Función Cúbica

Gráficas de las funciones cúbicas de la forma \[ f(x) = a (x - c)^3 + d \] con \(a \neq 0\), así como sus propiedades como el dominio, rango, intercepto en x e intercepto en y, se exploran de forma interactiva mediante un applet. Ecuaciones de la forma \[ a (x - c)^3 + d = 0 \] también se exploran gráficamente.

La exploración se realiza cambiando los parámetros \(a\), \(c\) y \(d\) que definen la función cúbica general anterior. Las respuestas a las preguntas del tutorial se encuentran al final de la página.

Tutorial

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Las respuestas a las preguntas del tutorial se incluyen a continuación.

1. Use los deslizadores para fijar los parámetros \(a\), \(c\) y \(d\) a diferentes valores (\(a \neq 0\)) y determine el dominio de la función cúbica \(f\).
2. ¿Cuál es el rango de la función cúbica \(f\)?
3. Fije los parámetros \(a\) y \(c\) a algunos valores y cambie \(d\). ¿Qué le sucede a la gráfica cuando \(d\) cambia? Proporcione una explicación analítica.
4. Fije los parámetros \(a\) y \(d\) a algunos valores y cambie \(c\). ¿Qué le sucede a la gráfica cuando \(c\) cambia? Proporcione una explicación analítica.
5. Use los deslizadores para fijar los parámetros \(c\) y \(d\) a algunos valores y cambie \(a\). ¿Qué le sucede a la gráfica cuando \(a\) cambia? Proporcione una explicación analítica.
6. ¿Cuántos interceptos en x tiene la gráfica de la función cúbica?
7. ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación de la forma \[ a (x - c)^3 + d = 0 \] ? Resuelva la ecuación para \(x\) en términos de \(a\), \(c\) y \(d\) y úsela para verificar la solución (intercepto en x) proporcionada por el applet.
8. ¿Cuál es el intercepto en y de la gráfica de la función cúbica? Compare con los valores mostrados por el applet.

Respuestas a las Preguntas Anteriores

1. El conjunto de todos los números reales: \(\mathbb{R}\).
2. El conjunto de todos los números reales: \(\mathbb{R}\).
3. Cuando \(d\) aumenta, la gráfica se traslada hacia arriba; cuando \(d\) disminuye, la gráfica se traslada hacia abajo. La gráfica se desplaza verticalmente porque las coordenadas y de todos los puntos cambian.
4. Despeje \(x\) de \(y = a (x - c)^3 + d\): \[ x = \sqrt[3]{\frac{y - d}{a}} + c \] Cuando \(c\) aumenta, todas las coordenadas x aumentan (la gráfica se desplaza a la derecha). Cuando \(c\) disminuye, la gráfica se desplaza a la izquierda. Vea desplazamiento horizontal.
5. Para \(a > 0\), a medida que \(|a|>1\), la gráfica se estira verticalmente. A medida que \(|a|<1\), se encoge verticalmente. El parámetro \(a\) multiplica las coordenadas y. Si \(a<0\), la gráfica se refleja sobre el eje x.
6. Exactamente un intercepto en x.
7. Una solución correspondiente al intercepto en x: \[ a (x - c)^3 + d = 0 \implies x = \sqrt[3]{- \frac{d}{a}} + c \]
8. Fije \(x = 0\) para encontrar el intercepto en y: \[ y = a(-c)^3 + d \] Sustituya los valores elegidos de \(a\), \(c\) y \(d\) y compare con el applet.

Más Referencias y Enlaces a Funciones

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