Problemas de Geometría con Respuestas y Soluciones - Grado 10

Se presentan problemas de geometría para el grado 10 con soluciones.

Problemas

  1. Cada lado de la pirámide cuadrada que se muestra a continuación mide \( 10 \) pulgadas. La altura inclinada, \( H\), de esta pirámide mide \( 12 \) pulgadas.

    pirámide en el problema 1.


    1. ¿Cuál es el área, en pulgadas cuadradas, de la base de la pirámide?
    2. ¿Cuál es el área superficial total, en pulgadas cuadradas, de la pirámide?
    3. ¿Cuál es \( h \), la altura, en pulgadas, de la pirámide?
    4. Usando la altura determinada en la parte (c), ¿cuál es el volumen, en pulgadas cúbicas, de la pirámide?
  2. El paralelogramo que se muestra en la figura tiene un perímetro de \( 44 \) cm y un área de 64 cm2. Encuentra el ángulo \( T \) en grados.

    paralelogramo en el problema 2.

  3. Encuentra el área del cuadrilátero que se muestra en la figura. (NOTA: la figura no está dibujada a escala)

    cuadrilátero problema 3.

  4. En la figura de abajo, el triángulo OAB tiene un área de \( 72 \) unidades cuadradas y el triángulo ODC tiene un área de \( 288 \) unidades cuadradas. Encuentra \( x \) como la longitud del segmento BC y \( y\) como la longitud del segmento AD.

    triángulos en el problema 4.

  5. Encuentra las dimensiones del rectángulo que tiene una longitud \( 3 \) metros mayor que su ancho y un perímetro igual en valor a su área.
  6. Encuentra la circunferencia de un disco circular cuya área es \( 100 \pi \) centímetros cuadrados.
  7. El semicírculo de área \( 1250 \pi \) centímetros está inscrito dentro de un rectángulo. El diámetro del semicírculo coincide con la longitud del rectángulo. Encuentra el área del rectángulo.

Soluciones a los Problemas Anteriores

  1. a) Área de un cuadrado: \( 10 \times 10 = 100 \) pulgadas cuadradas

    b) \( 100 + 4 \times \frac{1}{2} \times 12 \times 10 = 340 \) pulgadas cuadradas

    c) \( h = \sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{119} \)

    d) Volumen \( = \frac{1}{3} \times 100 \times \sqrt{119} = 363.6 \) pulgadas cúbicas (aproximado a 4 dígitos decimales)


  2. solución paralelogramo problema 2

    \[ 44 = 2(3x + 2) + 2(5x + 4) \] Resuelve para \( x \): \[ x = 2 \] \[ \text{altura} = \frac{\text{área}}{\text{base}} = \frac{64}{14} = \frac{32}{7} \text{ cm} \] \[ \sin(T) = \frac{\text{Op}}{\text{Hip}} = \dfrac{H}{3x+2} = \frac{32/7}{8} = \frac{32}{56} = \frac{4}{7} \] \[ T = \arcsin\left(\frac{4}{7}\right) \approx 34.8^\circ \]


  3. solución cuadrilátero problema 3

    El triángulo \( \triangle ABD \) es un triángulo rectángulo; por lo tanto \[ BD^2 = 15^2 + 15^2 = 450 \] También \[ BC^2 + CD^2 = 21^2 + 3^2 = 450 \] Esto significa que el triángulo \( \triangle BCD \) también es un triángulo rectángulo, y el área total del cuadrilátero es la suma de las áreas de los dos triángulos rectángulos. \[ \text{Área del cuadrilátero} = \frac{1}{2} \times 15 \times 15 + \frac{1}{2} \times 21 \times 3 = 144 \]

  4. \[ \text{Área de } \triangle OAB = 72 = \frac{1}{2} \sin(\angle AOB) \cdot OA \cdot OB \] Resuelve para \( \sin(\angle AOB) \): \[ \sin(\angle AOB) = \frac{2 \cdot 72}{OA \cdot OB} = \frac{1}{2} \] \[ \text{Área de } \triangle ODC = 288 = \frac{1}{2} \sin(\angle DOC) \cdot OD \cdot OC \] Nota que: \[ \sin(\angle DOC) = \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2}, \quad OD = 18 + y, \quad OC = 16 + x \] Sustituye en la fórmula del área: \[ 288 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot (18 + y)(16 + x) \] \[ 288 = \frac{1}{4}(18 + y)(16 + x) \quad \Rightarrow \quad 1152 = (18 + y)(16 + x) \] \[ \text{Usando el teorema de las cuerdas secantes:} \quad 16(16 + x) = 14(14 + y) \] \[ \text{Resuelve el sistema:} \quad \begin{cases} (18 + y)(16 + x) = 1152 \\ 16(16 + x) = 14(14 + y) \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x = 20,\; y = 14 \]

  5. Sea \( L \) la longitud y \( W \) el ancho del rectángulo. Dado: \[ L = W + 3 \] Perímetro: \[ \text{Perímetro} = 2L + 2W = 2(W + 3) + 2W = 4W + 6 \] Área: \[ \text{Área} = LW = (W + 3)W = W^2 + 3W \] Dado que el área y el perímetro son iguales en valor: \[ W^2 + 3W = 4W + 6 \] Resolviendo la ecuación cuadrática: \[ W^2 + 3W - 4W - 6 = 0 \Rightarrow W^2 - W - 6 = 0 \] Factorizando: \[ (W - 3)(W + 2) = 0 \] Así que las soluciones son: \[ W = 3 \quad \text{o} \quad W = -2 \] Dado que el ancho no puede ser negativo: \[ W = 3 \] Sustituye para encontrar la longitud: \[ L = W + 3 = 3 + 3 = 6 \]

  6. Sea \( r \) el radio del disco. El área es conocida e igual a \( 100\pi \); por lo tanto, \[ 100\pi = \pi r^2 \] Resuelve para \( r \): \[ r = 10 \] La circunferencia es: \[ C = 2\pi r = 20\pi \]

  7. Sea \( r \) el radio del semicírculo. El área del semicírculo es conocida, así que tenemos: \[ 1250\pi = \frac{1}{2} \pi r^2 \quad \text{(nota el \( \frac{1}{2} \) debido al semicírculo)} \] Resolviendo para \( r \): \[ r = 50 \] La longitud del rectángulo es \( 2r = 100 \) (ya que el semicírculo está inscrito). El ancho del rectángulo es \( r = 50 \) (ya que el semicírculo está inscrito). Por lo tanto, el área del rectángulo es: \[ \text{Área} = 100 \times 50 = 5000 \]

Enlaces y Referencias