Capitalización y Capitalización Continua de Intereses

¿Qué es el interés simple y la capitalización de intereses? Se presentan explicaciones completas con ejemplos y calculadoras en línea fáciles de usar para ayudarte a experimentar con diferentes valores de parámetros y comprender las fórmulas relacionadas con la capitalización de intereses. También se incluyen problemas de interés compuesto con soluciones detalladas.

¿Qué es el Aumento Porcentual?

Para entender la capitalización, primero debes entender el aumento porcentual de una cantidad. Si $P$ es una cantidad aumentada en una tasa porcentual $r$, entonces la nueva cantidad es:

\[ P + rP = P(1 + r) \]

Debes retener la siguiente idea clave:

\[ \text{Una cantidad } P \text{ aumentada en una tasa } r \text{ se convierte en } P(1+r) \]

Ejemplo 1.

$200$ aumentado en $5\%$ se convierte en:

\[ 200 + \frac{5}{100}\cdot 200 = 200(1+0.05) \]

Interés Simple (No Capitalizable)

Si una cantidad $P$ se deposita en una cuenta de ahorros a una tasa de interés $r$ que no se capitaliza, entonces después de $t$ años el interés ganado $I$ es:

\[ I = Prt \]

La cantidad total $A$ en la cuenta después de $t$ años es:

\[ A = P + Prt = P(1 + rt) \]

Ejemplo.

$ \$100 $ invertidos a una tasa de interés del $3\%$ (no capitalizable) durante 5 años ganan:

\[ 100 \cdot \frac{3}{100} \cdot 5 = 15 \]

Capitalización Anual de Intereses

Una cantidad de dinero $P$ (principal) se invierte a una tasa de interés anual $r$.

En $t=0$: $A=P$
En $t=1$: \[ A = P + rP = P(1+r) \]
En $t=2$: \[ A = P(1+r) + rP(1+r) = P(1+r)^2 \]
En $t=3$: \[ A = P(1+r)^3 \]
En $t=4$: \[ A = P(1+r)^4 \]

Por extensión, después de $t$ años:

\[ A = P(1+r)^t \]

Entonces, si una cantidad $P$ se invierte a una tasa anual $r$ y se capitaliza anualmente, la cantidad total después de $t$ años es:

\[ A = P(1+r)^t \]

Ejemplo 2.

$ \$1000 $ invertidos durante 3 años al $3\%$ capitalizado anualmente:

\[ A = 1000(1+0.03)^3 = 1092.73 \]

Interés Capitalizado n Veces Por Año

Si el interés se capitaliza $n$ veces por año, la cantidad después de $t$ años es:

\[ A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} \]

Ejemplo 3.

$ \$1000 $ invertidos durante 3 años al $3\%$, capitalizado dos veces por año:

\[ A = 1000\left(1+\frac{0.03}{2}\right)^6 = 1093.44 \]

Capitalización Continua

Partiendo de:

\[ A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} \]

A medida que $n \to \infty$, la expresión $\left(1 + \frac{1}{N}\right)^N$ se aproxima a la constante $e \approx 2.71828$.

Por lo tanto, para capitalización continua:

\[ A = Pe^{rt} \]

Ejemplo 4.

$ \$1000 $ invertidos durante 3 años al $3\%$, capitalizados continuamente:

\[ A = 1000e^{0.03 \cdot 3} = 1094.17 \]

Conclusión.

Compara cómo los mismos $ \$1000 $ crecen bajo interés simple, capitalización anual y capitalización continua, y determina qué método genera más ganancias.