La fórmula hipotecaria para el pago de una hipoteca se presenta junto con ejemplos y sus soluciones.
También, si es necesario, se incluye una calculadora hipotecaria.
Una hipoteca es un tipo de préstamo que ayuda a personas o empresas a comprar una propiedad, como una casa o un edificio comercial. Cuando solicitas una hipoteca, el banco o prestamista te da el dinero que necesitas para pagar la propiedad de inmediato. Luego, devuelves el préstamo, junto con los intereses, durante varios años. Este período puede ser largo, generalmente de 15 a 30 años.
Sea \( R \) el interés anual y \( N \) el número de años para pagar el préstamo.
Dado que el pago del préstamo es mensual, sea la tasa de interés mensual:
\( \qquad r = \dfrac{R}{12} \)
y el número de meses en \( N \) años sea
\( \qquad n = 12 \times N \)
Sea \( P \) la cantidad que necesitas para comprar una casa, por ejemplo. Entonces el banco aceptará prestarte el dinero con la condición de que devuelvas el préstamo más los intereses.
Sea \( M \) el pago mensual de la hipoteca.
Al inicio, la cantidad adeudada es: \( \; A_0 = P \)
La cantidad adeudada al final del primer mes es
\( \qquad A_1 = A_0(1 + r) - M \\ \qquad \qquad = P(1 + r) - M \)
Explicación: durante un mes, la cantidad adeudada \( P \) ha aumentado en \( r P \), lo que da \( P(1+r) \), pero pagas \( M \) y de ahí el \( - M \) en la expresión anterior.
La cantidad adeudada al final del segundo mes es
\( \qquad A_2 = A_1 (1+r) - M \\ \qquad \qquad = \left( P(1 + r) - M \right)(1+r) - M \\ \qquad \qquad \qquad = P(1+r)^2 - M(1+(1+r)) \)
Explicación: durante un mes, la última cantidad adeudada \( A_1 \) ha aumentado en \( r A_1 \), lo que da \( A_1(1+r) \), pero pagas \( M \) y de ahí el \( - M \) en la expresión anterior.
La cantidad adeudada al final del tercer mes es
\( \qquad A_3 = A_2(1 + r) - M \\ \qquad \qquad = \left( P(1+r)^2 - M(1+(1+r)) \right) (1+r) - M \\ \qquad \qquad \qquad = P(1+r)^3 - M (1 + (1+r) + (1+r)^2 ) \)
Explicación: durante un mes, la última cantidad adeudada \( A_2 \) ha aumentado en \( r A_2 \), lo que da \( A_2(1+r) \), pero pagas \( M \) y de ahí el \( - M \) en la expresión anterior.
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.
y así sucesivamente
Examinando \( A_1 \), \( A_2 \) y \( A_3 \), podemos escribir que la cantidad adeudada al final del \( n^{ésimo} \) mes es
\( \qquad A_n = P(1+r)^n - M (1 + (1+r) + (1+r)^2 + ... + (1+r)^{n-1} ) \qquad (I) \)
La suma
\( \qquad 1 + (1+r) + (1+r)^2 + ... + (1+r)^{n-1} \qquad (II)\)
es una suma de secuencia geométrica y necesitamos simplificarla.
La suma de una secuencia geométrica \( S_n \) definida por
\( \qquad S_n = a_1 + R \times a_1 + R^2 \times a_1 .... R^n \times a_1 \)
viene dada por la fórmula
\[ \qquad S = a_1 \dfrac{R^{n+1} - 1}{R - 1} \]
\( \qquad a_1 \) es el primer término y \( R \) es el factor común.
Usa la fórmula anterior para simplificar la suma de la secuencia geométrica en \( II \) de arriba
\( \qquad 1 + (1+r) + (1+r)^2 + ... + (1+r)^{n-1} \\ \qquad \qquad = \dfrac{(1+r)^{n}-1}{(1+r) - 1} \\ \qquad \qquad \qquad = \dfrac{(1+r)^{n} - 1}{r} \)
Por lo tanto
La cantidad \( A_n \) adeudada después de n meses viene dada por
\( \qquad A_n = P(1+r)^n - M (1 + (1+r) + (1+r)^2 + ... + (1+r)^{n-1} ) \\ \qquad\qquad = P(1+r)^n - M \dfrac{(1+r)^{n}-1}{r} \)
El pago se realiza hasta que la cantidad \( A_n \) adeudada sea igual a cero. De ahí la ecuación
\( \qquad P(1+r)^n - M \dfrac{(1+r)^{n} - 1}{r} = 0 \)
Resuelve lo anterior para encontrar el pago mensual
\[ \qquad M = \dfrac{r \; P\; (1+r)^n}{(1+r)^{n} - 1} \]
La fórmula también se puede escribir como
\[ \qquad M = \dfrac{ \left(\frac{R}{12}\right) \; P\; (1+\frac{R}{12})^{12\times N}}{(1+\frac{R}{12})^{12 \times N} - 1} \qquad (III) \]
donde \( R \) es el interés anual, \( N \) es el número de años para pagar el préstamo y \( P \) es el préstamo inicial.
Ejemplo 1
Un préstamo de \( $250,000 \) se obtuvo en un banco con una tasa fija del \( 4.5\% \). ¿Cuál debería ser el pago mensual para que el préstamo y los intereses se paguen en \( 25 \) años?
Solución
Dado
\( R = 4.5\% = \dfrac{4.5}{100} = 0.045 \)
\( N = 25 \)
y \( P = 250,000 \)
Sustituye las cantidades conocidas en la fórmula \( III \) anterior:
\( \qquad M = \dfrac{ \frac{0.045}{12} \times \; 250000\; (1+\frac{0.045}{12})^{300}}{(1+\frac{0.045}{12})^{300} - 1} \approx $1390\)
Ejemplo 2
Necesitas un préstamo de \( $300,000 \) y el banco ofreció una tasa fija del \( 5.25\% \). Puedes pagar \( $2100 \) como pago mensual del préstamo. ¿Cuál debería ser el plazo de pagos si deseas pagar el préstamo en el período de tiempo más corto?
Solución
Dado
\( P = 300,000 \)
\( M = 2100 \)
y \( R = 5.25\% = \dfrac{5.25}{100} = 0.0525 \)
Sustituye las cantidades conocidas en la fórmula \( III \) anterior para obtener la ecuación
\( \qquad \dfrac{ \frac{0.0525}{12} \times \; 300000\; (1+\frac{0.0525}{12})^{12 \times N}}{(1+\frac{0.0525}{12})^{12 \times N} - 1} = 2100 \)
Sea \( x = (1+\frac{0.0525}{12})^{12 \times N} \)
y reescribe la ecuación como
\( \qquad \dfrac{ 1312.5 \; x }{x - 1} = 2100 \)
Reescribe la ecuación anterior como
\( 1312.5 \; x = 2100 x - 2100 \)
y resuelve para \( x \)
\( x = 2.66666 \)
Sustituye \( x \) por su expresión
\( (1+\frac{0.0525}{12})^{12 \times N} = 2.66666 \)
Toma \( \ln \) de ambos lados
\( 12 \times N \; \ln (1+\frac{0.0525}{12}) = \ln 2.66666 \)
Resuelve para \( N \approx 18.72325\)
Un plazo de \( 20 \) años es adecuado para pagar el préstamo de \( $300,000 \) a la tasa fija del \( 5.25\% \).