Soluciones y Explicaciones a Preguntas de Álgebra Universitaria - Muestra 1

Se presentan soluciones y explicaciones completas para las preguntas de opción múltiple de álgebra universitaria.

1. 
   9^log₉(4) =
   Solución
   Las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas entre sí. Por lo tanto
   a^log_a(x) = x, para todo x real y positivo.
   y por consiguiente
   9^log₉(4) = 4
   
2. 
   3^log₃(-5) =
   Solución
   Dado que -5 no está en el dominio de la función log₃(x),
   3^log₃(-5) no está definido.
   
3. 
   Si f(x) = -2x² + 8x - 4, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
   A. El valor máximo de f(x) es -4.
   B. La gráfica de f se abre hacia arriba.
   C. La gráfica de f no tiene intersección con el eje x.
   D. f no es una función uno a uno.
   Solución
   f(x) es una función cuadrática y su gráfica es una parábola que puede ser interceptada por líneas horizontales en dos puntos y, por lo tanto, no es una función uno a uno. La respuesta es D.
   
4. 
   Si f(x) = 5 - 2^x, entonces f^-1(-3) =
   Solución
   Encontrar f^-1(x) y luego hallar f^-1(-3).
   y = 5 - 2^x, dado.
   x = 5 - 2^y, intercambiar x e y.
   2^y = 5 - x, y = log₂(5 - x), resolver para y.
   f^-1(x) = log₂(5 - x), función inversa.
   f^-1(-3) = log₂(5 - (-3)) = log₂(8)
   = log₂(2³) = 3
   
5. 
   Si log_x(3) = 1/4, entonces x =
   Solución
   Reescribir la ecuación dada en forma exponencial.
   log_x(3) = 1/4 si y solo si x^(1/4) = 3.
   Ahora resolvemos, para x, la ecuación exponencial obtenida arriba elevando ambos lados a la potencia 4.
   (x^(1/4))⁴ = 3⁴
   x = 3⁴ = 81
   
6. 
   Si f(x) = -x² + 1, entonces f(x + 1) =
   Solución
   Sustituir x por x + 1 en la fórmula de f(x) para obtener f(x + 1).
   f(x + 1) = -(x + 1)² + 1
   Expandir y simplificar.
   f(x + 1) = -x² - 2x - 1 + 1 = -x² - 2x
   
7. 
   Si f(x) = x - 4, entonces (f ∘ f)(3) =
   Solución
   (f ∘ f)(3) = f(f(3)) = f(3 - 4) = f(-1) = -5
   
8. 
   Si ln(3x - 2) = 1, entonces x =
   Solución
   Reescribir la ecuación dada en forma exponencial.
   ln(3x - 2) = 1 si y solo si e¹ = 3x - 2.
   Resolver e¹ = 3x - 2 para x.
   x = (e + 2) / 3
   
9. 
   El número de soluciones reales de (x² + 1)² + 2(x² + 1) - 3 = 0 es igual a
   Solución
   Sea u = x² + 1 y reescribir la ecuación dada en términos de u como sigue:
   u² + 2u - 3 = 0.
   Factorizar y resolver la ecuación anterior.
   (u + 3)(u - 1) = 0.
   Dos soluciones: u = x² + 1 = -3 y u = x² + 1 = 1.
   La ecuación x² + 1 = -3 no tiene soluciones reales. Resolver la ecuación x² + 1 = 1 para obtener:
   x = 0.
   La ecuación dada tiene una solución real.
   
10. 
    Si la gráfica de y = (x - 2)² - 3 se traslada 5 unidades hacia arriba y 2 unidades hacia la derecha, entonces la ecuación de la gráfica obtenida es
    Solución
    Si la gráfica de y = f(x) se traslada 5 unidades hacia arriba, la ecuación de la nueva gráfica es:
    y = f(x) + 5.
    Si la gráfica de y = f(x) + 5 se traslada 2 unidades hacia la derecha, la ecuación de la nueva gráfica es:
    y = f(x - 2) + 5 = ((x - 2) - 2)² - 3 + 5
    = (x - 4)² + 2
    
11. 
    Si f(x) = -e^x - 2, entonces el rango de f está dado por el intervalo
    A. (-∞, -2)
    B. (-∞, +∞)
    C. (-2, +∞)
    D. (-∞, 2)
    
12. 
    Si f(x) = √(x - 1) / (x² - 9), entonces el dominio de f está dado por el intervalo
    A. (1, +∞)
    B. (-3, +3)
    C. [1, 3) ∪ (3, +∞)
    D. (-3, 3) ∪ (3, +∞)
    
13. 
    El número de puntos de intersección de las gráficas de y = 2^x y y = -x² + 2 es igual a
    A. 0
    B. 1
    C. 2
    D. 3
    
14. 
    Si f(x) = ln(x + 1) - 2, entonces f^-1(x) =
    A. e^{x + 1} - 2
    B. e^x - 2
    C. e^{x + 2} - 2
    D. e^{x + 2} - 1
    
15. 
    Para todo x real, √(x² - 4x + 4) =
    A. x - 2
    B. x + 2x + 2
    C. |x - 2|
    D. x + 2
    
16. 
    El valor de x que maximiza x² + 6x + 13 es igual a
    A. 6
    B. -3
    C. 13
    D. 3
    
17. 
    e^{ln(3) - ln(2) + ln(1/x)} =
    A. 3 / (2x)
    B. 3x/2
    C. 1 + 1/x
    D. 3/2 - 1/x
    
18. 
    Si f(x) = (x - 1) / (x + 2), entonces el rango de f está dado por el intervalo
    A. (-∞, -2) ∪ (-2, +∞)
    B. (-∞, 1) ∪ (1, +∞)
    C. (-2, +∞)
    D. (-∞, 1)
    
19. 
    ln((x - 1)²) = 2 ln(x - 1) para todo x en el intervalo
    A. (-∞, +∞)
    B. [0, +∞)
    C. (-∞, 1) ∪ (1, +∞)
    D. (1, +∞)
    
20. 
    Sea f(x) = x² + 2x + 4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones NO es verdadera?
    A. f(x) tiene un valor máximo.
    B. La gráfica de f no es una línea recta.
    C. La gráfica de f no tiene intersecciones con el eje x.
    D. La gráfica de f tiene una intersección con el eje y.
    

Respuestas a las Preguntas Anteriores

1. B
2. D
3. D
4. C
5. A
6. B
7. C
8. B
9. A
10. D
11. A
12. C
13. C
14. D
15. C
16. B
17. A
18. B
19. D
20. A