Expresiones radicales: Preguntas con soluciones para grado 10

A continuación se presentan preguntas de grado 10 sobre cómo usar fórmulas importantes para simplificar expresiones algebraicas radicales. Revise las fórmulas y ejemplos, intente resolver las preguntas de práctica y haga clic en las flechas para ver las soluciones paso a paso.

Fórmulas y ejemplos importantes

Fórmula A

Si $n$ y $m$ son números enteros positivos y $\sqrt[n]{y}$ es un número real, entonces:

$$ \left( \sqrt[n]{y} \right)^m = \sqrt[n]{y^m} $$

Ejemplos:

  1. Dado que $\sqrt{5}$ es un número real:
    $$(\sqrt{5})^2 = \sqrt{5^2} = 5$$
  2. Dado que $\sqrt[3]{-7}$ es un número real:
    $$(\sqrt[3]{-7})^6 = \sqrt[3]{(-7)^6} = \sqrt[3]{(-1)^6 \cdot 7^6} = \sqrt[3]{(7^2)^3} = 7^2 = 49$$

Fórmula B

Si $n$ es un número entero positivo PAR, entonces:

$$ \sqrt[n]{y^n} = |y| $$

Ejemplos:

  1. $\sqrt{16} = \sqrt{4^2} = |4| = 4$
  2. $\sqrt[4]{\left( -3 \right)^4} = |-3| = 3$
  3. $\sqrt{(x-2)^2} = |x-2|$
  4. $\sqrt[4]{x^4} = |x|$
  5. $\sqrt{x^4} = \sqrt{(x^2)^2} = |x^2| = x^2$

Fórmula C

Si $n$ es un número entero positivo IMPAR, entonces:

$$ \sqrt[n]{y^n} = y $$

Ejemplos:

  1. $\sqrt[3]{-1} = \sqrt[3]{(-1)^3} = -1$
  2. $\sqrt[5]{(-2)^5} = -2$
  3. $\sqrt[3]{-27} = \sqrt[3]{(-3)^3} = -3$
  4. $\sqrt[5]{x^5} = x$
  5. $\sqrt[3]{-x^6} = \sqrt[3]{(-x^2)^3} = -x^2$

Preguntas de práctica con respuestas

Reescriba, si es posible, las siguientes expresiones sin radicales (simplifique):

Pregunta 1

Simplifique: $\left( \sqrt[3]{x} \right)^3$

Ver solución

El índice del radical $3$ es impar e igual a la potencia del radicando.

$$ \left( \sqrt[3]{x} \right)^3 = x $$

Pregunta 2

Simplifique: $\left( \sqrt{x} \right)^2$

Ver solución

Dado que $\sqrt{x}$ es un número real, $x$ debe ser positivo o cero, y por lo tanto $|x| = x$.

$$ \left( \sqrt{x} \right)^2 = \sqrt{x^2} = |x| = x $$

Pregunta 3

Simplifique: $-\left( \sqrt{x} \right)^4$

Ver solución

$$ -\left( \sqrt{x} \right)^4 = - \sqrt{x^4} = - |x^2| = -x^2 $$

Pregunta 4

Simplifique: $\sqrt{-x^2 - 1}$

Ver solución

Dado que $-x^2 - 1$ es siempre un número negativo, $\sqrt{-x^2 - 1}$ no es un número real.

Pregunta 5

Simplifique: $\sqrt[8]{x^8}$

Ver solución

El índice $8$ es par e igual a la potencia del radicando.

$$ \sqrt[8]{x^8} = |x| $$

Pregunta 6

Simplifique: $\sqrt{x^6}$

Ver solución

$$ \sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3| $$

Pregunta 7

Simplifique: $\sqrt{x \cdot |x|}$

Ver solución

Si $x < 0$, entonces $|x| = -x$ y $\sqrt{x \cdot |x|} = \sqrt{-x^2}$ que no es un número real.

Si $x \geq 0$, entonces $|x| = x$ y $\sqrt{x \cdot |x|} = \sqrt{x^2} = |x| = x$.

Pregunta 8

Simplifique: $\sqrt[10]{x^{10}}$

Ver solución

El índice $10$ del radical es par e igual a la potencia del radicando.

$$ \sqrt[10]{x^{10}} = |x| $$

Pregunta 9

Simplifique: $\sqrt[3]{(x - 2)^3}$

Ver solución

El índice $3$ del radical es impar e igual a la potencia del radicando.

$$ \sqrt[3]{(x - 2)^3} = x - 2 $$

Pregunta 10

Simplifique: $\sqrt{\frac{x^2}{9}}$

Ver solución

$$ \sqrt{\frac{x^2}{9}} = \sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^2} = \left|\frac{x}{3}\right| = \frac{|x|}{3} $$

Pregunta 11

Simplifique: $\sqrt[5]{\frac{x^5}{32}}$

Ver solución

$$ \sqrt[5]{\frac{x^5}{32}} = \sqrt[5]{\left(\frac{x}{2}\right)^5} = \frac{x}{2} $$

Pregunta 12

Simplifique: $\sqrt{(-x + 3)^2}$

Ver solución

El radical tiene un índice par igual a la potencia del radicando.

$$ \sqrt{(-x+3)^2} = | -x + 3 | $$

Pregunta 13

Simplifique: $\sqrt{x^2 + 4x + 4}$

Ver solución

El radical tiene un índice par igual a la potencia del radicando.

$$ \sqrt{x^2 + 4x + 4} = \sqrt{(x+2)^2} = |x+2| $$

Enlaces y referencias