Las fórmulas de la distancia entre dos puntos y del punto medio de un segmento se presentan junto con ejemplos, preguntas, incluyendo soluciones detalladas.
Una calculadora de distancia y punto medio está incluida para verificar tus respuestas.
Fórmula de la Distancia
Definamos primero la distancia \( d \) entre dos puntos \( A \) y \( B \) cuyas coordenadas son respectivamente \( a \) y \( b \) en una recta numérica como
\[ d = |a - b| = |b - a| \]
Fig.1 - Distancia Entre Puntos en la Recta NuméricaNota que debido al valor absoluto, la distancia entre puntos es siempre positiva o igual a cero.
Ahora repasamos el teorema de Pitágoras: dado un triángulo rectángulo, como se muestra en la figura 2 a continuación, la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y los dos catetos se relacionan mediante:
\[ h^2 = x^2 + y^2 \quad \text{o} \quad h = \sqrt {x^2 + y^2}\]
Fig.2 - El Teorema de Pitágoras
Ahora usamos la distancia entre puntos en una recta numérica y el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo de la figura 3 para escribir la fórmula de la distancia entre dos puntos cualesquiera en un plano.
Dados dos puntos \( A = (a_x,a_y) \) y \( B = (b_x,b_y) \), la fórmula que da la distancia \( d \) entre los dos puntos \( A \) y \( B \), o la longitud del segmento de recta \(AB\), está dada por
\[ \large \color{red}{d = \sqrt { (b_x - a_x)^2 + (b_y - a_y)^2} \qquad (I) } \]
Fig.3 - Distancia Entre dos Puntos en un Plano Nota que \( |b_x - a_x|^2 = (b_x - a_x)^2 \) y \( | b_y - a_y |^2 = (b_y - a_y)^2 \)
Ejemplo
Encuentra la distancia \( d \) entre los puntos \( A = (3,2) \) y \( B = (-3,-6) \)
Solución
De acuerdo con la fórmula (I), la distancia \( d \) está dada por
\( d = \sqrt{ (-3 - 3)^2 + (-6 - 2)^2 } = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt {100} = 10 \)
Definición y Fórmula del Punto Medio
El punto medio \( M \) del segmento de recta \( A B \) es el punto en el segmento de recta \( A B \) tal que las longitudes de los segmentos \( MA \) y \( MB \) son iguales. (Ver figura 4 a continuación).
Dados dos puntos \( A = (a_x,a_y) \) y \( B = (b_x,b_y) \), la fórmula que da las coordenadas del punto medio \( M \) del segmento \(AB \) está dada por
\[ \large \color{red}{ M = \left(\dfrac{a_x+b_x}{2} \; , \; \dfrac{a_y+b_y}{2} \right) } \qquad (II) \]
Nota que las coordenadas \( x \) e \( y \) de \( M \) están dadas por el promedio de las coordenadas \( x \) e \( y \) de los puntos \( A \) y \(B \) respectivamente.
Fig.4 - Punto MedioEjemplo
Encuentra el punto medio del segmento de recta \( AB \) dado que \( A = (5,2) \) y \( B = (-7,-10) \)
Solución
De acuerdo con la fórmula (II), las coordenadas del punto medio \( M \) están dadas por
\( M = \left( \dfrac{5+(-7)}{2} , \dfrac{2+(-10)}{2} \right) = \left( \dfrac{-2}{2} , \dfrac{-8}{2} \right) = ( -1 , -4 )\)
Preguntas
Parte A
Encuentra la distancia entre cada par de puntos en las rectas numéricas que se muestran a continuación.
Parte B
Encuentra la distancia entre el par de puntos dado.
\( A = (0,0) \; , \; B = (-4,3) \)
\( C = (-2,-2) \; , \; D = (6,4) \)
\( E = (4,7) \; , \; F = (-4,7) \)
Parte C
Encuentra el punto medio entre los segmentos definidos por los pares de puntos.
\( A = (-8,0) \; , \; B = (-4,4) \)
\( C = (-3,-4) \; , \; D = (8,3) \)
\( E = (4,7) \; , \; F = (-4,7) \)
Parte D
Dados los puntos \( A = (x_0,y_0) \) y \( B = (-4,8) \). Encuentra las coordenadas del punto \( A \) si el punto medio del segmento \( AB \) es el punto \( M = (-2,0) \).
Parte E
Dados los puntos \( A = (3 x_0, -y_0) \) y \( B = ( x_0, 4 y_0) \). Encuentra las coordenadas de \( A \) y \( B \) si el punto medio del segmento \( AB \) es el punto \( M = (2,6) \).
Parte F
Encuentra el punto medio \( M \) del segmento definido por los puntos \( A = (-4,1) \) y \( B = (2,5) \)
Encuentra las longitudes de los segmentos \( MA \) y \( MB \). ¿Son iguales?
Encuentra la longitud del segmento de recta \( AB \)
Muestra que la longitud del segmento de recta \( MA \) es la mitad de la longitud del segmento de recta \( AB \).
La coordenada del punto \( A \) es igual a \( -2 \) y la coordenada del punto \( B \) es igual a \( 9 \); por lo tanto, la distancia \( d_1 \) entre \( A \) y \( B \) está dada por
\( d_1 = | - 2 - 9 | = |-11| = 11 \) o \( d_1 = | 9 - (-2) | = |11| = 11 \)
La coordenada del punto \( C \) es igual a \( - 8 \) y la coordenada del punto \( D \) es igual a \( - 3 \); por lo tanto, la distancia \( d_2 \) entre \( C \) y \( D \) está dada por
\( d_2 = | -8 - (-3) | = |-8 + 3| = |-5| = 5\) o \( d_2 = | -3 - (-8) | = |-3 + 8| = |5| = 5 \)
La coordenada del punto \( E \) es igual a \( 3 \) y la coordenada del punto \( F \) es igual a \( 10 \); por lo tanto, la distancia \( d_3 \) entre \( E \) y \( F \) está dada por
\( d_3 = | 3 - 10 | = |-7| = 7 \) o \( d_3 = | 10 - 3 | = |7| = 7 \)
Dados los puntos \( A = (x_0,y_0) \) y \( B = (-4,8) \),
el uso de la fórmula del punto medio \( M \) de \( A B \) da: \( \quad M = \left( \dfrac{x_0 + (-4)}{2} , \dfrac{y_0 + 8}{2} \right) \)
Las coordenadas del punto medio se dan como \( (-2,0) \)
Escribimos que las coordenadas del punto medio son iguales y por lo tanto obtenemos las ecuaciones: \( \dfrac{x_0 + (-4)}{2} = - 2 \) (I) y \( \dfrac{y_0 + 8}{2} = 0 \) (II)
Multiplica ambos lados de la ecuación (I) por \( 2 \): \( \quad 2 \times \dfrac{x_0 + (-4)}{2} = 2 \times (- 2) \)
Simplifica: \( \quad x_0 - 4 = -4 \)
Resuelve para \( x_0 \) para obtener \( x_0 = 0 \)
Multiplica ambos lados de la ecuación (II) por \( 2 \):\( \quad 2 \times \dfrac{y_0 + 8}{2} = 2 \times (0) \)
Simplifica: \( \quad y_0 + 8 = 0 \)
Resuelve para \( y_0 \) para obtener \( y_0 = -8 \)
Dado que \( A = (x_0,y_0) \), las coordenadas de \( A \) están dadas por: \( \quad A = (0,-8) \)
Parte E
Dados los puntos \( A = (3 x_0, -y_0) \) y \( B = ( x_0, 4 y_0) \),
la fórmula del punto medio da: \( \quad M = \left( \dfrac{3 x_0 + x_0}{2} , \dfrac{-y_0 + 4 y_0}{2} \right) \)
Agrupa términos semejantes en lo anterior para obtener: \( \quad M = \left( \dfrac{4 x_0}{2} , \dfrac{3 y_0}{2} \right) \)
Las coordenadas del punto medio \( M \) son conocidas como \( (2,6) \)
Por lo tanto, la igualdad de las coordenadas da las ecuaciones: \( \dfrac{4 x_0}{2} = 2 \) (I) y \( \dfrac{3 y_0}{2} = 6 \) (II)
Multiplica ambos lados de la ecuación (I) por \( 2 \): \( \quad 2 \times \dfrac{4 x_0}{2} = 2 \times 2 \)
Simplifica: \( \quad 4 x_0 = 4 \)
Resuelve para \( x_0 \) para obtener \( x_0 = 1 \)
Multiplica ambos lados de la ecuación (II) por \( 2 \):\( \quad 2 \times \dfrac{3 y_0}{2} = 2 \times 6 \)
Simplifica: \( \quad 3 y_0 = 12 \)
Resuelve para \( y_0 \) para obtener \( y_0 = 4 \)
Dado que \( A = (3x_0,-y_0) \), las coordenadas de \( A \) están dadas por: \( \quad A = (3,-4) \)
Las coordenadas de \( B = ( x_0, 4 y_0) \) están dadas por: \( \quad B = (1,16) \)
Parte F
Usa la fórmula del punto medio: \( \quad M = \left(\dfrac{-4+2}{2} , \dfrac{1+5}{2} \right) = ( -1 , 3) \)
La longitud de un segmento de recta cuyos extremos son \( A \) y \( B \) es igual a la distancia entre \( A \) y \( B \), cuya fórmula se proporciona arriba.
La longitud del segmento \( MA \) está dada por la fórmula de la distancia: \( \quad d( MA ) = \sqrt { (-4 - (-1) )^2 + (1 - 3 )^2 } = \sqrt { (-3)^2 + (-2 )^2 } = \sqrt {9+4} = \sqrt {13} \)
La longitud del segmento \( MB \) está dada por: \( \quad d( MB ) = \sqrt { (2 - (-1) )^2 + (5 - 3 )^2 } = \sqrt { (3)^2 + (2 )^2 } = \sqrt {9+4} = \sqrt {13} \)
Las longitudes \( d(MA) \) y \( d(MB) \) de los segmentos \( MA \) y \( MB \) respectivamente son iguales, como se esperaba debido a la definición de punto medio dada arriba.
\( \dfrac{1}{2} \times d(AB) = \dfrac{1}{2} \times 2 \sqrt {13} = \sqrt {13} = d(MA) \).
Nuevamente, lo anterior es esperado por la definición de punto medio dada arriba.
