Solución
Para la capitalización anual, la cantidad después de \(t\) años es
\[ A = P(1 + r)^t \]Después de 1 año: \[ A = 2000(1.03)^1 = 2060 \] Después de 2 años: \[ A = 2000(1.03)^2 = 2121.80 \] Después de 3 años: \[ A = 2000(1.03)^3 = 2185.45 \]
Solución
Interés simple: \[ A = P(1 + rt) = 1000(1 + 0.03 \times 3) = 1090 \] Interés compuesto: \[ A = 1000(1.03)^3 = 1092.73 \]
La cuenta con capitalización compuesta produce un mayor rendimiento.
Solución
Interés simple: \[ A = 100(1 + 0.05t) \] Interés compuesto: \[ A = 100(1.05)^t \]
El interés compuesto se duplica en aproximadamente 14 años, mientras que el interés simple se duplica en aproximadamente 20 años.
Solución
Cuando el interés se capitaliza \(n\) veces al año durante \(t\) años, la cantidad está dada por
\[ A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} \]La capitalización trimestral da \(n = 4\).
\[ A = 3000\left(1 + \frac{0.05}{4}\right)^{4 \times 5} = 3846.11 \]Solución
Primera cuenta (4% anual durante 2 años):
\[ A = 1200(1.04)^2 = 1297.92 \]Segunda cuenta (5% anual durante 4 años):
\[ A = 1297.92(1.05)^4 = 1577.63 \]Solución
La capitalización diaria asume 365 días por año.
Primera cuenta (4% durante 2 años):
\[ A = 1200\left(1 + \frac{0.04}{365}\right)^{365 \times 2} = 1299.94 \]Segunda cuenta (5% durante 4 años):
\[ A = 1299.94\left(1 + \frac{0.05}{365}\right)^{365 \times 4} = 1587.73 \]El saldo final es más alto que con la capitalización anual.
Solución
Para la capitalización continua, la cantidad después de \(t\) años es
\[ A = Pe^{rt} \]Primera cuenta (4% durante 2 años):
\[ A = 1200e^{0.04 \times 2} = 1299.94 \]Segunda cuenta (5% durante 4 años):
\[ A = 1299.94e^{0.05 \times 4} = 1587.75 \]Esto es esencialmente lo mismo que la capitalización diaria.
Solución
Se nos da la cantidad final \(A = 10{,}000\).
\[ 10{,}000 = P\left(1 + \frac{0.045}{12}\right)^{12 \times 8} \]Resolviendo para \(P\):
\[ P = \frac{10{,}000}{\left(1 + \frac{0.045}{12}\right)^{96}} = 6981.46 \]Solución
Capitalización continua:
\[ A_1 = 120e^{0.07t} \]Capitalización anual:
\[ A_2 = 150(1.05)^t \]Igualamos las dos cantidades:
\[ 120e^{0.07t} = 150(1.05)^t \]Tomando logaritmos naturales:
\[ \ln(120) + 0.07t = \ln(150) + t\ln(1.05) \]Resolviendo para \(t\):
\[ t = \frac{\ln(150) - \ln(120)}{0.07 - \ln(1.05)} \approx 10.5 \text{ años} \]
Solución
Capitalización continua:
\[ A_1 = 100e^{0.05t} \]Capitalización anual:
\[ A_2 = 100(1.05)^t \]De las gráficas, la capitalización continua produce un saldo más alto a largo plazo.
Solución
Tenemos:
\[ 4000(1 + r)^{10} = 4500 \]Resolviendo para \(r\):
\[ (1 + r)^{10} = \frac{4500}{4000} \] \[ r = e^{\frac{1}{10}\ln(4500/4000)} - 1 \approx 0.012 \]Solución
Saldos:
\[ A_1 = 1000e^{0.02t}, \quad A_2 = 500e^{0.08t} \]Cuando los saldos son iguales:
\[ 1000e^{0.02t} = 500e^{0.08t} \] \[ t = \frac{\ln 2}{0.06} \approx 11.5 \text{ años} \]Cuando \(A_2 = 1.5A_1\):
\[ 500e^{0.08t} = 1500e^{0.02t} \] \[ t = \frac{\ln 3}{0.06} \approx 18.5 \text{ años} \]Solución
Cada depósito crece durante un período de tiempo diferente.
\[ A_1 = 200\left(1 + \frac{0.04}{4}\right)^4 = 208.12 \] \[ A_2 = 200\left(1 + \frac{0.04}{4}\right)^3 = 206.06 \] \[ A_3 = 200\left(1 + \frac{0.04}{4}\right)^2 = 204.02 \] \[ A_4 = 200\left(1 + \frac{0.04}{4}\right) = 202.00 \] \[ \text{Total} = 820.20 \]Solución
La inversión crece continuamente a diferentes tasas.
\[ A = 1500e^{(0.02 \times 2 + 0.05 \times 1 + 0.06 \times 2)} \] \[ A = 1850.51 \]