Explora preguntas de álgebra de grado 11 que cubren funciones, polinomios, ecuaciones de circunferencias y parábolas, y simplificación de expresiones. Cada tema incluye soluciones paso a paso diseñadas para ayudar a los estudiantes a comprender y dominar conceptos algebraicos clave. Ideal para repaso, práctica y desarrollo de confianza en la resolución de problemas.
Completa el cuadrado en la función cuadrática \( f \) dada por \[ f(x) = 2 x^2 - 6x + 4 \]
Factoriza 2 de los primeros dos términos: \[ f(x) = 2(x^2 - 3x) + 4 \] Suma y resta \(\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2\) dentro del paréntesis: \[ = 2\left(x^2 - 3x + \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2\right) + 4 \] Escribe \( x^2 - 3x + \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \) como un cuadrado \( \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 \): \[ = 2 \left(\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 \right) + 4 \] \[ = 2 \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - 2 \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 + 4 \] \[ = 2 \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{2} + 4 \] Agrupa \( - \dfrac{9}{2} + 4 \): \[ = 2\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{2} \]
Encuentra el/los punto(s) de intersección de la parábola con ecuación \( y = x^2 - 5 x + 4 \) y la recta con ecuación \( y = 2 x - 2 \).
Las coordenadas de los puntos de intersección se encuentran resolviendo el sistema: \[ \begin{cases} y = x^2 - 5x + 4 \\ y = 2x - 2 \end{cases} \] Sustituye \( y \) por \( 2x - 2 \) en la primera ecuación: \[ 2x - 2 = x^2 - 5x + 4 \] Escribe la ecuación cuadrática en forma estándar: \[ x^2 - 7 x + 6 = 0 \] Soluciones: \[ x = 1 \quad \text{y} \quad x = 6 \] Encuentra las coordenadas \( y \): Para \( x = 1 \): \( y = 2(1) - 2 = 0 \) Para \( x = 6 \): \( y = 2(6) - 2 = 10 \) Puntos de intersección: \[ (1, 0) \quad \text{y} \quad (6, 10) \]
Encuentra la constante \( k \) tal que: \[ -x^2 - (k + 7)x - 8 = -(x - 2)(x - 4) \] para todos los valores reales de \( x \).
Dada la ecuación: \[ - x^2 - (k + 7)x - 8 = -(x - 2)(x - 4) \] Expande el lado derecho: \[ - x^2 - (k + 7)x - 8 = -x^2 + 6x - 8 \] Los polinomios son iguales si sus coeficientes correspondientes son iguales, por lo tanto: \[ -(k + 7) = 6 \] Resolviendo para \( k \): \[ k = -13 \]
Encuentra el centro y radio de la circunferencia con ecuación \[ x^2 + y^2 -2x + 4y - 11 = 0 \].
Agrupa términos en \(x\) y términos en \(y\): \[ (x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) = 11 \] Completa el cuadrado en \( x^2 - 2x \): \[ (x^2 - 2x) = (x - 1)^2 - 1 \] Completa el cuadrado en \( y^2 + 4y \): \[ y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4 \] Reescribe la ecuación: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 = 11 \] Escribe la ecuación de la circunferencia en forma estándar: \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4^2 \] Identifica el centro \( (h,k) \) y radio \(r\): \( h = 1 \), \( k = -2 \), \( r = 4 \) \[ \text{Centro: } (1, -2), \quad \text{Radio: } 4 \]
Encuentra la constante \( k \) tal que la ecuación cuadrática \[ 2 x^2 + 5 x - k = 0 \] tenga dos soluciones reales.
Dada la ecuación cuadrática: \[ 2x^2 + 5x - k = 0 \] Calcula el discriminante: \[ \Delta = 5^2 - 4(2)(-k) = 25 + 8k \] Una ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales cuando el discriminante es positivo: \[ 25 + 8 k > 0 \] Resuelve para \( k \): \[ k > -\frac{25}{8} \]
Encuentra la constante \( k \) tal que el sistema de dos ecuaciones: \[ 2x + ky = 2 \quad \text{y} \quad 5x - 3y = 7 \] no tenga soluciones.
Según la regla de Cramer, si el determinante \( D \) de la matriz de coeficientes es cero y uno de los determinantes \( D_x \) o \( D_y \) no es cero, el sistema no tiene soluciones.
Matriz de coeficientes:
\[ A = \begin{bmatrix} 2 & k \\ 5 & -3 \end{bmatrix} \]
Determinante \( D \):
\[ D = \begin{vmatrix} 2 & k \\ 5 & -3 \end{vmatrix} = (2)(-3) - (5)(k) = -6 - 5k \]
Establece \( D = 0 \):
\[ -6 - 5k = 0 \Rightarrow k = -\frac{6}{5} \]
Determinante \( D_x \) (reemplazando primera columna por constantes):
\[ D_x = \begin{vmatrix} 2 & k \\ 7 & -3 \end{vmatrix} = (2)(-3) - (7)(k) = -6 - 7k \]
Sustituye \( k = -\frac{6}{5} \):
\[ D_x = -6 - 7\left(-\frac{6}{5}\right) = -6 + \frac{42}{5} = \frac{12}{5} \neq 0 \]
Dado que \( D = 0 \) pero \( D_x \neq 0 \), el sistema no tiene soluciones cuando:
\[ k = -\frac{6}{5} \]
Factoriza la expresión \[ 6 x^2 - 13 x + 5 \].
Identifica: \( a = 6 \), \( b = -13 \), \( c = 5 \).
Producto \( a \cdot c = 30 \).
Busca dos números que multipliquen a 30 y sumen -13: \( -10 \) y \( -3 \).
Reescribe:
\[ 6x^2 - 10x - 3x + 5 \]
Agrupa:
\[ (6x^2 - 10x) + (-3x + 5) = 2x(3x - 5) - 1(3x - 5) \]
Factor común \( (3x - 5) \):
\[ (2x - 1)(3x - 5) \]
Simplifica \( i^{231} \), donde \( i \) es la unidad imaginaria definida como: \[ i = \sqrt{-1} \].
Nota: \( i^4 = 1 \).
Divide el exponente: \( 231 = 4 \times 57 + 3 \).
Entonces:
\[ i^{231} = i^{4 \times 57 + 3} = (i^4)^{57} \cdot i^3 = 1^{57} \cdot i^3 \]
Como \( i^3 = -i \):
\[ i^{231} = -i \]
¿Cuál es el resto cuando \( f(x) = (x - 2)^{54} \) se divide por \( x - 1 \)?
Por el teorema del resto, el resto \( r \) es: \[ r = f(1) = (1 - 2)^{54} = (-1)^{54} = 1 \]
Encuentra \( b \) y \( c \) tal que la parábola con ecuación \( y = 4 x^2 - b x - c \) tenga vértice con coordenadas \( (2 , 4) \).
La coordenada \(x\) del vértice: \[ h = \frac{b}{2\cdot4} = \frac{b}{8} = 2 \Rightarrow b = 16 \] Sustituye el vértice en la ecuación: \[ 4(2)^2 - 16(2) - c = 4 \] Resuelve: \[ 16 - 32 - c = 4 \Rightarrow -c = 20 \Rightarrow c = -20 \] \[ b = 16, \; c = -20 \]
Encuentra todos los ceros del polinomio \[ P(x) = x^3 - 3 x^2 - 10 x + 24 \] sabiendo que \( x = 2 \) es un cero de \(P(x)\).
Dado que \( x = 2 \) es raíz, \( (x - 2) \) es factor. Divide \( P(x) \) entre \( (x - 2) \): \[ P(x) = (x - 2)(x^2 - x - 12) \] Factoriza el cuadrático: \[ x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3) \] Entonces: \[ P(x) = (x - 2)(x - 4)(x + 3) \] Ceros: \[ x = 2, \; x = 4, \; x = -3 \]
Si \( x \) es un entero, ¿cuál es el mayor valor de \( x \) que satisface la desigualdad \[ 5 \lt 2x + 2 \lt 9? \]
Resuelve: \[ 5 \lt 2x + 2 \lt 9 \Rightarrow 3 \lt 2x \lt 7 \Rightarrow \frac{3}{2} \lt x \lt \frac{7}{2} \] El mayor entero menor que \( \frac{7}{2} = 3.5 \) es 3.
Los conjuntos \( A \) y \( B \) están dados por: \[ A = \{2 , 3 , 6 , 8, 10\} \; , \; B = \{3 , 5 , 7 , 9\} \].
a) Encuentra la intersección de los conjuntos \( A \) y \( B \).
b) Encuentra la unión de los conjuntos \( A \) y \( B \).
a) Intersección: elementos comunes. \[ A \cap B = \{3\} \] b) Unión: todos los elementos sin repetir. \[ A \cup B = \{2, 3, 6, 8, 10, 5, 7, 9\} \]
Simplifica \[ \left| - x^2 + 4x - 4 \right| \].
Factoriza: \[ | - (x^2 - 4x + 4) | = | -(x - 2)^2 | \] El valor absoluto de un cuadrado negativo es el cuadrado: \[ (x - 2)^2 \]
Encuentra la constante \( k \) tal que la recta con ecuación \( y = k x \) sea tangente a la circunferencia con ecuación \[ (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 4 \].
Sustituye \( y = kx \) en la ecuación de la circunferencia: \[ (x - 3)^2 + (kx - 5)^2 = 4 \] Expande y escribe como cuadrática en \(x\): \[ x^2(1 + k^2) - x(6 + 10k) + 30 = 0 \] Para tangencia, el discriminante debe ser cero: \[ \Delta = [-(6 + 10k)]^2 - 4(1 + k^2)(30) = 0 \] Resuelve: \[ -20k^2 + 120k - 84 = 0 \] \[ k = \frac{15 + 2\sqrt{30}}{5} \quad \text{o} \quad k = \frac{15 - 2\sqrt{30}}{5} \]