiente manera
\( (-2 - 4)^2 = 4a(-2 - 2) \)
Resuelve lo anterior para \( a \): \( a = -2.25 \)
Ecuación de la parábola: \( (y - 4)^2 = -9(x - 2) \)
El foco está en \( (h + a, k) = (2 - 2.25, 4) = (-0.25, 4) \)
Solución Pregunta 8
Dado que la directriz es la línea \( x = 2 \) y el foco está en \( (8, 0) \), la parábola tiene el eje x como eje de simetría y se abre hacia la derecha. Su ecuación es de la forma
\( (y - k)^2 = 4a(x - h) \), vértice en \( (h, k) \)
El vértice es el punto medio del punto \( (2, 0) \), que es el punto de intersección de la directriz y el eje x, y el foco \( (8, 0) \). Por lo tanto \( h = 5 \) y \( k = 0 \).
La distancia entre la directriz y el foco es el doble de \( |a| \). Por lo tanto \( 2|a| = 6 \), \( |a| = 3 \), y como la parábola se abre hacia la derecha \( a = 3 \). La ecuación de la parábola es: \( y^2 = 12(x - 5) \)
Solución Pregunta 9
El foco está en el eje y y por lo tanto tiene la forma \( F(0, b) \). La distancia desde el punto dado a la directriz es igual a 10. Por definición, cualquier punto en la parábola, y particularmente el punto \( (-6, -8) \), debe estar a igual distancia de la directriz y del foco. Por lo tanto
\( 10 = \sqrt{(6^2 + (b + 8))^2} \)
Resuelve lo anterior para \( b \): 2 soluciones \( b = 0 \) y \( b = -16 \)
HAY DOS SOLUCIONES PARA ESTE PROBLEMA
Primera solución: la distancia del foco \( F(0, 0) \) a la directriz \( y = 2 \) es igual a \( 2|a| \), por lo tanto \( |a| = 1 \) y \( a = -1 \) ya que la parábola se abre hacia abajo. El vértice está en \( (0, 1) \), a igual distancia del foco y la directriz.
Ecuación: \( x^2 = -4(y - 1) \)
Segunda solución: la distancia del foco \( F(0, -16) \) a la directriz \( y = 2 \) es igual a \( 2|a| \), por lo tanto \( |a| = 9 \) y \( a = -9 \) ya que la parábola se abre hacia abajo. El vértice está en \( (0, -7) \), a igual distancia del foco y la directriz.
Ecuación: \( x^2 = -36(y + 7) \)
Solución Pregunta 10
La ecuación del plato parabólico es de la forma: \( x^2 = 4ay \)
El punto \( (100, 50) \) está en la gráfica del plato parabólico, por lo tanto \( 100^2 = 4a \times 50 \)
Resuelve para encontrar: \( a = 50 \) que es también la distancia del vértice en \( (0, 0) \) al foco. Por lo tanto, el foco está en \( (0, 50 \, \text{cm}) \).
Más Referencias y Enlaces
parábolas
Preguntas y problemas de Álgebra
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