Problemas Verbales de Trigonometría de Grado 10 con Soluciones Paso a Paso

$$ x = \frac{10}{\tan(51^\circ)} = 8.1 \; \text{ (2 cifras significativas)} $$

$$ H = \frac{10}{\sin(51^\circ)} = 13 \; \text{ (2 cifras significativas) } $$

El área está dada por:

$$ \frac{1}{2}(2x)(x) = 400 $$

Resuelve para $x$:

$$ x = 20, \quad 2x = 40 $$

Usa el teorema de Pitágoras:

$$ (2x)^2 + (x)^2 = H^2 $$

Resuelve para $H$:

$$ H = x \sqrt{5} = 20 \sqrt{5} $$

$BH$ perpendicular a $AC$ significa que los triángulos $\triangle ABH$ y $\triangle HBC$ son triángulos rectángulos. Por lo tanto:

$$ \tan(39^\circ) = \frac{11}{AH} \quad \Rightarrow \quad AH = \frac{11}{\tan(39^\circ)} $$

$$ HC = 19 - AH = 19 - \frac{11}{\tan(39^\circ)} $$

Aplica el teorema de Pitágoras al triángulo $\triangle HBC$:

$$ 11^2 + HC^2 = x^2 $$

Sustituye $HC$ y resuelve para $x$:

$$ x = \sqrt{11^2 + \left(19 - \frac{11}{\tan(39^\circ)}\right)^2} $$

$$ x \approx 12.3 \quad \text{(redondeado a 3 cifras significativas)} $$

Como $\angle A$ es recto, ambos triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle ABD$ son rectángulos, y por lo tanto podemos aplicar el teorema de Pitágoras:

$$ 14^2 = 10^2 + AD^2, \quad 16^2 = 10^2 + AC^2 $$

Resuelve para $AD$ y $AC$:

$$ AD = \sqrt{14^2-10^2}, \quad AC = \sqrt{16^2 - 10^2} $$

Además, $x = AC - AD$:

$$ x = \sqrt{16^2 - 10^2} - \sqrt{14^2 - 10^2} $$

$$ x \approx 2.69 \quad \text{(redondeado a 3 cifras significativas)} $$

Usa el triángulo rectángulo $\triangle ABC$ para escribir:

$$ \tan(31^\circ) = \frac{6}{BC} \quad \Rightarrow \quad BC = \frac{6}{\tan(31^\circ)} $$

Usa el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo $\triangle BCD$ para escribir:

$$ 9^2 + BC^2 = BD^2 $$

Resuelve para $BD$ y sustituye $BC$:

$$ BD = \sqrt{9^2 + \left( \frac{6}{\tan(31^\circ)} \right)^2} $$

$$ BD \approx 13.4 \quad \text{(redondeado a 3 cifras significativas)} $$

El triángulo es rectángulo y uno de sus ángulos mide $45^\circ$. El tercer ángulo también mide $45^\circ$, por lo tanto el triángulo es rectángulo e isósceles.

Sea $x$ la longitud de uno de los catetos, y $H$ la hipotenusa.

$$ \text{Área} = \frac{1}{2}x^2 = 50 \quad \Rightarrow \quad x = 10 $$

Usa el teorema de Pitágoras:

$$ x^2 + x^2 = H^2 $$

$$ \Rightarrow \quad H = 10\sqrt{2} $$

Sea $a$ la longitud del lado opuesto al ángulo $A$, $b$ la longitud del lado adyacente al ángulo $A$ y $h$ la longitud de la hipotenusa.

$$ \tan(A) = \frac{\text{lado opuesto}}{\text{lado adyacente}} = \frac{a}{b} = \frac{3}{4} $$

Podemos escribir que: $a = 3k$ y $b = 4k$, donde $k$ es un coeficiente de proporcionalidad.

Encontremos $h$. Usando el teorema de Pitágoras, escribimos:

$$ h^2 = (3k)^2 + (4k)^2 $$

$$ h^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2 \quad \Rightarrow \quad h = 5k $$

$$ \sin(A) = \frac{a}{h} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}, \quad \cos(A) = \frac{b}{h} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5} $$

Sea $b$ la longitud del lado opuesto al ángulo $B$, $c$ la longitud del lado opuesto al ángulo $C$, y $h$ la hipotenusa.

$$ \sin(B) = \frac{b}{h}, \quad \cos(B) = \frac{c}{h} $$

$$ \sin(B) = \cos(B) \quad \Rightarrow \quad \frac{b}{h} = \frac{c}{h} \quad \Rightarrow \quad b = c $$

Dado que los dos lados tienen la misma longitud, el triángulo es isósceles, y los ángulos $B$ y $C$ son iguales, midiendo cada uno $45^\circ$.

El diagrama a continuación muestra un rectángulo con diagonales y la mitad de uno de los ángulos etiquetado como $x$.

$$ \tan(x) = \frac{5}{2.5} = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \arctan(2) $$

El ángulo más grande formado por las diagonales es $2x$:

$$ 2x = 2 \arctan(2) \approx 127^\circ \quad \text{(3 cifras significativas)} $$

$$ \text{Ángulo más pequeño formado por las diagonales: } 180^\circ - 2x \approx 53^\circ $$

Sea $x$ la longitud del lado AC. Usa la ley de los cosenos:

$$ 12^2 = 8^2 + x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x \cdot \cos(59^\circ) $$

Resuelve la ecuación cuadrática para $x$:

$$ x = 14.0 \quad \text{y} \quad x = -5.7 $$

Como $x$ no puede ser negativo, la solución es:

$$ x = 14.0 \quad \text{(redondeado a un decimal)} $$

$$ \tan(20^\circ) = \frac{200}{L} \quad \Rightarrow \quad L = \frac{200}{\tan(20^\circ)} $$

$$ \tan(10^\circ) = \frac{H_2}{L} \quad \Rightarrow \quad H_2 = L \cdot \tan(10^\circ) $$

$$ = \frac{200 \cdot \tan(10^\circ)}{\tan(20^\circ)} $$

$$ \text{Altura del segundo edificio} = 200 + H_2 = 200 + \frac{200 \cdot \tan(10^\circ)}{\tan(20^\circ)} \approx 297 \text{ metros} $$

Sea $h$ la altura inicial del globo sobre el punto $P$. Después de ascender, la nueva altura es $h + 50$ metros.

La distancia horizontal desde el coche hasta $P$ es $d$ (que permanece constante).

El ángulo de depresión desde el globo hasta el coche es igual al ángulo de elevación desde el coche hasta el globo (por ángulos alternos internos).

Entonces, para la posición inicial:

$$ \tan(30^\circ) = \frac{h}{d} $$

$$ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{d} \quad \text{(ya que } \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \text{)} $$

Por lo tanto,

$$ h = \frac{d}{\sqrt{3}} \tag{1} $$

Después de ascender 50 metros, la nueva altura es $h + 50$, y el ángulo de depresión es $35^\circ$:

$$ \tan(35^\circ) = \frac{h + 50}{d} $$

Entonces,

$$ h + 50 = d \cdot \tan(35^\circ) \tag{2} $$

Ahora sustituye la ecuación (1) en la ecuación (2):

$$ \frac{d}{\sqrt{3}} + 50 = d \cdot \tan(35^\circ) $$

Reorganiza para resolver para $d$:

$$ 50 = d \cdot \tan(35^\circ) - \frac{d}{\sqrt{3}} $$

$$ 50 = d \left( \tan(35^\circ) - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) $$

$$ d = \frac{50}{\tan(35^\circ) - \frac{1}{\sqrt{3}}} $$

Usa los valores numéricos: $\tan(35^\circ) \approx 0.7002$ y $\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.57735$ para obtener:

$$ d = \frac{50}{0.7002 - 0.57735} = \frac{50}{0.12285} \approx 406.97 $$

Por lo tanto, el coche está a aproximadamente $407$ metros del punto $P$.

Sea $h$ la altura del edificio. Inicialmente, cuando el ángulo de elevación es de $70^\circ$, la longitud de la sombra es $s$.

Cuando el ángulo de elevación disminuye a $60^\circ$, la longitud de la sombra se convierte en $s + 10$.

Para el caso inicial (ángulo de $70^\circ$):

$$ \tan(70^\circ) = \frac{h}{s} $$

Entonces,

$$ s = \frac{h}{\tan(70^\circ)} \tag{1} $$

Para el nuevo caso (ángulo de $60^\circ$):

$$ \tan(60^\circ) = \frac{h}{s + 10} $$

Entonces,

$$ s + 10 = \frac{h}{\tan(60^\circ)} \tag{2} $$

Ahora, resta la ecuación (1) de la ecuación (2):

$$ (s + 10) - s = \frac{h}{\tan(60^\circ)} - \frac{h}{\tan(70^\circ)} $$

$$ 10 = h \left( \frac{1}{\tan(60^\circ)} - \frac{1}{\tan(70^\circ)} \right) $$

Entonces,

$$ h = \frac{10}{ \frac{1}{\tan(60^\circ)} - \frac{1}{\tan(70^\circ)} } $$

Simplifica la expresión:

$$ h = \frac{10}{ \cot(60^\circ) - \cot(70^\circ) } $$

Evalúa numéricamente:

$$ h \approx 46.86474 $$

Por lo tanto, la altura del edificio es de aproximadamente $46.9$ metros.