Raíces de Números Reales y Radicales
Preguntas con Soluciones

Se presentan preguntas de grado 10 sobre raíces de números y radicales con soluciones.

Definición

\[ \large{\textcolor{red}{x \text{ es la } n^\text{ésima} \text{ raíz de un número } y \text { es equivalente a } x^n = y.}} \] Para \( \large {\textcolor{red} {n = 2} } \), la \( n^\text{ésima} \) raíz se llama \( \large {\textcolor{red} {\text{raíz cuadrada}}} \).

Para \( \large {\textcolor{red} {n = 3} } \), la \( n^\text{ésima} \) raíz se llama \( \large {\textcolor{red} {\text{raíz cúbica}}} \).

Ejemplos

1) Dado que \( 3^2 = 9 \), \( 3 \) es la raíz cuadrada (\( n = 2 \)) de \( 9 \).

2) Dado que \( (-3)^2 = 9 \), \( -3 \) también es una raíz cuadrada de \( 9 \).

3) Dado que \( (-2)^3 = -8 \), \( -2 \) es la raíz cúbica (\( n = 3 \)) de \( -8 \).

4) Dado que \( 3^4 = 81 \) y \( (-3)^4 = 81 \), las cuartas raíces de \( 81 \) son \( 3 \) y \( -3 \).

Propiedades de las Raíces de Números Reales

1) Para \( n \) par e \( y \) positivo, hay dos \( n^\text{ésimas} \) raíces de y

Ejemplo

Dado que 104=10000 y (-10)4 = 10000, las cuartas raíces de 10000 son 10 y -10.

2) Para \( n \) par e \( y \lt 0 \), no hay raíces \( n^\text{ésimas} \) reales de \( y \).

Ejemplo

La raíz cuadrada de \(-4\) no es un número real, ya que no existe ningún número real \(x\) tal que \(x^2 = -4\).

La cuarta raíz de \(-16\) no es un número real, ya que no existe ningún número real \(x\) tal que \(x^4 = -16\).

3) Para \( n \) impar, siempre hay una \( n^\text{ésima} \) raíz de \( y \).

Ejemplo

La raíz cúbica \( (n=3) \) de \( 8 \) es igual a \( 2 \).

La quinta raíz \( (n=5) \) de \(-100000\) es igual a \( -10 \).

Raíz Principal

Para \( n \) par, la raíz principal es la raíz positiva. Para \( n \) impar, solo hay una raíz y es la raíz principal.

Ejemplos

La sexta raíz principal de \( 64 \) es igual a \( 2 \) porque \( 2^6 = 64 \).

La raíz cúbica principal de \( -64 \) es igual a \( - 4 \) porque \( (-4)^3 = - 64 \).

Notación Radical

El símbolo \( \sqrt{\hphantom{9}} \) se llama radical y se usa para indicar la raíz principal de un número de la siguiente manera: \[ \large{\sqrt[n]{y}} \] donde \( n \) se llama índice del radical y \( y \) se llama radicando.

Ejemplos

\[ \sqrt[6]{64} = 2 \] \[ \sqrt[3]{-27} = -3 \] Debido a su uso generalizado, la raíz cuadrada \( (n=2) \) de \( y \) se escribe como \( \sqrt{y} \) sin indicar el índice.

Preguntas Con Soluciones

  1. ¿Cuál(es) es(son) la(s) cuarta(s) raíz(ces) de 16?
  2. ¿Cuál(es) es(son) la(s) séptima(s) raíz(ces) de \(-1\)?
  3. ¿Qué número tiene una quinta raíz igual a \(-3\)?
  4. Si la sexta raíz de \( y \) es igual a \(-5\), entonces \( y = \underline{\hspace{2cm}} \)
  5. ¿Cuál(es) es(son) la(s) vigésima(s) raíz(ces) de \(-1\)?
  6. ¿Cuál es la cuarta raíz principal de 81?
  7. \[ \sqrt{-4} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  8. \[ \sqrt[10]{\dfrac{10}{-10}} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  9. \[ \sqrt[3]{-1} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  10. \[ \sqrt[3]{1000} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  11. \[ \sqrt[5]{\dfrac{64}{2}} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  12. \[ \sqrt{(-23)^2} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  13. \[ \sqrt{4^6} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  14. \[ \sqrt[7]{5^7} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  15. \[ \sqrt[4]{10^2 - 6^2} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  16. \[ \sqrt[3]{2^9} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  17. \[ \sqrt{6 \dfrac{1}{4}} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  18. Usa una calculadora para aproximar lo siguiente a 3 decimales:
    1. \(\sqrt[3]{4} =\)
    2. \(\sqrt{1.3} =\)
    3. \(\sqrt{\dfrac{2}{5}} =\)
    4. \(\sqrt[3]{2 \dfrac{1}{3}} =\)

Soluciones a los Problemas Anteriores

  1. ¿Cuál(es) es(son) la(s) cuarta(s) raíz(ces) de 16?
    \(2\) y \(-2\) porque \(2^4 = 16\) y \((-2)^4 = 16\).
  2. ¿Cuál(es) es(son) la(s) séptima(s) raíz(ces) de \(-1\)?
    \(-1\) porque \((-1)^7 = -1\).
  3. ¿Qué número tiene una quinta raíz igual a \(-3\)?
    \((-3)^5 = -243\).
  4. Si la sexta raíz de \( y \) es igual a \(-5\), entonces \( y = \underline{\hspace{2cm}} \)
    \(y = (-5)^6 = 15625\).
  5. ¿Cuál(es) es(son) la(s) vigésima(s) raíz(ces) de \(-1\)?
    Si \(x\) es la vigésima raíz de \(-1\), entonces \(x^{20} = -1\). No hay ningún número real \(x\) elevado a una potencia par que dé un número negativo. La vigésima raíz de \(-1\) no es un número real.
  6. ¿Cuál es la cuarta raíz principal de 81?
    \(81 = 3^4\) y \(81 = (-3)^4\). Por lo tanto, \(81\) tiene dos cuartas raíces, pero la principal es la positiva \(3\).
  7. \[ \sqrt{-4} = \text{no es un número real} \]
  8. \[ \sqrt[10]{\dfrac{10}{-10}} = \sqrt[10]{-1} = \text{no es un número real} \]
  9. \[ \sqrt[3]{-1} = -1 \]
  10. \[ \sqrt[3]{1000} = \sqrt[3]{10^3} = 10 \]
  11. \[ \sqrt[5]{\dfrac{64}{2}} = \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2 \]
  12. \[ \sqrt{(-23)^2} = \sqrt{529} = 23 \]
  13. \[ \sqrt{4^6} = \sqrt{(4^3)^2} = 4^3 = 64 \]
  14. \[ \sqrt[7]{5^7} = 5 \]
  15. \[ \sqrt[4]{10^2 - 6^2} = \sqrt[4]{100 - 36} = \sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{2^6} = 2^{6/4} = 2^{3/2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.828 \]
  16. \[ \sqrt[3]{2^9} = \sqrt[3]{(2^3)^3} = 2^3 = 8 \]
  17. \[ \sqrt{6 \dfrac{1}{4}} = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{5}{2} = 2.5 \]
  18. Usa una calculadora para aproximar lo siguiente a 3 decimales:
    1. \(\sqrt[3]{4} \approx 1.587\)
    2. \(\sqrt{1.3} \approx 1.140\)
    3. \(\sqrt{\dfrac{2}{5}} = \sqrt{0.4} \approx 0.632\)
    4. \(\sqrt[3]{2 \dfrac{1}{3}} = \sqrt[3]{\dfrac{7}{3}} \approx 1.326\)

Más Referencias y Enlaces