Función Raíz Cúbica: Gráfica, Transformaciones, Dominio, Rango e Intersecciones

En esta lección, estudiamos la función raíz cúbica:

\[ f(x) = a \sqrt[3]{x - b} + c \]

Utiliza los deslizadores a continuación para cambiar interactivamente \(a\), \(y\). Observa los desplazamientos verticales, desplazamientos horizontales, estiramientos, reflexiones y las intersecciones con los ejes.

Explorador Interactivo de la Gráfica de la Raíz Cúbica











Dominio y Rango de la Función Raíz Cúbica

La función raíz cúbica está definida para todos los números reales porque existen las raíces cúbicas de números negativos:

\[ \sqrt[3]{-8} = -2, \quad \sqrt[3]{-27}=-3 \]

Esto significa que el dominio (conjunto de posibles valores de x) y el rango (conjunto de posibles valores de y) son ambos:

\[ \text{Dominio} = (-\infty, \infty), \quad \text{Rango} = (-\infty, \infty) \]

¿Por qué? Cada número real x tiene exactamente una raíz cúbica, y la función crece continuamente desde \(-\infty\) hasta \(+\infty\), por lo que la salida también cubre todos los números reales.

Efecto de los Parámetros

1. Desplazamiento Vertical: parámetro c

Aumentar c desplaza la gráfica hacia arriba; disminuirla la desplaza hacia abajo:

\[ f(x) = \sqrt[3]{x} + 2 \]

2. Desplazamiento Horizontal: parámetro b

Aumentar b desplaza la gráfica hacia la derecha; disminuirla la desplaza hacia la izquierda:

\[ f(x) = \sqrt[3]{x-3} \]

3. Estiramiento / Reflexión: parámetro a

- \( |a| > 1\): estiramiento vertical
- \(0<|a|<1\): compresión vertical
- \(a<0\): reflexión sobre el eje x

\[ f(x) = -2\sqrt[3]{x} \]

Intersecciones con los Ejes

Intersección con el Eje X

\[ a\sqrt[3]{x-b}+c=0 \implies x = b + \left(-\frac{c}{a}\right)^3 \]

Intersección con el Eje Y

\[ f(0) = a\sqrt[3]{-b}+c \]

Ejemplo: \(f(x)=2\sqrt[3]{x-8}+1\)

\[ f(0) = 2\sqrt[3]{-8}+1 = -3 \]

Conclusiones Clave