Reglas de las Fracciones

Presentamos ejemplos sobre cómo usar las reglas de las fracciones para simplificar expresiones que incluyen fracciones. Preguntas y sus soluciones con explicaciones detalladas también se incluyen.
Las fracciones son algunos de los conceptos más importantes en matemáticas y, por lo tanto, deben ser muy bien comprendidas. Los estudiantes necesitan tener habilidades sólidas relacionadas con las operaciones con fracciones, como sumar, dividir, fracciones equivalentes, ... . Las habilidades aquí discutidas te brindan los conceptos básicos tan necesarios para tratar con fracciones en forma numérica, así como con fracciones con variables.
Hay reglas y definiciones; la idea es revisarlas en el orden en que se presentan y entender cada una antes de pasar a la siguiente.
Para desarrollar habilidades sólidas en fracciones, estas reglas y cualquier otra regla sobre fracciones deben ser completamente comprendidas y utilizadas para practicar con más ejemplos y preguntas durante todo el tiempo que estés estudiando matemáticas.

1. Numerador y Denominador de una Fracción
   Una fracción se escribe en la forma \[ {\Large \dfrac{a}{b}} \] donde \( a \) y \( b \) son números enteros. \( a \) se llama el numerador y \( b \) el denominador, el cual nunca puede ser igual a cero.
   
   
   
   
2. El Denominador de una Fracción Nunca es Igual a Cero
   Estas fracciones son indefinidas porque sus denominadores son iguales a cero y, por lo tanto, NO están permitidas en matemáticas.
   
   \( \quad \ccancel[red]{\dfrac{2}{0}} \) , \( \ccancel[red]{\dfrac{0}{0}} \) , \( \ccancel[red]{\dfrac{1000000}{0}} \)
   
   
   
   
3. El Numerador de una Fracción Puede ser Igual a Cero
   Cualquier fracción cuyo numerador es igual a cero es en sí misma igual a cero, siempre que su denominador no sea igual a cero.
   
   \( \quad \dfrac{0}{3} = 0 \) , \( \dfrac{0}{100000} = 0 \) , \( \dfrac{0}{-8} = 0 \)
   
   La fracción \( \ccancel[red]{\dfrac{0}{0}} \) es indefinida porque su denominador es igual a cero.
   
   
   
   
4. Una Fracción con Denominador Igual a 1 se Simplifica a un Entero
   Cualquier fracción cuyo denominador es igual a 1 puede escribirse como un número entero.
   
   \( \quad \dfrac{4}{1} = 4 \) , \( \dfrac{9}{1} = 9 \) , \( \dfrac{2x}{1} = 2x \)
   
   
   
   
5. Una Fracción con Denominador Igual a su Numerador
   Cualquier fracción cuyo denominador es igual a su numerador se simplifica a 1.
   
   \( \quad \dfrac{6}{6} = 1 \) , \( \dfrac{3x}{3x} = 1 \) para \( x \ne 0 \)
   
   
   
   
6. Fracciones Equivalentes
   Dos fracciones \( \dfrac{a}{b} \) y \( \dfrac{c}{d} \) son equivalentes y pueden escribirse como \( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \) si y solo si \( \quad a \times d = b \times c\).
   
   Ejemplo
   a) Las dos fracciones \( \dfrac{\color{blue}2}{\color{brown}5} \) y \( \dfrac{\color{red}6}{15} \) son equivalentes porque \( \quad \color{blue}2 \times 15 = 30\) y \( \color{brown}5 \times \color{red}6 = 30\) y por lo tanto \( \color{blue}2 \times 15 = \color{brown}5 \times \color{red}6 \).
   
   b) Las dos fracciones \( \dfrac{\color{blue}{2x}}{\color{brown}3} \) y \( \dfrac{\color{red}4x}{6} \) son equivalentes porque \( \quad \color{blue}{2x} \times 6 = 12x\) y \( \color{brown}3 \times \color{red}{4x} = 12 x \) y por lo tanto \( \color{blue}{2x} \times 6 = \color{brown}3 \times \color{red}{4x} \).
   
   
   
   
7. Cómo Hacer Fracciones Equivalentes Mediante Multiplicación
   Puedes crear fracciones equivalentes multiplicando el numerador y el denominador de la fracción dada por el mismo número \( k \) , \( k \ne 0 \):
   \( \quad \dfrac{a}{b} = \dfrac{a\color{red}{\times k}}{b \color{red} {\times k}} \)
   Hay muchas formas de escribir fracciones equivalentes mediante multiplicación, dependiendo de los valores de \( k \).
   
   Ejemplo
   a) \( \quad \dfrac{3}{7} = \dfrac{3 \color{red}{\times 5}}{7 \color{red}{\times 5} } = \dfrac{15}{35} \)
   
   b) \( \quad \dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \color{red}{\times 2x}}{3 \color{red}{\times 2x} } = \dfrac{4x}{6x} \) para \( x \ne 0\)
   
   
   
   
8. Cómo Hacer Fracciones Equivalentes Mediante División
   Puedes crear fracciones equivalentes dividiendo el numerador y el denominador de la fracción dada por el mismo número \( k \) , \( k \ne 0 \):
   \( \quad \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \color{red}{\div k}}{b \color{red}{\div k}} \)
   
   Ejemplo
   a) \( \quad \dfrac{8}{12} = \dfrac{8 \color{red}{\div 4}}{12 \color{red}{\div 4} } = \dfrac{2}{3} \)
   
   b) \( \quad \dfrac{x}{14x} = \dfrac{x \color{red}{\div x}}{14x \color{red}{\div x} } = \dfrac{1}{14} \) para \( x \ne 0\)
   
   
   
   
9. Recíproco de una Fracción
   El recíproco de una fracción \( \dfrac{a}{b} \) es igual a \( \quad \color{red}{ \dfrac{b}{a} } \) para \( a \ne 0 \).
   Nota: El producto de la fracción \( \dfrac{a}{b} \) y su recíproco \( \color{red}{ \dfrac{b}{a} } \) es igual a 1.
   \[ \dfrac{a}{b} \times \color{red}{ \dfrac{b}{a} } = 1 \]
   Nota: El recíproco de una fracción cuyo denominador es igual a cero es indefinido.
   
   Ejemplo
   a) El recíproco de \( \dfrac{7}{9} \) es \( \dfrac{9}{7} \)
   
   y \( \dfrac{7}{9} \times \dfrac{9}{7} = \dfrac{7 \times 9}{9 \times 7} = \dfrac{63}{63} = 1\)
   
   b) El recíproco de \( \dfrac{0}{7} \) es indefinido porque el numerador de la fracción dada es igual a cero.
   
   c) El recíproco de \( \dfrac{x}{2} \) es \( \dfrac{2}{x} \) , para \( x \ne 0 \)
   
   y \( \dfrac{x}{2} \times \dfrac{2}{x} = \dfrac{x \times 2}{2 \times x} = \dfrac{2x}{2x} = 1\)
   
   
   
   
10. Escribir un Entero como una Fracción
    Cualquier número entero \( a \) puede escribirse como una fracción de la siguiente manera:
    \( \quad a = \dfrac{a \color{red}{\times k}}{ \color{red}k} \) para cualquier número entero \( k \ne 0\)
    Hay muchas formas de escribir un número entero como una fracción.
    
    Ejemplo
    a) \( \quad 3 = \dfrac{3 \times 1}{1} = \dfrac{3}{1} \)
    
    b) \( \quad 3 = \dfrac{3 \times 4}{4} = \dfrac{12}{4} \)
    
    c) \( \quad 5 = \dfrac{5 \times x}{x} = \dfrac{5x}{x} \) para \( x \ne 0 \)
    
    
    
    
11. Escribir un Número Decimal como una Fracción
    Un número decimal \( a \) puede escribirse como una fracción escribiéndolo primero como una división entre 1 y luego multiplicando la parte superior e inferior de la división por un múltiplo de 10 de modo que el número decimal se convierta en un entero.
    
    Ejemplo
    a) \( \quad 0.1 = \dfrac{0.1 }{1} = \dfrac{0.1 \times 10}{1 \times 10 } = \dfrac{1}{10} \)
    
    b) \( \quad 2.09 = \dfrac{2.09 }{1} = \dfrac{2.09 \times 100 }{1 \times 100} = \dfrac{209}{100}\)
    
    c) \( \quad 0.0137 = \dfrac{0.0137}{1} = \dfrac{0.0137 \times 10000}{1 \times 10000} = \dfrac{137}{10000} \)
    
    
    
    
12. Sumar Fracciones
    a) Sumar Fracciones con Denominadores Comunes
    Sumamos fracciones con denominadores comunes manteniendo el denominador común y sumando los numeradores de la siguiente manera:
    \( \quad \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{ \color{red}{a+b}}{c}\)
    Ejemplo
    \( \quad \dfrac{2}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{2+1}{8} = \dfrac{3}{8} \)
    
    b) Sumar Fracciones con Diferentes Denominadores
    Sumamos fracciones con diferentes denominadores escribiendo primero las dos fracciones a sumar con un denominador común y luego las sumamos.
    \( \quad \dfrac{a}{\color{red} c} + \dfrac{b}{\color{blue} d} = \dfrac{a}{c} \color{blue}{ \times \dfrac{d}{d}} + \dfrac{b}{d} \color{red}{ \times \dfrac{c}{c}} \)
    
    \( = \dfrac{a \times d}{c \times d} + \dfrac{b \times c}{d \times c} = \dfrac{a \times d + b \times c}{c\times d} \)
    Ejemplo
    \( \quad \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{5} \)
    
    \( = \dfrac{2}{3} \color{red}{ \times \dfrac{5}{5}} + \dfrac{1}{5} \color{red}{ \times \dfrac{3}{3}} \)
    
    \( = \quad \dfrac{2 \times 5 + 1 \times 3 }{3 \times 5} = \dfrac{13}{15}\)
    
    
    
    
13. Restar Fracciones
    a) Restar Fracciones con Denominadores Comunes
    Restamos fracciones con denominadores comunes manteniendo el denominador común y restando los numeradores de la siguiente manera:
    \( \quad \dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{ \color{red}{ a - b}}{c}\)
    Ejemplo
    \( \quad \dfrac{11}{7} - \dfrac{6}{7} = \dfrac{11-6}{7} = \dfrac{5}{7} \)
    
    b) Restar Fracciones con Diferentes Denominadores
    Restamos fracciones con diferentes denominadores escribiendo primero las dos fracciones a restar con un denominador común y luego las restamos.
    \( \quad \dfrac{a}{\color{red}c} - \dfrac{b}{ \color{blue} d} = \dfrac{a}{c} \color{blue}{ \times \dfrac{d}{d}} - \dfrac{b}{d} \color{red}{ \times \dfrac{c}{c} } \)
    
    \( = \dfrac{a \times d}{c \times d} - \dfrac{b \times c}{d \times c} = \dfrac{a \times d - b \times c}{c\times d} \)
    Ejemplo
    \( \quad \dfrac{4}{3} - \dfrac{2}{5} \)
    
    \( = \dfrac{4}{3} \color{red}{ \times \dfrac{5}{5}} - \dfrac{2}{5} \color{red}{ \times \dfrac{3}{3} } \)
    
    \( \quad =\dfrac{20}{15} - \dfrac{6}{15} = \dfrac{14}{15} \)
    
    
    
    
14. Multiplicar Fracciones
    Multiplicamos fracciones multiplicando numerador por numerador y denominador por denominador de la siguiente manera:
    \( \quad \dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{\color{red}{a \times c}}{\color{red}{b \times d}}\)
    Ejemplo
    \( \quad \dfrac{2}{5} \times \dfrac{4}{7} = \dfrac{2 \times 4}{5 \times 7} = \dfrac{8}{35} \)
    
    
    
    
15. Dividir Fracciones
    Dividimos fracciones multiplicando la primera fracción por el recíproco de la segunda fracción de la siguiente manera:
    \( \quad \dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \color{red}{ \times \dfrac{d}{c}} \)
    Ejemplo
    \( \quad \dfrac{7}{2} \div \dfrac{2}{5} = \dfrac{7}{2} \color{red}{\times \dfrac{5}{2}} = \dfrac{7 \times 5}{2 \times 2} = \dfrac{35}{4} \)
    
    
    
    
16. Sumar un Número y una Fracción
    Sumamos un número y una fracción reescribiendo el número como una fracción con denominador común y luego sumamos de la siguiente manera.
    \( \quad a + \dfrac{b}{c} = \color{red} {a \times \dfrac{c}{c}} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a c }{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a c + b}{c} \)
    Ejemplo
    \( \quad 2 + \dfrac{3}{4} = \color{red} {2 \times \dfrac{4}{4}} + \dfrac{3}{4} \)
    
    \( \quad \quad = \dfrac{2 \times 4 }{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{8}{4} + \dfrac{3}{4} \)
    
    \( \quad \quad \quad = \dfrac{8 + 3}{4} = \dfrac{11}{4} \)
    
    
    
    
17. Multiplicar un Número por una Fracción
    Multiplicamos un número por una fracción reescribiendo el número como una fracción y luego multiplicamos de la siguiente manera.
    \( \quad a \times \dfrac{b}{c} = \color{red}{ \dfrac{a}{1}} \times \dfrac{b}{c} = \dfrac{a b}{c} \)
    Ejemplo
    \( \quad 7 \times \dfrac{2}{5} = \color{red}{ \dfrac{7}{1} } \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{7 \times 2}{1 \times 5} = \dfrac{14}{5} \)
    
    
    
    
18. Dividir un Número por una Fracción
    Dividimos un número por una fracción reescribiendo primero el número como una fracción y luego dividimos de la siguiente manera.
    \( \quad a \div \dfrac{b}{c} = \color{red}{ \dfrac{a}{1} } \div \dfrac{b}{c} = \dfrac{a}{1} \times \dfrac{c}{b} = \dfrac{a c}{b} \)
    
    Ejemplo
    \( \quad 2 \div \dfrac{3}{11} = \color{red}{ \dfrac{2}{1}} \times \dfrac{11}{3} = \dfrac{2 \times 11}{1 \times 3} = \dfrac{22}{3} \)
    
    
    
    
19. Dividir una Fracción por un Número
    Dividimos una fracción por un número reescribiendo primero el número como una fracción y luego dividimos de la siguiente manera.
    \( \quad \dfrac{a}{b} \div c = \dfrac{a}{b} \div \color{red}{ \dfrac{c}{1}} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{1}{c} = \dfrac{a}{b c} \)
    
    Ejemplo
    \( \quad \dfrac{2}{7} \div 3 = \dfrac{2}{7} \div \color{red}{ \dfrac{3}{1} } = \dfrac{2}{7} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{21} \)
    
    
    
    
20. Fracciones con Signo
    Las fracciones con signo pueden escribirse en cualquiera de las siguientes formas:
    a)
    \( \quad - \dfrac{a}{b} = \dfrac{- a}{b} = \dfrac{a}{-b} \)
    
    Ejemplo
    \( \quad - \dfrac{5}{12} = \dfrac{-5}{12} = \dfrac{5}{-12} \)
    
    b)
    \( \quad \dfrac{ - a}{ - b} = \dfrac{a}{b} \)
    
    Ejemplo
    \( \quad \dfrac{-2}{-7} = \dfrac{2}{7} \)

Preguntas

1. Escribe lo siguiente como una sola fracción y redúcela a su mínima expresión si es posible. Soluciones están incluidas.
   
   
   1. ) \( \dfrac{0}{3} + \dfrac{1}{3} \)
      
      
   2. ) \( \dfrac{2}{0} + 5 \)
      
      
   3. ) \( \dfrac{3}{5} + 2 \)
      
      
   4. ) \( \dfrac{3}{2} + 2.1 \)
      
      
   5. ) \( 0.1 x + \dfrac{2x}{3}\)
      
      
   6. ) \( 3 x + \dfrac{x}{4} \)
      
      
   7. ) \( 3x - \dfrac{5 x}{4} \)
      
      
   8. ) \( \dfrac{3}{5} \times \dfrac{4}{9} \)
      
      
   9. ) \( 6 \times \dfrac{3}{7} \)
      
      
   10. ) \( \dfrac{2x}{5} \times \dfrac{1}{2} \)
       
       
   11. ) \( \dfrac{6}{7} \div 3 \)
       
       
   12. ) \( x \div \dfrac{1}{9} \)
       
       
   13. ) \( \dfrac{2x}{5} \div \dfrac{1}{9} \)
       
       
   14. ) \( - \dfrac{-3}{5} + \dfrac{-3}{5} \)
       
       
   15. ) \( \dfrac{2}{-9} + \dfrac{7}{9} \)
       
       
   16. ) \( \dfrac{-5}{-2} - \dfrac{7}{2} \)
       
       
   17. ) \( \dfrac{-2x}{3} - \dfrac{ - 5x}{- 3} \)
       
       
   18. ) \( 2 - \dfrac{ 4 + \dfrac{1}{3}}{1+\dfrac{1}{2}} \)
       
       
   19. ) \( x - \dfrac{ 2x + \dfrac{x}{2}}{x - \dfrac{2x}{3}} \)

Soluciones a las preguntas anteriores incluidas.

Más Referencias y Enlaces