Funciones Periódicas

¿Qué son las Funciones Periódicas?

Las funciones periódicas se aplican para estudiar señales y ondas en sistemas eléctricos y electrónicos, vibraciones en sistemas de ingeniería mecánica y civil, ondas en física y sistemas inalámbricos, y tiene muchas otras aplicaciones.
La gráfica de una función periódica se repite a sí misma en ciclos para \( x \) en el dominio de la función. Si se conoce \( f \) en un ciclo, se conoce en todas partes del dominio de \( f \) ya que la gráfica se repite.
Una función \( f \) es periódica con período \( P \) si
\( f(x) = f(x + P) \) , para \( x \) en el dominio de \( f \).
\( P \) es el número positivo real más pequeño para el cual se cumple la condición anterior. En la siguiente gráfica se muestra una función periódica con dos ciclos como ejemplo. El período \(P\) es la distancia, a lo largo del eje x, entre dos puntos cualesquiera que conforman un ciclo, como se muestra en la gráfica a continuación.
\( P = x_2 - x_1 = x_4 - x_3 \)

Ejemplo 1
Las seis funciones trigonométricas son periódicas.

1. \( \sin(x + 2\pi ) = \sin(x) \) , el período de \( \sin(x) \) es igual a \( P = 2\pi \)
   La gráfica de \( \sin(x) \) se muestra a continuación con un ciclo, en rojo, cuya longitud en el eje x es igual a un período P dado por: \( P = 2 \pi - 0 = 2 \pi \)
   
   
   
2. \( \cos(x + 2\pi ) = \cos(x) \) , el período de \( \cos(x) \) es igual a \( P = 2\pi \)
3. \( \sec(x + 2\pi ) = \sec(x) \) , el período de \( \sec(x) \) es igual a \( P = 2\pi \)
4. \( \csc(x + 2\pi ) = \csc(x) \) , el período de \( \csc(x) \) es igual a \( P = 2\pi \)
5. \( \tan(x + \pi ) = \tan(x) \) , el período de \( \tan(x) \) es igual a \( P = \pi \)
   La gráfica de \( \tan(x) \) se muestra a continuación con un ciclo, en rojo, cuya longitud en el eje x es igual a un período P dado por: \( P = \dfrac{\pi}{2} - (-\dfrac{\pi}{2} ) = \pi \)
   
   
   
6. \( \cot(x + \pi ) = \cot(x) \) , el período de \( \cot(x) \) es igual a \( P = \pi \)

Período de Funciones Transformadas

Ejemplo 2
Usa el período de las funciones trigonométricas dadas en el ejemplo 1 para encontrar el período de cada función dada a continuación

1. \( f(x) = \sin(0.5 x) \)
2. \( g(x) = \tan(2 x + \pi/6) \)
3. \( h(x) = \cos(-(2/3) x - \pi) \)
4. \( j(x) = \sec(\pi x - 2) \)
5. \( k(x) = \cot(-(2\pi/3) x) \)

1. El período de \( \sin(x) \) es \( 2\pi \). Usamos la fórmula anterior para encontrar el período de \( f(x) = \sin(0.5 x) \) como: \( \dfrac{2\pi }{|0.5|} = 4\pi\)
2. El período de \( \tan(x) \) es \( \pi \), por lo tanto el período de \( g(x) = \tan(2 x + \pi/6) \) es igual a \( \dfrac{\pi }{|2|} \)
3. El período de \( \cos(x) \) es \( 2\pi \), por lo tanto el período de \( h(x) = \cos(-(2/3) x - \pi) \) es igual a \( \dfrac{2\pi }{|-2/3|} = 3\pi\)
4. El período de \( \sec(x) \) es \( 2\pi \) y el período de \( j(x) = \sec(\pi x - 2) \) está dado por \( \dfrac{2\pi }{|\pi|} = 2\)
5. El período de \( \cot(x) \) es \( \pi \) y el período de \( k(x) = \cot(-(2\pi/3) x) \) está dado por \( \dfrac{\pi }{|-2\pi/3|} = 3/2\)

Más Ejemplos con Soluciones

Ejemplo 3
Usa el período de las funciones trigonométricas dadas en el ejemplo 1 para encontrar el período de cada función dada a continuación

1. \( f(x) = \sin(x) \cos(x) \)
2. \( g(x) = \sin^2(x) \)
3. \( h(x) = \cos(x) + \sin(x) \)

1. Usa la identidad \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) para escribir \( f(x) = \sin(x) \cos(x) = (1/2) \sin(2x) \), por lo tanto el período de \( f(x) \) está dado por \( \dfrac{2\pi }{|2|} = \pi\)
2. Usa la identidad \( \cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x) \) para escribir \( g(x) = \sin^2(x) = \dfrac{1}{2} \cos(2x)+ \dfrac{1}{2} \), por lo tanto el período de \( g(x) \) está dado por \( \dfrac{2\pi }{|2|} = \pi \)
3. Usa la identidad trigonométrica de una suma para expandir \( \sin(x + \pi/4) = \sin(x) \cos(\pi/4) + \cos(x) \sin(\pi/4) = \dfrac{\sqrt 2}{2}{\sin(x) + \dfrac{\sqrt 2}{2} \cos(x)} \) para reescribir \( h(x) \) como
   \( h(x) = {\sin(x) + \cos(x)} = \dfrac{2}{\sqrt 2}{\sin(x + \pi/4)} \) y calcula el período de \( h(x) \) como: \( \dfrac{2\pi }{|1|} = 2\pi \)

Más Referencias y Enlaces a Funciones