Preguntas de Sumar y Restar Expresiones Radicales con Soluciones

Se presentan preguntas de grado 10 sobre cómo sumar y restar expresiones con radicales y sus soluciones.

Definición

Las expresiones radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando.
Ejemplos
\[ 1) \; 6 \sqrt[3]{5} \quad \text{y} \quad -5 \sqrt[3]{5} \] son radicales semejantes porque tienen el mismo índice (el número de la raíz que es 3) y el mismo radicando (el número bajo el radical que es 5). \[ 2)\; 7 \sqrt[3]{8} \quad \text{y} \quad -5 \sqrt[3]{9} \] no son radicales semejantes porque tienen radicandos diferentes, 8 y 9. \[ 3)\; 3 \sqrt{2x} \quad \text{y} \quad -5 \sqrt{2x} \] son radicales semejantes porque tienen el mismo índice (2 para la raíz cuadrada) y el mismo radicando \(2 x \).

Sumar y Restar Radicales Semejantes

Solo se pueden sumar o restar radicales semejantes.

Ejemplos

Simplifica las siguientes expresiones \[ 1)\; 4 \sqrt[3]{5} + 7 \sqrt[3]{5} \] \[2)\; 9 \sqrt{13} - 11 \sqrt{13} \] \[3)\; -8 \sqrt[4]{2x+1} + 6 \sqrt[4]{2x+1} \] \[4)\; -\sqrt{2xy} - 4 \sqrt{2xy} + 23 \sqrt{2xy} \]

Soluciones a los Ejemplos Anteriores

Las expresiones anteriores se simplifican factorizando primero los radicales semejantes y luego sumando/restando. \[ 1)\; 4\sqrt[3]{5} + 7\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{5}(4+7) = 11\sqrt[3]{5} \] \[2)\; 9\sqrt{13} - 11\sqrt{13} = \sqrt{13}(9-11) = -2\sqrt{13} \] \[3)\; -8\sqrt[4]{2x+1} + 6\sqrt[4]{2x+1} = \sqrt[4]{2x+1}(-8+6) = -2\sqrt[4]{2x+1} \] \[4)\; -\sqrt{2xy} - 4\sqrt{2xy} + 23\sqrt{2xy} = \sqrt{2xy}(-1-4+23) = 18\sqrt{2xy} \]

Más Ejemplos

Simplifica las siguientes expresiones Aquí están las expresiones de la imagen formateadas en LaTeX para MathJax: \[ 1) \; 4\sqrt{8} - 6\sqrt{2} \] \[ 2) \; 5\sqrt[3]{81} - 6\sqrt[3]{3} \] \[ 3) \; -4\sqrt{12} + 12\sqrt{108} \] \[ 4) \; -\sqrt{20x} - 4\sqrt{45x} \] \[ 5) \; \sqrt[4]{(x+1)} + 3\sqrt[4]{16(x+1)} \]

Soluciones a los Ejemplos Anteriores

Las expresiones anteriores se simplifican transformando primero los radicales no semejantes en radicales semejantes y luego sumando/restando.
1) \( 4\sqrt{8} - 6\sqrt{2} = 4\sqrt{2^2 \cdot 2} - 6\sqrt{2} \) \[ = 4\sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2} - 6\sqrt{2} \] \[ = 4 \cdot 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \] 2) \( 5\sqrt[3]{81} - 6\sqrt[3]{3} = 5\sqrt[3]{27 \cdot 3} - 6\sqrt[3]{3} \) \[ = 5\sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{3} - 6\sqrt[3]{3} \] \[ = 5 \cdot 3\sqrt[3]{3} - 6\sqrt[3]{3} \] \[ = 15\sqrt[3]{3} - 6\sqrt[3]{3} = 9\sqrt[3]{3} \]
3) \( -4\sqrt{12} + 12\sqrt{108} \)
Cuando no es obvio obtener un radicando común a partir de 2 radicandos diferentes, descompóngalos en números primos. Descomponga 12 y 108 en factores primos de la siguiente manera. \[ 12 = 2^2 \cdot 3 \quad \text{y} \quad 108 = 2^2 \cdot 3^3 \] Ahora sustituimos 12 y 108 por sus factores primos y simplificamos: \[ -4\sqrt{12} + 12\sqrt{108} = -4\sqrt{2^2 \cdot 3} + 12\sqrt{2^2 \cdot 3^3} \] \[ = -4 \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3} + 12 \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3^3} \] \[ = -4 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + 12 \cdot 2 \cdot \sqrt{3^2 \cdot 3} \] \[ = -8\sqrt{3} + 24 \cdot 3\sqrt{3} \] \[ = -8\sqrt{3} + 72\sqrt{3} = 64\sqrt{3} \] 4) \( -\sqrt{20x} - 4\sqrt{45x} = -\sqrt{2^2 \cdot 5x} - 4\sqrt{3^2 \cdot 5x} \) \[ = -2\sqrt{5x} - 4 \cdot 3\sqrt{5x} = -2\sqrt{5x} - 12\sqrt{5x} = -14\sqrt{5x} \]
5) \( \sqrt[4]{(x+1)} + 3\sqrt[4]{16(x+1)} = \sqrt[4]{(x+1)} + 3\sqrt[4]{2^4(x+1)} \) \[ = \sqrt[4]{(x+1)} + 3 \cdot 2\sqrt[4]{(x+1)} = \sqrt[4]{(x+1)} + 6\sqrt[4]{(x+1)} = 7\sqrt[4]{x+1} \]

Preguntas con Soluciones

Simplifica las siguientes expresiones

  1. \( \quad -2\sqrt{3}+4\sqrt{3}+20 \)
  2. \( \quad 20\sqrt{7}-2\sqrt{28}-7 \)
  3. \( \quad -\sqrt{32}-2\sqrt{50}+3\sqrt{200} \)
  4. \( \quad 2\sqrt{4x}-3\sqrt{x} \)
  5. \( \quad -\sqrt{\frac{28}{9}}+3\sqrt{\frac{63}{25}} \)
  6. \( \quad 6. 2\sqrt{3x^2}-5\sqrt{12x^2} \)
  7. \( \quad 2\sqrt[3]{40x^3}-5x\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{135x^3} \)
  8. \( \quad (7\sqrt{3x}-11\sqrt{27x})^2 \)

Soluciones a las Preguntas Anteriores

  1. \[ -2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 20 = 2\sqrt{3} + 20 \]
  2. \[ 20\sqrt{7} - 2\sqrt{28} - 7 = 20\sqrt{7} - 2\sqrt{4 \cdot 7} - 7 \] \[ = 20\sqrt{7} - 2 \cdot 2\sqrt{7} - 7 = 16\sqrt{7} - 7 \]
  3. Los 3 radicandos en la expresión dada \(\sqrt{32} - 2\sqrt{50} + 3\sqrt{200}\) son diferentes, pero note que 32, 50 y 200 pueden escribirse como 2 veces un número que es un cuadrado perfecto de la siguiente manera: \(32 = 2 \cdot 16\), \(50 = 2 \cdot 25\) y \(200 = 2 \cdot 100\). Sustituye en la expresión dada y simplifica. \[ -\sqrt{32} - 2\sqrt{50} + 3\sqrt{200} = -\sqrt{2 \cdot 16} - 2\sqrt{2 \cdot 25} + 3\sqrt{2 \cdot 100} \] \[ = -4\sqrt{2} - 2 \cdot 5\sqrt{2} + 3 \cdot 10\sqrt{2} \] \[ = -4\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + 30\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \]
  4. \[ 2\sqrt{4x} - 3\sqrt{x} = 2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{x} - 3\sqrt{x} \] \[ = 2 \cdot 2\sqrt{x} - 3\sqrt{x} = 4\sqrt{x} - 3\sqrt{x} = \sqrt{x} \]
  5. \[ -\sqrt{\frac{28}{9}} + 3\sqrt{\frac{63}{25}} = -\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{9}} + 3\frac{\sqrt{63}}{\sqrt{25}} \] Descompone 28 y 63 en factores primos de la siguiente manera: \( 28=2^2 \cdot 7 \), \( 63=3^2 \cdot 7 \) y sustituye en la expresión dada y simplifica \[ = -\frac{\sqrt{2^2 \cdot 7}}{3} + 3 \cdot \frac{\sqrt{3^2 \cdot 7}}{5} = -\frac{2\sqrt{7}}{3} + 3 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{5} \] Factoriza \(\sqrt{7}\) y simplifica \[ = \sqrt{7} \left( -\frac{2}{3} + \frac{9}{5} \right) = \sqrt{7} \left( \frac{-10}{15} + \frac{27}{15} \right) = \sqrt{7} \cdot \frac{17}{15} = \frac{17}{15} \sqrt{7} \]
  6. \[ 2\sqrt{3x^2} - 5\sqrt{12x^2} = 2\sqrt{3x^2} - 5\sqrt{4 \cdot 3x^2} \] \[ = 2\sqrt{3} \cdot |x| - 5 \cdot 2\sqrt{3} \cdot |x| = 2|x|\sqrt{3} - 10|x|\sqrt{3} = -8|x|\sqrt{3} \]
  7. \[ 2\sqrt[3]{40x^3} - 5x\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{135x^3} = 2\sqrt[3]{8 \cdot 5x^3} - 5x\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{27 \cdot 5x^3} \] \[ = 2\sqrt[3]{2^3 \cdot 5x^3} - 5x\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3^3 \cdot 5x^3} \] \[ = 2 \cdot 2x\sqrt[3]{5} - 5x\sqrt[3]{5} + 3x\sqrt[3]{5} = 4x\sqrt[3]{5} - 5x\sqrt[3]{5} + 3x\sqrt[3]{5} = 2x\sqrt[3]{5} \]
  8. \[ (7\sqrt{3x} - 11\sqrt{27x})^2 = (7\sqrt{3x} - 11\sqrt{9 \cdot 3x})^2 \] \[ = (7\sqrt{3x} - 11 \cdot 3\sqrt{3x})^2 = (7\sqrt{3x} - 33\sqrt{3x})^2 \] \[ = (-26\sqrt{3x})^2 = (-26)^2 \cdot (\sqrt{3x})^2 = 676 \cdot 3x = 2028x \]

Más Referencias y Enlaces