En el estudio del interés compuesto, se demuestra que si una cantidad de dinero \( P \) (el capital) se invierte a una tasa de interés anual \( r \), entonces la cantidad total \( A \) después de \( t \) años es
\[ A = P(1 + r)^t \]Si el interés se capitaliza \( n \) veces al año, la cantidad se convierte en
\[ A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} \]Sea \[ N = \frac{n}{r} \] de modo que \( \frac{r}{n} = \frac{1}{N} \) y \( n = rN \). Sustituyendo en la fórmula obtenemos
\[ A = P\left(1 + \frac{1}{N}\right)^{Nrt} \]Esta expresión se puede reescribir como
\[ A = P\left( \left(1 + \frac{1}{N}\right)^N \right)^{rt} \]Surge una pregunta natural: ¿qué sucede si el número de capitalizaciones \( n \) (y por lo tanto \( N \)) aumenta sin límite?
A medida que \( N \to \infty \), la cantidad \[ \left(1 + \frac{1}{N}\right)^N \] se aproxima a un valor constante llamado número de Euler, denotado por \( e \), nombrado así en honor al matemático suizo Leonhard Euler.
Numéricamente, \[ e \approx 2.71828182846 \]
La siguiente tabla muestra cómo la expresión \( \left(1 + \frac{1}{N}\right)^N \) se aproxima a \( e \) a medida que \( N \) aumenta.
| \( N \) | \( \left(1 + \frac{1}{N}\right)^N \) |
|---|---|
| 1 | 2.00000 |
| 2 | 2.25000 |
| 3 | 2.37037 |
| 10 | 2.59374 |
| 20 | 2.65329 |
| 40 | 2.68506 |
| 100 | 2.70481 |
| 200 | 2.71149 |
| 400 | 2.71488 |
El siguiente gráfico ilustra \( y = \left(1 + \frac{1}{N}\right)^N \) en función de \( N \). A medida que \( N \) aumenta, la curva se aproxima a la línea horizontal \( y = e \).
De manera más rigurosa, el número de Euler se define mediante el límite
\[ e = \lim_{N \to \infty} \left(1 + \frac{1}{N}\right)^N \]Sea \( m = \frac{1}{N} \), una definición equivalente es
\[ e = \lim_{m \to 0} (1 + m)^{\frac{1}{m}} \]Cuando el interés se capitaliza continuamente, la cantidad de dinero después de \( t \) años viene dada por
\[ A = Pe^{rt} \]El número \( e \) de Euler juega un papel central en las matemáticas aplicadas. Muchos modelos en física, ingeniería, química, economía y dinámica de poblaciones se expresan utilizando funciones exponenciales con base \( e \).
La función exponencial natural se define por
\[ f(x) = e^x \]Su función inversa, el logaritmo natural, se define por
\[ g(x) = \ln(x) \]Las gráficas de las funciones exponencial natural y logaritmo natural se muestran a continuación.
