26 problemas de práctica con respuestas y soluciones en video
Las siguientes preguntas de álgebra están diseñadas para estudiantes de grado 10. Cubren simplificación de expresiones, factorización, resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, y trabajo con funciones. Use las cajas interactivas a continuación para revelar las soluciones detalladas paso a paso.
Plantee la ecuación \( x^3 = x \).
Reste \( x \) de ambos lados: \( x^3 - x = 0 \).
Factorice \( x \): \( x(x^2 - 1) = 0 \).
Factorice la diferencia de cuadrados: \( x(x - 1)(x + 1) = 0 \).
Respuesta: 0, 1, -1
El exponente \(-2\) indica mover el punto decimal 2 lugares hacia la izquierda.
Respuesta: 0.04
El exponente \(-3\) indica mover el punto decimal 3 lugares hacia la izquierda desde su posición actual en 0.12.
Respuesta: 0.00012
Use la regla de la potencia para logaritmos \( a \log_b(c) = \log_b(c^a) \):
\( 2 \log_3 x = \log_3(x^2) \)
Use la regla del producto para logaritmos \( \log_b(m) + \log_b(n) = \log_b(m \cdot n) \):
\( \log_3(x^2) + \log_3 5 = \log_3(5x^2) \)
Respuesta: \( \log_3(5x^2) \)
Factorice por agrupación. Agrupe los dos primeros términos y los dos últimos términos:
\( (6x^2 - 21xy) + (8xz - 28yz) \)
Factorice el máximo común divisor de cada grupo:
\( 3x(2x - 7y) + 4z(2x - 7y) \)
Factorice el binomio común \( (2x - 7y) \):
Respuesta: \( (2x - 7y)(3x + 4z) \)
Use la fórmula de diferencia de cuadrados \( A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \) donde \( A = (x - 1) \) y \( B = (y - 2) \):
\( [ (x - 1) - (y - 2) ] [ (x - 1) + (y - 2) ] \)
Simplifique dentro de los corchetes:
\( (x - 1 - y + 2)(x - 1 + y - 2) \)
Respuesta: \( (x - y + 1)(x + y - 3) \)
Reescriba \( z^4 \) como \( (z^2)^2 \) para ver la diferencia de dos cuadrados:
\( x^2 - (z^2)^2 \)
Aplique la fórmula de diferencia de cuadrados:
Respuesta: \( (x - z^2)(x + z^2) \)
Sustituya los valores dados en la expresión de valor absoluto:
\( |-2(3) - 5 + 3| \)
\( = |-6 - 5 + 3| \)
\( = |-11 + 3| \)
\( = |-8| \)
Respuesta: 8
Distribuya los términos a través de los paréntesis:
\( -2x + 6 - 8x + 32 \)
Combine términos semejantes:
Respuesta: \( -10x + 38 \)
Expanda la diferencia de cuadrados \( (x + 3)(x - 3) \):
\( x^2 - 9 \)
Distribuya el signo negativo en el segundo término:
\( x^2 - 9 + x + 9 \)
Combine términos semejantes (el 9 y el -9 se cancelan):
Respuesta: \( x^2 + x \)
Esta propiedad algebraica muestra la multiplicación distribuyéndose sobre la suma.
Respuesta: Propiedad Distributiva
Divida los coeficientes: \( 8 / 2 = 4 \).
Use la regla del cociente para exponentes \( \frac{x^a}{x^b} = x^{a - b} \):
\( x^{3 - (-3)} = x^{3 + 3} = x^6 \)
Respuesta: \( 4x^6 \)
Primero, recuerde que cualquier base distinta de cero elevada a la potencia de 0 es 1. Entonces, \( (c^2)^0 = 1 \).
Eleve al cuadrado el primer término multiplicando los exponentes:
\( (-1)^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (b^3)^2 = 1 \cdot a^4 \cdot b^6 \)
Respuesta: \( a^4b^6 \)
Sustituya \( x = -2 \) e \( y = k \) en la ecuación:
\( -3(-2) + 3(k) = 4 \)
\( 6 + 3k = 4 \)
Reste 6 de ambos lados:
\( 3k = -2 \)
Divida por 3:
Respuesta: \( k = -2/3 \)
Un sistema de ecuaciones lineales no tiene soluciones si las líneas son paralelas, lo que significa que sus pendientes son iguales pero sus intersecciones en y son diferentes.
Encuentre la pendiente de la primera línea: \( 6y = -2x - 2 \Rightarrow y = -1/3x - 1/3 \) (La pendiente es \(-1/3\)).
Encuentre la pendiente de la segunda línea: \( ay = 3x + 4 \Rightarrow y = (3/a)x + 4/a \) (La pendiente es \(3/a\)).
Iguale las pendientes:
\( -1/3 = 3/a \)
Multiplique en cruz para resolver para \(a\): \( -a = 9 \Rightarrow a = -9 \).
Respuesta: \( a = -9 \)
Primero, encuentre la pendiente (\(m\)) usando los puntos (0, -4) y (4, -20):
\( m = \frac{-20 - (-4)}{4 - 0} = \frac{-16}{4} = -4 \).
La intersección en y (\(b\)) se da cuando \(x = 0\), que es -4.
Usando \( y = mx + b \):
Respuesta: \( y = -4x - 4 \)
El diagrama muestra un rectángulo con una longitud de \( (x + 1) \) y un ancho de \( (x - 1) \), se multiplican entre sí para encontrar el área:
\( \text{Área} = (x + 1)(x - 1) \)
Expandir esto da la diferencia de cuadrados:
Respuesta: \( \text{área} = x^2 - 1 \)
Encuentre la pendiente (\(m\)):
\( m = \frac{5 - (-1)}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3 \).
Use la forma punto-pendiente con (1, -1):
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - (-1) = 3(x - 1) \)
\( y + 1 = 3x - 3 \)
\( y = 3x - 4 \)
Multiplique toda la ecuación por 2 para que coincida con los formatos de opción múltiple estándar:
Respuesta: \( 2y = 6x - 8 \)
Aísle la expresión de valor absoluto:
\( 2|3x - 2| = 10 \)
\( |3x - 2| = 5 \)
Plantee las dos posibles ecuaciones:
Caso 1: \( 3x - 2 = 5 \Rightarrow 3x = 7 \Rightarrow x = 7/3 \)
Caso 2: \( 3x - 2 = -5 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1 \)
Respuesta: Conjunto solución: \( \{ 7/3, -1 \} \)
Use la fórmula cuadrática \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) donde \( a = 1/2 \), \( b = m \) y \( c = -2 \):
\( x = \frac{-m \pm \sqrt{m^2 - 4(1/2)(-2)}}{2(1/2)} \)
\( x = \frac{-m \pm \sqrt{m^2 + 4}}{1} \)
Respuesta: \( \{ -m \pm \sqrt{m^2 + 4} \} \)
Una ecuación cuadrática tiene una solución real cuando su discriminante \( D = b^2 - 4ac \) es exactamente igual a 0.
\( D = (2k)^2 - 4(-1)(-4) = 0 \)
\( 4k^2 - 16 = 0 \)
\( 4k^2 = 16 \)
\( k^2 = 4 \)
Respuesta: \( k = 2, k = -2 \)
Una ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales cuando su discriminante \( D > 0 \).
\( D = (-4)^2 - 4(1)(4b) > 0 \)
\( 16 - 16b > 0 \)
\( 16 > 16b \)
\( 1 > b \)
Respuesta: Todos los valores de \( b < 1 \)
Sustituya cada valor del dominio en la función para encontrar el rango:
\( f(1) = -(1)^2 + 7 = -1 + 7 = 6 \)
\( f(5) = -(5)^2 + 7 = -25 + 7 = -18 \)
\( f(7) = -(7)^2 + 7 = -49 + 7 = -42 \)
\( f(12) = -(12)^2 + 7 = -144 + 7 = -137 \)
Respuesta: \( \{6, -18, -42, -137\} \)
La fórmula para el perímetro de un rectángulo es \( P = 2L + 2W \).
Sustituya \( L = 3W \) y \( P = 160 \) en la fórmula:
\( 160 = 2(3W) + 2W \)
\( 160 = 6W + 2W \)
\( 160 = 8W \)
\( W = 20 \)
Si el ancho es 20, la longitud es \( 3 \times 20 = 60 \).
Respuesta: Ancho = 20 cm, Longitud = 60 cm
Use la propiedad del valor absoluto \( |-a| = |a| \):
\( |-x| = |x| \)
\( |3x| = 3|x| \)
\( |-2x| = 2|x| \)
Sustituya esto de nuevo en la expresión:
\( |x| + 3|x| - 2|x| + 3|x| \)
Combine términos semejantes: \( (1 + 3 - 2 + 3)|x| = 5|x| \).
Respuesta: \( 5|x| \)
Factorice la diferencia de cuadrados: \( (x - y)(x + y) = 10 \).
Sustituya \( (x + y) = 2 \) en la ecuación:
\( (x - y)(2) = 10 \)
\( x - y = 5 \)
Ahora tiene un sistema lineal simple:
1) \( x + y = 2 \)
2) \( x - y = 5 \)
Sume las dos ecuaciones para eliminar \( y \):
\( 2x = 7 \Rightarrow x = 3.5 \).
Sustituya \( x = 3.5 \) en la primera ecuación: \( 3.5 + y = 2 \Rightarrow y = -1.5 \).
Respuesta: \( x = 3.5, y = -1.5 \)