Presentamos ejemplos sobre cómo usar las propiedades de conmutatividad, asociatividad y distributividad y las diferentes reglas de las fracciones para factorizar expresiones que incluyen fracciones.
Preguntas y sus respuestas también se incluyen.
Es posible que se necesite una revisión de las propiedades de conmutatividad, asociatividad y distributividad y las diferentes reglas de las fracciones antes de comenzar con los ejemplos y preguntas a continuación.
Ejemplo 1
Usa la distributividad para factorizar completamente las siguientes expresiones.
a) \( \quad \dfrac{x}{4} + \dfrac{1}{2} \)
b) \( \quad \dfrac{4}{3} \times \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{6} \)
c) \( \quad \dfrac{3x}{16} + \dfrac{9}{8} \)
d) \( \quad \dfrac{2 x^2}{7} + \dfrac{4 x }{21} \)
Solución al Ejemplo 1
Para factorizar fracciones, primero buscamos un máximo común divisor (MCD) en los numeradores y un MCD en los denominadores.
a)
Dado: \( \dfrac{x}{4} + \dfrac{1}{2} \)
Los numeradores \( x \) y \( 1 \) de las dos fracciones tienen \( 1 \) como factor común. Los denominadores \( 4 \) y \( 2 \) tienen un máximo común divisor igual a \( 2 \). Por lo tanto, la fracción \( \dfrac{1}{2} \) es un factor común para los dos términos en la expresión dada.
Escribe cada una de las fracciones \( \dfrac{x}{4} \) y \( \dfrac{1}{2} \) como un producto del factor común \( \dfrac{1}{2} \) y otra fracción.
\[ \quad\quad \dfrac{x}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{1} \]
Usa la distributividad (de derecha a izquierda) para factorizar la fracción \( \dfrac{1}{2} \)
\[ \quad\quad= \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{x}{2} + 1 \right) \]
b)
Dado: \( \dfrac{4}{3} \times \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{6} \)
Multiplica las fracciones de la izquierda.
\[ \quad\quad \dfrac{4}{3} \times \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{4 x}{6} + \dfrac{1}{6}\]
Los numeradores \( 4x \) y \( 1 \) de las dos fracciones anteriores tienen \( 1 \) como factor común. Sin embargo, los denominadores son iguales a \( 6 \). Por lo tanto, la fracción común es \( \dfrac{1}{6} \).
Escribe cada una de las fracciones \( \dfrac{4 x}{6} \) y \( \dfrac{1}{6} \) como un producto del factor común \( \dfrac{1}{6} \) y otra fracción.
\[ \quad\quad = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{4 x}{1} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{1} \]
Factoriza la fracción \( \dfrac{1}{6} \).
\[ \quad\quad = \dfrac{1}{6} \left ( 4 x + 1 \right ) \]
c)
Dado: \( \dfrac{3x}{16} + \dfrac{9}{8} \)
Los numeradores \( 3x \) y \( 9 \) de las dos fracciones anteriores tienen un máximo común divisor igual a \( 3 \). Los denominadores tienen un máximo común divisor igual a \( 8 \). Por lo tanto, la fracción \( \dfrac{3}{8} \) es un factor común.
Escribe cada una de las fracciones \( \dfrac{3x}{16} \) y \( \dfrac{9}{8} \) como un producto del factor común \( \dfrac{3}{8} \) y otra fracción.
\[ \dfrac{3x}{16} + \dfrac{9}{8} = \dfrac{3}{8} \times \dfrac{x}{2} + \dfrac{3}{8} \times \dfrac{3}{1} \]
Factoriza la fracción \( \dfrac{3}{8} \).
\[ \quad\quad = \dfrac{3}{8} \left ( \dfrac{x}{2} + 3 \right ) \]
d)
Dado: \( \dfrac{2 x^2}{7} + \dfrac{4 x }{21} \)
Los numeradores \( 2 x^2 \) y \( 4 x \) de las dos fracciones anteriores tienen un factor común igual a \( 2 x \). Los denominadores tienen un máximo común divisor igual a \( 7 \). Por lo tanto, la fracción \( \dfrac{2x}{7} \) es un factor común.
Escribe cada una de las fracciones \( \dfrac{2 x^2}{7} \) y \( \dfrac{4 x }{21} \) como un producto del factor común \( \dfrac{2x}{7} \) y otra fracción.
\[ \dfrac{2 x^2}{7} + \dfrac{4 x }{21} = \dfrac{2x}{7} \times \dfrac{x}{1} + \dfrac{2x}{7} \times \dfrac{2}{3} \]
Factoriza la fracción \( \dfrac{2x}{7} \).
\[ \quad\quad = \dfrac{2x}{7} \left ( x + \dfrac{2}{3} \right) \]
Factoriza completamente las siguientes expresiones.