donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria definida por
\(i = \sqrt{-1} \)
a se llama parte real de z y b es parte imaginaria de z.
Tenga en cuenta que el conjunto R de todos los números reales es un subconjunto del número complejo C ya que se puede considerar que cualquier número real tiene la parte imaginaria igual a cero.
Conjugado complejo
El conjugado de un número complejo a + b i es un número complejo igual a
a - b i
Ejemplos: Encuentra el conjugado de los siguientes números complejos.
a) 2 - i , b) -3 + 4i , c) 5 , d) -5i
Solución al ejemplo anterior
a) 2 + i
b) -3 - 4i
c) 5
d) 5i
Suma de números complejos
La suma de dos números complejos a + b i y c + d i se define de la siguiente manera.
(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i
Esto es similar a agrupar términos semejantes: las partes reales se agregan a las partes reales y las partes imaginarias se agregan a las partes imaginarias.
Ejemplo: Expresar en forma de número complejo a + b i.
La suma se puede realizar agrupando términos semejantes.
(2 + 3i) + (-4 + 5i) = 2 + 3 i - 4 + 5 i = -2 + 8 i
Está disponible la calculadora para sumar números complejos para practicar.
Resta de números complejos
La resta de dos números complejos a + b i y c + d i se define de la siguiente manera.
(a + b i) - (c + d i) = (a - b) + (b - d) i
Ejemplo: Expresar en forma de número complejo a + b i.
(-7i) - (-5 - 6i) = (0 - (-5)) + (-7 - (-6)) i = 5 - i
(2) - (2 + 6i) = (2 - 2) - 6 i = -6 i
Nota: la resta se puede hacer de la siguiente manera:
(a + b i) - (c + d i) = (a + bi) + (- c - d i) and then group like terms
Ejemplo:
(2 - 5i) - (-4 - 5i) = 2 - 5 i + 4 + 5 i = 6
Multiplicar números complejos
La multiplicación de dos números complejos a + b i y c + d i se define de la siguiente manera.
(a + b i)(c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i
Sin embargo, no es necesario memorizar la definición anterior ya que la multiplicación se puede realizar utilizando propiedades similares a las de los números reales y la propiedad sumada i 2 = -1. (ver el ejemplo a continuación)
Ejemplo: Expresar en forma de número complejo a + b i.
(3 + 2 i)(3 - 3i)
Solución al ejemplo anterior
(3 + 2 i)(3 - 3i)
Usando la ley distributiva, (3 + 2 i)(3 - 3 i) se puede escribir como
(3 + 2 i)(3 - 3 i) = (3 + 2 i)(3) + (3 + 2 i)(-3 i) = 9 + 6 i - 9 i -6 i 2
Agrupe términos semejantes y use i 2 = -1 para simplificar (3 + 2 i)(3 - 3 i)
(3 + 2 i)(3 - 3 i) = 15 - 3 i
Está disponible la calculadora para multiplicar números complejos para practicar.
Dividir dos números complejos
Usamos la propiedad de multiplicación de números complejos y su conjugado para dividir dos números complejos.
Ejemplo: Expresar en forma de número complejo a + b i.
\( \dfrac{8 + 4 i}{1-i} \)
Primero multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado complejo del denominador.
\( \dfrac{(8 + 4 i)\color{red}{(1+i)}}{(1-i)\color{red}{(1+i)}} \)
Multiplicar y agrupar términos semejantes
\( = \dfrac{8 + 4 i + 8 i + 4 i^2}{1 - i + i - i^2}
= \dfrac{4 + 12i}{2} \)
\( = 2 + 6 i \)
Está disponible la calculadora para dividir números complejos para practicar.
Igualdad de dos Números Complejos
Los números complejos a + i b y x + i y son iguales si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales.
a + i b = x + i y si y solo si a = x and b = y
Ejemplo: Encuentre los números reales x e y tales que 2x + y + i(x - y) = 4 - i.
Para que dos números complejos sean iguales sus partes reales y sus partes imaginarias tienen que ser iguales. Por eso
2x + y = 4 and x - y = - 1
Resuelva el sistema de ecuaciones anterior en xey para encontrar
x = 1 y y = 2.
Ejercicios
Encuentra el conjugado complejo de los siguientes números complejos
a) 2 + 6 i
b) -8 i
c) 12
Escribe las siguientes expresiones en la forma a + b i
a) (2 - 8 i) + (-6 i)
b) -8 i + (3 - 9 i)
c) 6 - (3 - i)
d) (2 - 3 i)(7 - i)
e) \( \dfrac{2+2i}{2-2i} \)
Soluciones a los ejercicios anteriores.
Encuentra el conjugado complejo.
a) 2 - 6 i
b) 8 i
c) 12
Escribe las siguientes expresiones en la forma a + b i
a) (2 - 8 i) + (-6 i) = 2 - 14 i
b) -8 i + (3 - 9 i) = 3 - 17 i
c) 6 - (3 - i) = 3 + i
d) (2 - 3 i)(7 - i) = 11 - 23 i
e) \( \dfrac{2+2i}{2-2i} = i\)
