Los ejes x e y dividen el plano en cuatro cuadrantes como se indica en la figura anterior.
El uso del sistema de coordenadas rectangulares se presenta junto con ejemplos, preguntas y sus soluciones.
Un sistema de coordenadas rectangulares en un plano se utiliza para trazar puntos que tienen una coordenada \( x \) y una coordenada \( y \). Una recta numérica vertical, también llamada eje y, y una recta numérica horizontal, también llamada eje x, que se intersectan en un ángulo recto forman un sistema de coordenadas en un plano como se muestra en la figura 1 a continuación. El punto de intersección de los ejes x e y se llama origen del sistema de coordenadas.
Los ejes x e y dividen el plano en cuatro cuadrantes como se indica en la figura anterior.
Cada punto en el plano corresponde a un par ordenado \( (x,y) \), donde \( x \) y \( y \) son números reales. \( x \) y \( y \) se llaman las coordenadas del punto, donde la coordenada \( x \) representa la distancia dirigida desde el eje y hasta el punto y la coordenada \( y \) representa la distancia dirigida desde el eje x hasta el punto.
Ejemplo
En el siguiente ejemplo, la coordenada \( x \) del punto \( A \) es \( 4 \) y por lo tanto positiva, por lo que el punto \( A \) está ubicado a la derecha del eje y en la dirección de la flecha del eje x.
La coordenada \( x \) del punto \( B \) es \( -5 \) y por lo tanto negativa, por lo que el punto \( B \) está ubicado a la izquierda del eje y en la dirección opuesta a la flecha del eje x.
La coordenada \( y \) del punto \( A \) es \( 2 \) y por lo tanto positiva, por lo que el punto \( A \) está ubicado arriba del eje x en la dirección de la flecha del eje y.
La coordenada \( y \) del punto \( B \) es \( -2 \) y por lo tanto negativa, por lo que el punto \( B \) está ubicado debajo del eje x en la dirección opuesta a la flecha del eje y.
Los signos de las coordenadas \( x \) e \( y \) de un punto dado proporcionan suficiente información para encontrar el cuadrante de ese punto sin trazarlo.
Ejemplo
Los puntos \( A = (4,2) \) y \( C = (-4,3) \) están ambos ubicados arriba del eje x porque sus coordenadas \( y \) \( 2 \) y \( 3 \) son ambas positivas. Pero el punto \( A \) está a la derecha del eje y y, por lo tanto, en el cuadrante I porque su coordenada \( x \) \( 4 \) es positiva.
La coordenada \( x \) de \( C \), que es \( -4 \), es negativa y, por lo tanto, el punto \( C \) está a la izquierda del eje y, por lo que se ubica en el cuadrante II.
Se podrían hacer observaciones similares sobre los puntos \( E = (-4,-2) \) en el cuadrante III y \( G = (4,-2) \) en el cuadrante IV.
Conclusión
Dado un punto con coordenadas \( x \) e \( y \), y sin trazarlo, podemos encontrar el cuadrante donde se ubicará el punto a partir de los signos de \( x \) e \( y \).
Si \( x \gt 0 \) y \( y \gt 0 \), el punto está en el cuadrante I.
Si \( x \lt 0 \) y \( y \gt 0 \), el punto está en el cuadrante II.
Si \( x \lt 0 \) y \( y \lt 0 \), el punto está en el cuadrante III.
Si \( x \gt 0 \) y \( y \lt 0 \), el punto está en el cuadrante IV.
Cualquier punto cuya coordenada \( x \) sea igual a cero se ubica en el eje y porque su distancia al eje y es igual a cero.
Ejemplo
Los puntos \( A = (0,3) \), \( D = (0,-2) \) y \( E = (0,-4) \) tienen todos la coordenada \( x \) igual a cero y, por lo tanto, están ubicados en el eje y. (ver figura 4 a continuación)
Cualquier punto cuya coordenada \( y \) sea igual a cero se ubica en el eje x porque su distancia al eje x es igual a cero.
Ejemplo
Los puntos \( G = (6,0) \), \( C = (-2,0) \) y \( B = (-8,0) \) tienen todos la coordenada \( y \) igual a cero y, por lo tanto, están ubicados en el eje x. (ver figura 4 a continuación)
Traza los siguientes puntos: \( A = (0,0) \; , \; B = (-4,3) \; , \; C = (0,-4) \; ; \; D = (5,-5) \; ; \; E = (-3,0) \; ; \; F = (-2,-3) \; ; \; G = (4,0) \; ; \; H = (2,5) \)
Da las coordenadas de todos los puntos trazados en el gráfico a continuación.
Sin trazar los puntos dados a continuación, ¿en qué cuadrante o eje se encuentra cada uno de los siguientes puntos?
\( A = (-32,-89) \; , \; B = (0,45) \; , \; C = (-88,0) \; ; \; D = (57,89) \; ; \; E = (0,-77) \; ; \; F = (45,-38) \; ; \; G = (49,0) \; ; \; H = (-90,-56) \)
Grafica cada uno de los siguientes grupos de puntos, une los puntos en el orden en que se dan y describe cada cuadrilátero obtenido.
Grupo 1: \( A = (2,2) \; , \; B = (-4,2) \; , \; C = (-4,-1) \; , \; D = (2,-1) \)
Grupo 2: \( A = (1,2) \; , \; B = (-2,2) \; , \; C = (-5,-2) \; , \; D = (5,-2) \)
Grupo 3: \( A = (0,4) \; , \; B = (-2,2) \; , \; C = (0,-4) \; , \; D = (2,2) \)
\( A = (0,1) \), \( B = (2,0) \), \( C = (1,3) \), \( D = (-1,-1) \), \( E = (1,-3) \), \( F = (-3,1) \), \( G = (0,-4) \), \( H = (-3,0) \)
\( A = (-32,-89) \) en el cuadrante III
\( B = (0,45) \) en el eje y, arriba del eje x
\( C = (-88,0) \) en el eje x, a la izquierda del eje y
\( D = (57,89) \) en el cuadrante I
\( E = (0,-77) \) en el eje y, abajo del eje x
\( F = (45,-38) \) en el cuadrante IV
\( G = (49,0) \) en el eje x, a la derecha del eje y
\( H = (-90,-56) \) en el cuadrante III
Grupo 1: \( A = (2,2) \; , \; B = (-4,2) \; , \; C = (-4,-1) \; , \; D = (2,-1) \)
Los cuatro puntos dados forman un rectángulo como se muestra a continuación.
Grupo 2: \( A = (1,2) \; , \; B = (-2,2) \; , \; C = (-5,-2) \; , \; D = (5,-2) \)
Los cuatro puntos dados forman un trapecio como se muestra a continuación.
Grupo 3: \( A = (0,4) \; , \; B = (-2,2) \; , \; C = (0,-4) \; , \; D = (2,2) \)
Los cuatro puntos dados forman una cometa como se muestra a continuación.
trazado de puntos en un sistema de coordenadas rectangulares
Tutoriales y Problemas de Geometría
The Four Pillars of Geometry - John Stillwell - Springer; 2005th edition (Aug. 9 2005) - ISBN-10 : 0387255303
Geometry: A Comprehensive Course - Daniel Pedoe - Dover Publications - 2013 - ISBN: 9780486131733
Geometry: with Geometry Explorer - Michael Hvidsten - McGraw Hill - 2006 - ISBN: 0-07-294863-9