Números Complejos - Operaciones Básicas

Contenido de la Página

Definición de Números Complejos

Un número complejo z es un número de la forma

\( z = a + b i \)
donde \( a \) y \( b \) son números reales e \( i \) es la unidad imaginaria definida por
\(i = \sqrt{-1} \)
\( a \) se llama la parte real de \( z \) y \( b \) es la parte imaginaria de \( z \).
Nótese que el conjunto \( \mathbb{R} \) de todos los números reales es un subconjunto de los números complejos \( \mathbb{C} \) ya que cualquier número real puede ser considerado como un número complejo que tiene una parte imaginaria igual a cero.


Complejo Conjugado

El conjugado de un número complejo \( a + b i \) es un número complejo igual a

\( a - b i \)

Ejemplos: Encuentra el conjugado de los siguientes números complejos.
a) \( 2 - i \) , b) \( -3 + 4i \) , c) \( 5 \) , d) \( -5i \)
Solución al ejemplo anterior
a) \( 2 + i \)
b) \( -3 - 4i \)
c) \( 5 \)
d) \( 5i \)


Suma de Números Complejos

La suma de dos números complejos \( a + b i \) y \( c + d i \) se define de la siguiente manera.
\( (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i \)
Esto es similar a agrupar términos semejantes: las partes reales se suman con las partes reales y las partes imaginarias se suman con las partes imaginarias.
Ejemplo: Expresa lo siguiente en forma de un número complejo \( a + b i \).
\( (2 + 3i) + (-4 + 5i) \)
\( (3i) + (-5 + 6i) \)
\( (2) + (-2 + 9i) \)
Solución al ejemplo anterior.
\( (2 + 3i) + (-4 + 5i) = (2 - 4) + (3 + 5) i = - 2 + 8 i \)
\( (3i) + (-5 + 6i) = (0 - 5) + (3 + 6) i = -5 + 9 i \)
\( (2) + (-2 + 9i) = (2 - 2) + (9) i = 9i \)
La suma se puede realizar agrupando términos semejantes.
\( (2 + 3i) + (-4 + 5i) = 2 + 3 i - 4 + 5 i = -2 + 8 i \)
Calculadora para sumar números complejos para practicar está disponible.


Resta de Números Complejos

La resta de dos números complejos \( a + b i \) y \( c + d i \) se define de la siguiente manera.
\( (a + b i) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i \)
Ejemplo: Expresa en la forma de un número complejo \( a + b i \).
\( (2 - 5i) - (-4 - 5i) \)
\( (-7i) - (-5 - 6i) \)
\( (2) - (2 + 6i) \)
Solución al ejemplo anterior
\( (2 - 5i) - (-4 - 5i) = (2 - (-4)) + (-5 - (-5)) i = 6 \)
\( (-7i) - (-5 - 6i) = (0 - (-5)) + (-7 - (-6)) i = 5 - i \)
\( (2) - (2 + 6i) = (2 - 2) - 6 i = -6 i \)
Nota: la resta se puede realizar de la siguiente manera:
\( (a + b i) - (c + d i) = (a + bi) + (- c - d i) \) y luego agrupar términos semejantes
Ejemplo:
\( (2 - 5i) - (-4 - 5i) = 2 - 5 i + 4 + 5 i = 6 \)


Multiplicación de Números Complejos

La multiplicación de dos números complejos \( a + b i \) y \( c + d i \) se define de la siguiente manera.
\( (a + b i)(c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i \)
Sin embargo, no es necesario memorizar la definición anterior, ya que la multiplicación se puede realizar utilizando propiedades similares a las de los números reales y la propiedad añadida \( i^2 = -1 \). (ver el ejemplo a continuación)
Ejemplo: Expresa en la forma de un número complejo \( a + b i \).
\( (3 + 2 i)(3 - 3i) \)
Solución al ejemplo anterior
\( (3 + 2 i)(3 - 3i) \)
Usando la propiedad distributiva, \( (3 + 2 i)(3 - 3 i) \) se puede escribir como
\( (3 + 2 i)(3 - 3 i) = (3 + 2 i)(3) + (3 + 2 i)(-3 i) = 9 + 6 i - 9 i -6 i^2 \)
Agrupar términos semejantes y usar \( i^2 = -1 \) para simplificar \( (3 + 2 i)(3 - 3 i) \)
\( (3 + 2 i)(3 - 3 i) = 15 - 3 i \)
Calculadora para multiplicar números complejos para practicar está disponible.


División de dos Números Complejos

Usamos la propiedad de multiplicación del número complejo y su conjugado para dividir dos números complejos.
Ejemplo: Expresa \( \dfrac{8 + 4 i}{1-i} \) en la forma de un número complejo \( a + b i \).
Solución
Primero multiplicamos el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador
\( \dfrac{(8 + 4 i)\color{red}{(1+i)}}{(1-i)\color{red}{(1+i)}} \)
Multiplicamos y agrupamos términos semejantes
\( = \dfrac{8 + 4 i + 8 i + 4 i^2}{1 - i + i - i^2} \)
\( = \dfrac{4 + 12i}{2} \)
\( = 2 + 6 i \)
Calculadora para dividir números complejos para practicar está disponible.


Igualdad de dos Números Complejos

Los números complejos \( a + i b \) y \( x + i y \) son iguales si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales.
\( a + i b = x + i y \)    si y solo si    \( a = x \) y \( b = y \)
Ejemplo: Encuentra los números reales \( x \) y \( y \) tales que \( 2x + y + i(x - y) = 4 - i \).
Para que los dos números complejos sean iguales, sus partes reales y sus partes imaginarias deben ser iguales. Por lo tanto
\( 2x + y = 4 \) y \( x - y = - 1 \)
Resuelve el sistema de ecuaciones anterior en \( x \) y \( y \) para encontrar
\( x = 1 \) y \( y = 2 \).


Ejercicios

1) Encuentra el complejo conjugado de los siguientes números complejos
a) \( 2 + 6 i \)
b) \( -8 i \)
c) \( 12 \)
2) Escribe las siguientes expresiones en la forma \( a + b i \)
a) \( (2 - 8 i) + (-6 i) \)
b) \( -8 i + (3 - 9 i) \)
c) \( 6 - (3 - i) \)
d) \( (2 - 3 i)(7 - i) \)
e) \( \dfrac{2+2i}{2-2i} \)

Soluciones a los ejercicios anteriores

1) Encuentra el complejo conjugado.
a) \( 2 - 6 i \)
b) \( 8 i \)
c) \( 12 \)
2) Escribe las siguientes expresiones en la forma \( a + b i \)
a) \( (2 - 8 i) + (-6 i) = 2 - 14 i \)
b) \( -8 i + (3 - 9 i) = 3 - 17 i \)
c) \( 6 - (3 - i) = 3 + i \)
d) \( (2 - 3 i)(7 - i) = 11 - 23 i \)
e) \( \dfrac{2+2i}{2-2i} = i \)