Problemas de Trigonometría Grado 10 con Soluciones Paso a Paso

\[ x = \frac{10}{\tan(51^\circ)} = 8.1 \; \text{(2 dígitos significativos)} \] \[ H = \frac{10}{\sin(51^\circ)} = 13 \; \text{(2 dígitos significativos)} \]

El área está dada por: \[ \frac{1}{2}(2x)(x) = 400 \] Resuelve para x: \[ x = 20, \quad 2x = 40 \] Usa el teorema de Pitágoras: \[ (2x)^2 + (x)^2 = H^2 \] Resuelve para \( H \): \[ H = x \sqrt{5} = 20 \sqrt{5} \]

BH perpendicular a AC significa que los triángulos \( \triangle ABH \) y \( \triangle HBC \) son triángulos rectángulos. Por lo tanto: \[ \tan(39^\circ) = \frac{11}{AH} \quad \Rightarrow \quad AH = \frac{11}{\tan(39^\circ)} \] \[ HC = 19 - AH = 19 - \frac{11}{\tan(39^\circ)} \] Aplica el teorema de Pitágoras al triángulo \( \triangle HBC \): \[ 11^2 + HC^2 = x^2 \] Sustituye HC y resuelve para \( x \): \[ x = \sqrt{11^2 + \left(19 - \frac{11}{\tan(39^\circ)}\right)^2} \] \[ x \approx 12.3 \quad \text{(redondeado a 3 dígitos significativos)} \]

Dado que \( \angle A \) es recto, ambos triángulos \( \triangle ABC \) y \( \triangle ABD \) son rectángulos, y por lo tanto podemos aplicar el teorema de Pitágoras. \[ 14^2 = 10^2 + AD^2, \quad 16^2 = 10^2 + AC^2 \] Resuelve para AD y AC: \[ AD = \sqrt{14^2-10^2}, \quad AC = \sqrt{16^2 - 10^2} \] Además, \( x = AC - AD \): \[ x = \sqrt{16^2 - 10^2} - \sqrt{14^2 - 10^2} \] \[ x \approx 2.69 \quad \text{(redondeado a 3 dígitos significativos)} \]

Usa el triángulo rectángulo \(\triangle ABC\) para escribir: \[ \tan(31^\circ) = \frac{6}{BC} \quad \Rightarrow \quad BC = \frac{6}{\tan(31^\circ)} \] Usa el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo \( \triangle BCD \) para escribir: \[ 9^2 + BC^2 = BD^2 \] Resuelve para \( BD \) y sustituye \( BC \): \[ BD = \sqrt{9^2 + \left( \frac{6}{\tan(31^\circ)} \right)^2} \] \[ BD \approx 13.4 \quad \text{(redondeado a 3 dígitos significativos)} \]

El triángulo es rectángulo y uno de sus ángulos es \( 45^\circ \). El tercer ángulo también es \( 45^\circ \), y por lo tanto el triángulo es rectángulo e isósceles. Sea \( x \) la longitud de uno de los catetos, y \( H \) la hipotenusa. \[ \text{Área} = \frac{1}{2}x^2 = 50 \quad \Rightarrow \quad x = 10 \] Usa el teorema de Pitágoras: \[ x^2 + x^2 = H^2 \] \[ \Rightarrow \quad H = 10\sqrt{2} \]

Sea \( a \) la longitud del lado opuesto al ángulo \( A \), \( b \) la longitud del lado adyacente al ángulo \( A \) y \( h \) la longitud de la hipotenusa. \[ \tan(A) = \frac{\text{lado opuesto}}{\text{lado adyacente}} = \frac{a}{b} = \frac{3}{4} \] Podemos escribir: \( a = 3k \) y \( b = 4k \), donde \( k \) es un coeficiente de proporcionalidad. Encontremos \( h \). Usando el teorema de Pitágoras, escribimos: \[ h^2 = (3k)^2 + (4k)^2 \] \[ h^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2 \quad \Rightarrow \quad h = 5k \] \[ \sin(A) = \frac{a}{h} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}, \quad \cos(A) = \frac{b}{h} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5} \]

Sea \( b \) la longitud del lado opuesto al ángulo \( B \), \( c \) la longitud del lado opuesto al ángulo \( C \), y \( h \) la hipotenusa. \[ \sin(B) = \frac{b}{h}, \quad \cos(B) = \frac{c}{h} \] \[ \sin(B) = \cos(B) \quad \Rightarrow \quad \frac{b}{h} = \frac{c}{h} \quad \Rightarrow \quad b = c \] Dado que los dos lados tienen la misma longitud, el triángulo es isósceles, y los ángulos \( B \) y \( C \) son iguales, cada uno midiendo \( 45^\circ \).

El diagrama de abajo muestra un rectángulo con diagonales y la mitad de uno de los ángulos etiquetado como \( x \).

\[ \tan(x) = \frac{5}{2.5} = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \arctan(2) \] El ángulo mayor formado por las diagonales es \( 2x \): \[ 2x = 2 \arctan(2) \approx 127^\circ \quad \text{(3 dígitos significativos)} \] \[ \text{Ángulo menor formado por las diagonales: } 180^\circ - 2x \approx 53^\circ \]

Sea \( x \) la longitud del lado AC. Usa la ley del coseno: \[ 12^2 = 8^2 + x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x \cdot \cos(59^\circ) \] Resuelve la ecuación cuadrática para \( x \): \[ x = 14.0 \quad \text{y} \quad x = -5.7 \] Dado que \( x \) no puede ser negativo, la solución es: \[ x = 14.0 \quad \text{(redondeado a un decimal)} \]

\[ \tan(20^\circ) = \frac{200}{L} \] \[ L = \frac{200}{\tan(20^\circ)} \] \[ \tan(10^\circ) = \frac{H_2}{L} \] \[ H_2 = L \cdot \tan(10^\circ) = \frac{200 \cdot \tan(10^\circ)}{\tan(20^\circ)} \] \[ \text{Altura del segundo edificio} = 200 + H_2 = 200 + \frac{200 \cdot \tan(10^\circ)}{\tan(20^\circ)} \approx 297 \text{ metros} \]

Sea \( h \) la altura inicial del globo sobre el punto \( P \). Después de subir, la nueva altura es \( h + 50 \) metros. La distancia horizontal del auto a \( P \) es \( d \) (que permanece constante).
El ángulo de depresión desde el globo al auto es igual al ángulo de elevación desde el auto al globo (por ángulos alternos internos).
Para la posición inicial: \[ \tan(30^\circ) = \frac{h}{d} \] \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{d} \quad \text{(dado que } \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \text{)} \] Por lo tanto, \[ h = \frac{d}{\sqrt{3}} \tag{1} \] Después de subir 50 metros, la nueva altura es \( h + 50 \), y el ángulo de depresión es \( 35^\circ \): \[ \tan(35^\circ) = \frac{h + 50}{d} \] Entonces, \[ h + 50 = d \cdot \tan(35^\circ) \tag{2} \] Sustituye la ecuación (1) en la ecuación (2): \[ \frac{d}{\sqrt{3}} + 50 = d \cdot \tan(35^\circ) \] Reorganiza para resolver \( d \): \[ 50 = d \cdot \tan(35^\circ) - \frac{d}{\sqrt{3}} \] \[ 50 = d \left( \tan(35^\circ) - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \] \[ d = \frac{50}{\tan(35^\circ) - \frac{1}{\sqrt{3}}} \] Usa los valores numéricos: \( \tan(35^\circ) \approx 0.7002 \) y \( \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.57735 \) para obtener: \[ d = \frac{50}{0.7002 - 0.57735} = \frac{50}{0.12285} \approx 406.97 \] Por lo tanto, el auto está aproximadamente a \( 407 \) metros del punto \( P \).

Sea \( h \) la altura del edificio. Inicialmente, cuando el ángulo de elevación es \(70^\circ\), la longitud de la sombra es \(s\).
Cuando el ángulo de elevación disminuye a \(60^\circ\), la longitud de la sombra se convierte en \(s + 10\).
Para el caso inicial (ángulo \(70^\circ\)): \[ \tan(70^\circ) = \frac{h}{s} \] Entonces, \[ s = \frac{h}{\tan(70^\circ)} \tag{1} \] Para el nuevo caso (ángulo \(60^\circ\)): \[ \tan(60^\circ) = \frac{h}{s + 10} \] Entonces, \[ s + 10 = \frac{h}{\tan(60^\circ)} \tag{2} \] Resta la ecuación (1) de la ecuación (2): \[ (s + 10) - s = \frac{h}{\tan(60^\circ)} - \frac{h}{\tan(70^\circ)} \] \[ 10 = h \left( \frac{1}{\tan(60^\circ)} - \frac{1}{\tan(70^\circ)} \right) \] Por lo tanto, \[ h = \frac{10}{ \frac{1}{\tan(60^\circ)} - \frac{1}{\tan(70^\circ)} } \] Simplifica la expresión: \[ h = \frac{10}{ \cot(60^\circ) - \cot(70^\circ) } \] Evalúa numéricamente: \[ h \approx 46.86474 \] Por lo tanto, la altura del edificio es aproximadamente \(46.9\) metros.