Módulo y argumento de un número complejo - Calculadora
\( \) \( \)\( \)\( \)Una calculadora en línea para calcular el módulo y argumento de un número complejo en forma estándar.
Sea \( Z \) un número complejo dado en forma estándar por
\( Z = a + i \)
El módulo \( |Z| \) del número complejo \( Z \) viene dado por
\[ \color{rojo} { |Z| = \sqrt {a^2 + b^2} } \]
y el argumento del número complejo \( Z \) es el ángulo \( \theta \) en posición estándar dada por:
\[ \color{rojo} {\tan (\theta) = \left (\dfrac{b}{a} \right)} \]
Nota
Dado que la ecuación trigonométrica anterior tiene un número infinito de soluciones (ya que la función \( \tan \) es periódica), se adoptan dos convenciones principales para el rango de \( \theta \) y las llamaremos convenciones 1 y 2 para sencillez.
Convención (1) define el argumento \( \theta \) en el rango: \( 0 \le \theta \lt 2\pi \)
Convención (2) define el argumento \( \theta \) en el rango: \( (-\pi, +\pi ] \)
Los cuatro cuadrantes, tal como se definen en trigonometría, están determinados por los signos de \( a \) y \( b\)
Si el lado terminal de \( Z \) está en el cuadrante (I) o (II), las dos convenciones dan el mismo valor de \( \theta \).
Si el lado terminal de \( Z \) está en el cuadrante (III) o (IV), la convención da un ángulo positivo y la convención (2) da un ángulo negativo relacionado por
Esta calculadora calcula \( \theta \) para ambas convenciones.
Uso de la calculadora para calcular el módulo y argumento de un número complejo
1 - Ingrese las partes real e imaginaria del número complejo \( Z \) y presione "Calcular módulo y argumento". Las salidas son el módulo \( |Z| \) y el argumento, en ambas convenciones, \( \theta \) en grados y radianes.
Utilice la calculadora de módulo y argumento para responder las preguntas
- Usa la calculadora para encontrar los argumentos de los números complejos \( Z_1 = -4 + 5 i \) y \( Z_2 = -8 + 10 i \) . ¿Por qué son iguales?
- Encuentra los argumentos de los números complejos \( Z_1 = 3 - 9 i \) y \( Z_2 = - 3 + 9i \). ¿Por qué la diferencia entre los dos argumentos es igual a \( 180^{\circ} \)?
- Encuentre la relación de los módulos de los números complejos \( Z_1 = 8 + 16 i \) y \( Z_2 = 2 + 4 i \). ¿Por qué la razón es igual a \( 4 \)?
- Encuentre la relación de los módulos de los números complejos \( Z_1 = - 8 - 16 i \) y \( Z_2 = 2 + 4 i \). ¿Por qué la razón es igual a \( 4 \)?
- Utilice los resultados anteriores y otras ideas para comparar el módulo y el argumento de los números complejos \( Z \) y \( k Z \) donde \( k \) es un número real distinto de cero.
