Números Complejos en Forma Exponencial

Los números complejos se escriben en forma exponencial. Las multiplicaciones, divisiones y potencias de números complejos en forma exponencial se explican a través de ejemplos y se refuerzan con preguntas y soluciones detalladas.

Forma Exponencial de Números Complejos

Un número complejo en forma estándar \( z = a + ib \) se escribe en forma polar como \[ z = r (\cos(\theta)+ i \sin(\theta)) \] donde \( r = \sqrt{a^2+b^2} \) se llama el módulo de \( z \) y \( \tan (\theta) = \left (\dfrac{b}{a} \right) \), tal que \( 0 \le \theta \lt 2\pi \) , \( \theta\) se llama el argumento (ejemplos y preguntas con soluciones) de \( z \).
Las interpretaciones gráficas de \( a \), \( b \), \( r \) y \( \theta \) se muestran a continuación para un número complejo en un plano complejo.

Ahora usamos la fórmula de Euler dada por \( \displaystyle e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta \) para escribir el número complejo \( z \) en forma exponencial de la siguiente manera: \[ z = r e^{i\theta}\] donde \( r \) y \( \theta \) se definen como arriba.

Ejemplo 1
Traza el número complejo \( z = -1 + i \) en el plano complejo y escríbelo en forma exponencial.
Solución del Ejemplo 1
El número complejo \(z = -1 + i = a + i b \) con \( a = -1 \) (parte real) y \( b = 1 \) (parte imaginaria), se traza como un vector en un plano complejo que se muestra a continuación. Es un vector cuyas componentes son la parte real \( a \) a lo largo del "eje real" y la parte imaginaria \( b \) a lo largo del "eje imaginario". El ángulo argumento \( \theta \) es el ángulo en sentido antihorario con lado inicial a partir del eje de la parte real positiva. El módulo \( r = \sqrt {a^2+b^2} = \sqrt {(-1)^2+(1)^2} = \sqrt 2\) es la longitud del vector.

\(z = -1 + i = a + i b\)
da \( a = - 1 \) y \( b = 1 \)
\( r = \sqrt {a^2 + b^2} = \sqrt {(-1)^2 + 1^2} = \sqrt {1 + 1} = \sqrt 2\)
Primero necesitamos encontrar el ángulo de referencia \( \theta_r \) que es el ángulo agudo entre el lado terminal de \( \theta \) y el eje de la parte real.
\( \theta_r = \tan^{-1}\left|\dfrac{b}{a}\right| = \tan^{-1}\left|\dfrac{1}{-1}\right| =\tan^{-1} (1) = \dfrac{\pi}{4}\)
La parte real de \(z\) es negativa y su parte imaginaria es positiva, por lo tanto el lado terminal de \( \theta \) está en el cuadrante II (ver la gráfica de \( z \) arriba).
\( \theta \) se calcula de la siguiente manera:
\( \theta = \pi - \theta_r = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}\)
\( z \) en forma exponencial está dado por
\( z = \sqrt2 e^{i\dfrac{3\pi}{4}} \)

Ejemplo 2
a) Traza los números complejos: \( i , - 2 , - i , - 1 - 2i \) y \( 1 - i \) en el mismo plano complejo.
b) Traza en planos complejos separados y escribe los números complejos: \( i , - 2 , - i , - 1 - 2i \) y \( 1 - i \) en forma exponencial.
Solución del Ejemplo 2
a) La gráfica de todos los números complejos dados en el mismo plano complejo se muestra a continuación.

b) Traza y escribe en formas exponenciales.
Sea \( z = i = a + i b \)
da \( a = 0 \) y \( b = 1 \)
\( r = \sqrt {0^2 + 1^2} = 1 \)
\( \tan \theta = \dfrac{1}{0} = indefinido \)
Un ángulo cuya tangente es indefinida es un ángulo con lado terminal en el eje imaginario.
De hecho, es más fácil determinar \( \theta = \dfrac{\pi}{2} \) a partir de la gráfica de \( z = i \) que se muestra a continuación.
Escribe en forma exponencial: \( \quad z = i = r e^{i\theta} = e^{i\pi/2} \)

Sea \( z = -2 = a + i b \)
da \( a = -2 \) y \( b = 0 \)
\( r = \sqrt {(-2)^2 + 0^2} = 2 \)
\( \tan \theta = \dfrac{0}{-2} = 0 \)
Un ángulo cuya tangente es igual a 0 es un ángulo con lado terminal en el eje real.
Es más fácil determinar \( \theta = \pi \) a partir de la gráfica de \( z = -2 \) que se muestra a continuación.
Escribe en forma exponencial: \( \quad z = -2 = r e^{i\theta} = 2 e^{i\pi} \)

Sea \( z = - i = a + i b \)
da \( a = 0 \) y \( b = - 1 \)
\( r = \sqrt {0^2 + (-1)^2} = 1 \)
\( \tan \theta = \dfrac{-1}{0} = indefinido \)
Un ángulo cuya tangente es indefinida es un ángulo con lado terminal en el eje imaginario.
Determinamos \( \theta = \dfrac{3\pi}{2} \) a partir de la gráfica de \( z = - i \) que se muestra a continuación.
Escribe en forma exponencial: \( \quad z = - i = r e^{i\theta} = e^{ i 3\pi/2} \)

Sea \( z = - 1 -2i = a + i b \)
da \( a = -1 \) y \( b = - 2 \)
\( r = \sqrt {(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt 5 \)
Primero encuentra el ángulo de referencia: \( \tan \theta_r = |\dfrac{-2}{-1}| = 2 \), \( \theta_r = \arctan 2 \)
\( \theta = \pi + \arctan 2 \approx 4.25\)
Escribe en forma exponencial: \( \quad z = - 1 -2i = r e^{i\theta} = \sqrt 5 e^{i (\pi + \arctan 2)} \)

Sea \( z = 1 - i = a + i b \)
da \( a = 1 \) y \( b = - 1 \)
\( r = \sqrt {(1)^2 + (-1)^2} = \sqrt 2 \)
Primero encuentra el ángulo de referencia: \( \tan \theta_r = |\dfrac{-1}{1}| = 1 \), \( \theta_r = \dfrac{\pi}{4} \)
\( \theta = 2\pi - \theta_r = 2\pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{7\pi}{4} \)
Escribe en forma exponencial: \( \quad z = 1 - i = r e^{i\theta} = \sqrt 2 e^{i ( 7\pi/4)} \)

Ejemplo 3
Escribe el número complejo \( z = \sqrt2 e^{ i \dfrac{5\pi}{4}} \) en forma estándar.
Solución del Ejemplo 3
\( z = \sqrt2 e^{ i \dfrac{5\pi}{4}} \)
Usa la fórmula de Euler
\( = \sqrt2(\cos(\dfrac{5\pi}{4})+ i \sin(\dfrac{5\pi}{4})) \)
Simplifica
\( = \sqrt2(-\dfrac{\sqrt2}{2} - i \dfrac{\sqrt2}{2}) \)
\( = - 1 - i \)

Los números complejos en forma exponencial se multiplican y dividen fácilmente. La potencia y raíz de números complejos en forma exponencial también se calculan fácilmente.

Multiplicación de Números Complejos en Forma Exponencial

Sean \( z_1 = r_1 e^{ i \theta_1} \) y \( z_2 = r_2 e^{ i \theta_2} \) números complejos en forma exponencial.
El producto de \( z_1 \) y \( z_2 \) está dado por
\[ z_1 z_2 = r_1 r_2 e ^{ i (\theta_1+\theta_2) } \]

Ejemplo 3
Dados \( z_1 = 3 e^{ i \pi/4 } \) y \( z_2 = 5 e^{i 3\pi/4 } \)
Encuentra \( z_1 z_2\) y escríbelo en forma estándar.
Solución del Ejemplo 3
\( z_1 z_2 = (3 e^{ i \pi/4 }) (5 e^{ i 3 \pi/4 } )\)
Multiplica los módulos \( 3 \) y \( 5 \) y aplica la regla de los exponentes \( e^x e^y = e^{x+y} \)
\( = (3 \times 5) e^{ i\pi/4 + i 3\pi/4 } \)
Simplifica
\( = 15 e^{ i \pi } \)
Reescribe en forma polar
\( = 15 (\cos \pi + i \sin \pi) \)
Simplifica
\( = - 15 \)

División de Números Complejos en Forma Exponencial

Sean \( z_1 = r_1 e^{ i \theta_1} \) y \( z_2 = r_2 e^{ i \theta_2 } \) números complejos en forma exponencial.
La razón (o división) de \( z_1 \) y \( z_2 \) está dada por
\[ \dfrac{z_1}{ z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} e ^{ i (\theta_1-\theta_2) } \]

Ejemplo 4
Dados \( z_1 = 10 e^{ i \pi/3 } \) y \( z_2 = 2 e^{ i 2\pi/3 } \)
Encuentra el producto \( \dfrac{z_1}{z_2} \) y escríbelo en forma estándar.
Solución del Ejemplo 4
\( \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{10 e^{ i \pi/3 }} {2 e^{ i 2 \pi/3 } }\)
Divide los módulos \( 10 \) por \( 2 \) y aplica la regla de los exponentes \( \dfrac{e^x}{e^y} = e^{x-y} \)
\( = \dfrac {10}{2} e^{ i ( \pi/3 - 2\pi/3 ) } \)
\( = 5 e^{ - i \pi/3 } \)
Reescribe en forma polar
\( = 5 (\cos (- \pi/3) + i \sin (- \pi/3) ) \)
Simplifica
\( = 5(1/2 - \dfrac{\sqrt 3}{2} i) = \dfrac{5}{2} - \dfrac{5\sqrt3}{2} i \)

También puedes revisar el Teorema de De Moivre, Potencia y Raíz de Números Complejos.

Preguntas

1) Escribe los siguientes números complejos en forma exponencial.

1. \( z_1 = - 1 \)
2. \( z_2 = - 2 i \)
3. \( z_3 = -\sqrt3 - i \)
4. \( z_4 = - 3 + 3\sqrt 3 i \)
5. \( z_5 = 7 - 7 i \)

2) Usa los resultados de la parte a) anterior para evaluar las siguientes expresiones y escríbelas en forma exponencial.

1. \( z_4 z_5 \)
2. \( \dfrac{z_3 z_5}{z_4} \)

Soluciones a las Preguntas Anteriores

1)

1. \( z_1 = -1 = e^{ i \pi} \)
2. \( z_2 = - 2 i = 2 e^{ i 3\pi/2 } \)
3. \( z_3 = -\sqrt3 - i = 2 e^{ i 7\pi/6}\)
4. \( z_4 = - 3 + 3\sqrt 3 i = 6 e^{ i 2\pi/3 } \)
5. \( z_5 = 7 - 7 i = 7 \sqrt 2 e^{ i 7\pi/4} \)

2)

1. \( z_4 z_5 = (6 e^{ i 2\pi/3 }) (7 \sqrt 2 e^{ i 7\pi/4}) \)
   Usa la regla de multiplicación dada arriba
   \( = 42 \sqrt 2 e^{i(2\pi/3 + 7\pi/4)} \)
   Simplifica
   \( = 42 \sqrt 2 e^{i 29\pi/12} \)
   El argumento es mayor que \( 2 \pi \), por lo tanto puedes restarle \( 2 \pi \)
   \( = 42 \sqrt 2 e^{i (29\pi/12-2\pi )} \)
   Simplifica
   \( = 42 \sqrt 2 e^{i 5\pi/12 } \)
2. \( \dfrac{z_3 z_5}{z_4} = \dfrac{( 2 e^{ i 7\pi/6})(7 \sqrt 2 e^{ i 7\pi/4})}{6 e^{ i 2\pi/3 }} \)
   Usa las reglas de multiplicación y división dadas arriba
   \( = \dfrac{2 \times 7 \sqrt 2}{6} e^{i(7\pi/6 + 7\pi/4 - 2\pi/3)} \)
   Simplifica
   \( = \dfrac{7\sqrt{2}}{3} e^{i 9\pi/4} \)
   El argumento es mayor que \( 2 \pi \), por lo tanto puedes restarle \( 2 \pi \)
   \( = \dfrac{7\sqrt{2}}{3} e^{i (9\pi/4- 2\pi) } \)
   Simplifica
   \( \dfrac{7\sqrt{2}}{3} e^{i \pi/4 } \)

Más Referencias y Enlaces