Expresiones Radicales
Preguntas con Soluciones para Grado 10

Se presentan preguntas de grado 10 sobre cómo usar algunas fórmulas importantes para simplificar expresiones algebraicas con radicales, con soluciones.

Fórmulas Importantes


A) Si \( n \) y \( m \) son enteros positivos y \( \sqrt[n]{y} \) es un número real, entonces \[ \Large{\color{blue}{ \left( \sqrt[n]{y} \right)^m = \sqrt[n]{y^m}} } \] Ejemplos
1) \( \sqrt 5 \) es un número real y por lo tanto \[ \Large{(\sqrt{5})^2 = \sqrt{5^2} = 5} \]
2) \( \sqrt[3]{-7} \) es un número real y por lo tanto \[ \Large{(\sqrt[3]{-7})^6 = \sqrt[3]{(-7)^6} = \sqrt[3]{(-1)^6 \cdot 7^6} = \sqrt[3]{(7^2)^3} = 7^2 = 49} \] B) Si \(n\) es un entero positivo PAR entonces \[ \Large{\color{blue}{ \sqrt[n]{y^n} = |y|} } \] Ejemplos
  1. \( \quad \sqrt{16} = \sqrt{4^2} = |4| = 4 \)
  2. \( \sqrt[4]{\left( -3 \right)^4} = |-3| = 3 \)
  3. \( \sqrt{(x-2)^2} = |x-2| \)
  4. \( \sqrt[4]{x^4} = |x| \)
  5. \( \sqrt{x^4} = \sqrt{(x^2)^2} = |x^2| = x^2 \)
C) Si \(n \) es un entero positivo IMPAR entonces \[ \Large{\color{blue}{\sqrt[n]{y^n} = y}} \]

Ejemplos

  1. \( \quad \sqrt[3]{-1} = \sqrt[3]{(-1)^3} = -1\)
  2. \( \quad \sqrt[5]{(-2)^5} = -2\)
  3. \( \quad \sqrt[3]{-27} = \sqrt[3]{(-3)^3} = -3\)
  4. \( \quad\sqrt[5]{x^5} = x\)
  5. \( \quad\sqrt[3]{-x^6} = \sqrt[3]{(-x^2)^3} = -x^2\)

Preguntas

Reescribe, si es posible, las siguientes expresiones sin radicales (simplifica)
  1. \( \quad \left( \sqrt[3]{x} \right)^3 = \)
  2. \( \quad \left( \sqrt{x} \right)^2 = \)
  3. \( \quad -\left( \sqrt{x} \right)^4 = \)
  4. \( \quad \sqrt{-x^2 - 1} = \)
  5. \( \quad \sqrt[8]{x^8} = \)
  6. \( \quad \sqrt{x^6} = ? \)
  7. \( \quad \sqrt{x \cdot |x|} = \)
  8. \( \quad \sqrt[10]{x^{10}} = \)
  9. \( \quad \sqrt[3]{(x - 2)^3} = \)
  10. \( \quad \sqrt{\frac{x^2}{9}} = \)
  11. \( \quad \sqrt[5]{\frac{x^5}{32}} = \)
  12. \( \quad \sqrt{(-x + 3)^2} = \)
  13. \( \quad \sqrt{x^2 + 4x + 4} = \)

Soluciones a los Problemas Anteriores

  1. El índice del radical \( 3 \) es impar e igual a la potencia del radicando. \[ \left( \sqrt[3]{x} \right)^3 = x \]
  2. Dado que \( \sqrt{x} \) es un número real, \( x \) es positivo y por lo tanto \( |x| = x \). \[ \left( \sqrt{x} \right)^2 = \sqrt{x^2} = |x| = x \]
  3. \[ - \left( \sqrt{x} \right)^4 = - \sqrt{x^4} = - |x^2| = -x^2 \]
  4. Dado que \( -x^2 - 1 \) es siempre negativo, \[ \sqrt{-x^2 - 1} \] no es un número real.
  5. El índice \( 8 \) es par e igual a la potencia del radicando \[ \sqrt[8]{x^8} = |x| \]
  6. \[ \sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3| \]
  7. \[ \sqrt{x \cdot |x|} = ? \] Si \( x \lt 0 \), \( |x| = -x \) y \( \sqrt{x \cdot |x|} = \sqrt{-x^2} \) que no es un número real.
    Si \( x \geq 0 \), \( |x| = x \) y \( \sqrt{x \cdot |x|} = \sqrt{x^2} = |x| = x \)
  8. El índice \( 10 \) del radical es par e igual a la potencia del radicando. \[ \sqrt[10]{x^{10}} = |x| \]
  9. El índice \( 3 \) del radical es impar e igual a la potencia del radicando. \[ \sqrt[3]{(x - 2)^3} = x - 2 \]
  10. \[ \sqrt{\frac{x^2}{9}} = \sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^2} = \left|\frac{x}{3}\right| = \frac{|x|}{3} \]
  11. \[ \sqrt[5]{\frac{x^5}{32}} = \sqrt[5]{\left(\frac{x}{2}\right)^5} = \frac{x}{2} \]
  12. Índice par y potencia del radicando. \[ \sqrt{(-x+3)^2} = | -x + 3 |. \]
  13. Índice par y potencia del radicando. \[ \sqrt{x^2 + 4x + 4} = \sqrt{(x+2)^2} = |x+2|. \]

Enlaces y Referencias