Módulo y Argumento de un Número Complejo - Calculadora

\( \) \( \)\( \)\( \)

Una calculadora en línea para calcular el módulo y argumento de un número complejo en forma binómica.

Sea \( Z \) un número complejo dado en forma binómica por
\( Z = a + i b \)
El módulo \( |Z| \) del número complejo \( Z \) viene dado por
\[ \color{red} { |Z| = \sqrt {a^2 + b^2} } \]
y el argumento del número complejo \( Z \) es el ángulo \( \theta \) en posición estándar dado por: \[ \color{red} {\tan (\theta) = \left (\dfrac{b}{a} \right)} \]
módulo y argumento en el plano complejo
Nota
Dado que la ecuación trigonométrica anterior tiene un número infinito de soluciones (ya que la función \( \tan \) es periódica), se adoptan dos convenciones principales para el rango de \( \theta \), y llamémoslas convención 1 y convención 2 por simplicidad.
Convención (1) define el argumento \( \theta \) en el rango: \( 0 \le \theta \lt 2\pi \)
Convención (2) define el argumento \( \theta \) en el rango: \( (-\pi, +\pi ] \)
Los cuatro cuadrantes, según se definen en trigonometría, están determinados por los signos de \( a \) y \( b\).
Si el lado terminal de \( Z \) está en el cuadrante (I) o (II), las dos convenciones dan el mismo valor de \( \theta \).
Si el lado terminal de \( Z \) está en el cuadrante (III) o (IV), la convención uno da un ángulo positivo y la convención (2) da un ángulo negativo relacionados por:
Esta calculadora calcula \( \theta \) para ambas convenciones.


Uso de la calculadora para Calcular el Módulo y Argumento de un Número Complejo

1 - Ingrese las partes real e imaginaria del número complejo \( Z \) y presione "Calcular Módulo y Argumento". Los resultados son el módulo \( |Z| \) y el argumento, en ambas convenciones, \( \theta \) en grados y radianes.

\( Z \)   =       \( i \)
Decimales =
Módulo: \( |Z| \) =
Argumento en Radianes
\( \theta \) = (convención 1)
\( \theta \) = (convención 2)
Argumento en Grados
\( \theta \) = \( ^{\circ} \) (convención 1)
\( \theta \) = \( ^{\circ} \) (convención 2)


Usa la Calculadora de Módulo y Argumento para Responder las Preguntas

  1. Usa la calculadora para encontrar los argumentos de los números complejos \( Z_1 = -4 + 5 i \) y \( Z_2 = -8 + 10 i \). ¿Por qué son iguales?
  2. Encuentra los argumentos de los números complejos \( Z_1 = 3 - 9 i \) y \( Z_2 = - 3 + 9i \). ¿Por qué la diferencia entre los dos argumentos es igual a \( 180^{\circ} \)?
  3. Encuentra la razón de los módulos de los números complejos \( Z_1 = 8 + 16 i \) y \( Z_2 = 2 + 4 i \). ¿Por qué la razón es igual a \( 4 \)?
  4. Encuentra la razón de los módulos de los números complejos \( Z_1 = - 8 - 16 i \) y \( Z_2 = 2 + 4 i \). ¿Por qué la razón es igual a \( 4 \)?
  5. Usa los resultados anteriores y otras ideas para comparar el módulo y argumento de los números complejos \( Z \) y \( k Z \) donde \( k \) es un número real distinto de cero.

Más Referencias y Enlaces

Módulo y Argumento de Números Complejos
Números Complejos