Preguntas 11 - 20
Pregunta 11: ¿Qué propiedad se usa para escribir \( a(x + y) = a x + a y \)?
Esta propiedad algebraica muestra la multiplicación distribuyéndose sobre la suma.
Respuesta: Propiedad Distributiva (Distributividad)
Pregunta 12: Simplifica \( \frac{8x^3}{2x^{-3}} \).
Divide los coeficientes: \( 8 / 2 = 4 \).
Usa la regla del cociente para exponentes \( \frac{x^a}{x^b} = x^{a - b} \):
\( x^{3 - (-3)} = x^{3 + 3} = x^6 \)
Respuesta: \( 4x^6 \)
Pregunta 13: Simplifica \( (-a^2b^3)^2(c^2)^0 \).
Primero, recuerda que cualquier base distinta de cero elevada a la potencia de 0 es 1. Así que, \( (c^2)^0 = 1 \).
Eleva al cuadrado el primer término multiplicando los exponentes:
\( (-1)^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (b^3)^2 = 1 \cdot a^4 \cdot b^6 \)
Respuesta: \( a^4b^6 \)
Pregunta 14: ¿Para qué valor de \( k \) está el punto \( (-2, k) \) en la línea \( -3 x + 3 y = 4 \)?
Sustituye \( x = -2 \) e \( y = k \) en la ecuación:
\( -3(-2) + 3(k) = 4 \)
\( 6 + 3k = 4 \)
Resta 6 de ambos lados:
\( 3k = -2 \)
Divide entre 3:
Respuesta: \( k = -2/3 \)
Pregunta 15: ¿Para qué valor de \( a \) el sistema no tendrá soluciones? \( \{2x+6y=-2; -3x+ay=4\} \)
Un sistema de ecuaciones lineales no tiene soluciones si las líneas son paralelas, lo que significa que sus pendientes son iguales pero sus intersecciones en y son diferentes.
Halla la pendiente de la primera línea: \( 6y = -2x - 2 \Rightarrow y = -1/3x - 1/3 \) (La pendiente es \(-1/3\)).
Halla la pendiente de la segunda línea: \( ay = 3x + 4 \Rightarrow y = (3/a)x + 4/a \) (La pendiente es \(3/a\)).
Iguala las pendientes entre sí:
\( -1/3 = 3/a \)
Multiplica cruzado para resolver para \(a\): \( -a = 9 \Rightarrow a = -9 \).
Respuesta: \( a = -9 \)
Pregunta 16: Halla la ecuación para los pares \( (x,y) \): (0,-4), (4,-20), (-4,12), (8,-36).
Primero, halla la pendiente (\(m\)) usando los puntos (0, -4) y (4, -20):
\( m = \frac{-20 - (-4)}{4 - 0} = \frac{-16}{4} = -4 \).
La intersección en y (\(b\)) se da cuando \(x = 0\), que es -4.
Usando \( y = mx + b \):
Respuesta: C) \( y = -4x - 4 \)
Pregunta 17: ¿Qué fórmula representa mejor el área del rectángulo mostrado?
El diagrama muestra un rectángulo con un largo de \( (x + 1) \) y un ancho de \( (x - 1) \), los multiplicas para hallar el área:
\( \text{Área} = (x + 1)(x - 1) \)
Expandir esto produce la diferencia de cuadrados:
Respuesta: \( \text{área} = x^2 - 1 \)
Pregunta 18: ¿Qué línea contiene los puntos \( (1, -1) \) y \( (3, 5) \)?
Halla la pendiente (\(m\)):
\( m = \frac{5 - (-1)}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3 \).
Usa la forma punto-pendiente con (1, -1):
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - (-1) = 3(x - 1) \)
\( y + 1 = 3x - 3 \)
\( y = 3x - 4 \)
Multiplica toda la ecuación por 2 para que coincida con los formatos estándar de opción múltiple comúnmente presentados:
Respuesta: \( 2y = 6x - 8 \)
Pregunta 19: Resuelve la ecuación \( 2|3x - 2| - 3 = 7 \).
Aísla la expresión de valor absoluto:
\( 2|3x - 2| = 10 \)
\( |3x - 2| = 5 \)
Establece las dos ecuaciones posibles:
Caso 1: \( 3x - 2 = 5 \Rightarrow 3x = 7 \Rightarrow x = 7/3 \)
Caso 2: \( 3x - 2 = -5 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1 \)
Respuesta: Conjunto solución: \( \{ 7/3, -1 \} \)
Pregunta 20: Resuelve para \( x \) la ecuación \( (1/2) x^2 + mx - 2 = 0 \).
Usa la fórmula cuadrática \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) donde \( a = 1/2 \), \( b = m \) y \( c = -2 \):
\( x = \frac{-m \pm \sqrt{m^2 - 4(1/2)(-2)}}{2(1/2)} \)
\( x = \frac{-m \pm \sqrt{m^2 + 4}}{1} \)
Respuesta: \( \{ -m \pm \sqrt{m^2 + 4} \} \)