Explore preguntas de álgebra de grado 11 que cubren funciones, polinomios, ecuaciones de círculos y parábolas, y simplificación de expresiones. Cada tema incluye soluciones paso a paso diseñadas para ayudar a los estudiantes a comprender y dominar conceptos algebraicos clave. Ideal para repaso, práctica y fortalecer la confianza en la resolución de problemas.
Complete el cuadrado en la función cuadrática $f$ dada por:
$$ f(x) = 2x^2 - 6x + 4 $$
Factorice 2 de los primeros dos términos:
$$ f(x) = 2(x^2 - 3x) + 4 $$
Sume y reste $\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2$ dentro del paréntesis:
$$ = 2\left(x^2 - 3x + \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2\right) + 4 $$
Escriba $x^2 - 3x + \left(\dfrac{3}{2}\right)^2$ como un trinomio cuadrado perfecto $\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2$:
$$ = 2 \left(\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 \right) + 4 $$
$$ = 2 \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - 2 \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 + 4 $$
$$ = 2 \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{2} + 4 $$
Agrupe $-\dfrac{9}{2} + 4$:
$$ = 2\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{2} $$
Encuentre el(los) punto(s) de intersección de la parábola con ecuación $y = x^2 - 5x + 4$ y la recta con ecuación $y = 2x - 2$.
Las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola y la recta se encuentran resolviendo el sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} y = x^2 - 5x + 4 \\ y = 2x - 2 \end{cases} $$
Sustituya $y$ por $2x - 2$ en la primera ecuación:
$$ 2x - 2 = x^2 - 5x + 4 $$
Escriba la ecuación cuadrática en forma estándar (un lado igual a cero):
$$ x^2 - 7x + 6 = 0 $$
Solución de la ecuación cuadrática:
$$ x = 1 \quad \text{y} \quad x = 6 $$
Encuentre las coordenadas $y$:
Para $x = 1$, $y = 2(1) - 2 = 0$
Para $x = 6$, $y = 2(6) - 2 = 10$
Puntos de intersección:
$$ (1, 0) \quad \text{y} \quad (6, 10) $$
Encuentre la constante $k$ tal que: $$ -x^2 - (k + 7)x - 8 = -(x - 2)(x - 4) $$ para todos los valores reales de $x$.
Ecuación dada:
$$ -x^2 - (k + 7)x - 8 = -(x - 2)(x - 4) $$
Expandiendo el lado derecho:
$$ -x^2 - (k + 7)x - 8 = -x^2 + 6x - 8 $$
Dos polinomios son iguales si sus coeficientes correspondientes son iguales, por lo tanto:
$$ -(k + 7) = 6 $$
Resolviendo para $k$:
$$ k = -13 $$
Encuentre el centro y el radio del círculo con ecuación: $$ x^2 + y^2 - 2x + 4y - 11 = 0 $$
Agrupe los términos en $x$ y los términos en $y$:
$$ (x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) = 11 $$
Complete el cuadrado en $x^2 - 2x$ de la siguiente manera:
$$ (x^2 - 2x) = (x - 1)^2 - 1 $$
Complete el cuadrado en $y^2 + 4y$ de la siguiente manera:
$$ y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4 $$
Reescriba la ecuación dada como:
$$ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 = 11 $$
Escriba la ecuación del círculo en la forma estándar $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$:
$$ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4^2 $$
Identifique el centro $(h,k)$ y el radio $r$:
$$ x - h = x - 1 \quad \text{da} \quad h = 1 $$
$$ y - k = y + 2 \quad \text{da} \quad k = -2 $$
$$ r^2 = 4^2 \quad \text{da} \quad r = 4 $$
Por lo tanto:
$$ \text{El centro está en: } (1, -2), \quad \text{Radio = } 4 $$
Encuentre la constante $k$ tal que la ecuación cuadrática $$ 2x^2 + 5x - k = 0 $$ tenga dos soluciones reales.
Ecuación cuadrática dada:
$$ 2x^2 + 5x - k = 0 $$
Calcule el discriminante:
$$ \Delta = 5^2 - 4(2)(-k) = 25 + 8k $$
Una ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales cuando el discriminante es estrictamente positivo:
$$ 25 + 8k > 0 $$
Resuelva para $k$:
$$ k > -\frac{25}{8} $$
Encuentre la constante $k$ tal que el sistema de dos ecuaciones: $$ 2x + ky = 2 \quad \text{y} \quad 5x - 3y = 7 $$ no tenga soluciones.
Según la regla de Cramer, si el determinante $D$ de la matriz de coeficientes es igual a cero y uno de los determinantes $D_x$ o $D_y$ no es igual a cero, el sistema no tiene soluciones.
La matriz de coeficientes $A$ es:
$$ A = \begin{bmatrix} 2 & k \\ 5 & -3 \end{bmatrix} $$
Su determinante $D$ es:
$$ D = \begin{vmatrix} 2 & k \\ 5 & -3 \end{vmatrix} = (2)(-3) - (5)(k) = -6 - 5k $$
Igualando $D = 0$:
$$ -6 - 5k = 0 \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{6}{5} $$
Definimos el determinante $D_x$ reemplazando la primera columna de $A$ con la matriz de constantes $\begin{bmatrix} 2 \\ 7 \end{bmatrix}$:
$$ D_x = \begin{vmatrix} 2 & k \\ 7 & -3 \end{vmatrix} = (2)(-3) - (7)(k) = -6 - 7k $$
Sustituyendo $k = -\frac{6}{5}$:
$$ D_x = -6 - 7\left(-\frac{6}{5}\right) = -6 + \frac{42}{5} = \frac{-30 + 42}{5} = \frac{12}{5} \neq 0 $$
Dado que el determinante de coeficientes $D = 0$ pero $D_x \neq 0$, el sistema es inconsistente y no tiene soluciones cuando:
$$ k = -\frac{6}{5} $$
Factorice la expresión: $$ 6x^2 - 13x + 5 $$
En la expresión cuadrática $ax^2 + bx + c$, identificamos $a = 6$, $b = -13$ y $c = 5$. Multiplique $a$ y $c$:
$$ 6 \times 5 = 30 $$
Necesitamos dos números que multiplicados den 30 y sumados den -13. Los números -10 y -3 satisfacen estas condiciones:
$$ -10 \times -3 = 30 $$
$$ -10 + (-3) = -13 $$
Usamos estos números para dividir $-13x$ como $-10x - 3x$:
$$ 6x^2 - 10x - 3x + 5 $$
Agrupe los términos y factorice los elementos comunes:
$$ (6x^2 - 10x) + (-3x + 5) = 2x(3x - 5) - 1(3x - 5) $$
Dado que $(3x - 5)$ es común, la expresión se factoriza como:
$$ 6x^2 - 13x + 5 = (2x - 1)(3x - 5) $$
Simplifique $i^{231}$ donde $i$ es la unidad imaginaria definida como $i = \sqrt{-1}$.
Note que $i^4 = 1$. Además, observe que $231 = 4 \times 57 + 3$. Por lo tanto:
$$ i^{231} = i^{4 \times 57 + 3} = i^{4 \times 57} \cdot i^3 = (i^4)^{57} \cdot i^3 $$
Dado que $i^4 = 1$, obtenemos:
$$ = 1^{57} \cdot (-i) = -i $$
¿Cuál es el residuo cuando $f(x) = (x - 2)^{54}$ se divide por $x - 1$?
Según el teorema del resto, el residuo $r$ de la división de $f(x)$ por $x - c$ viene dado por $f(c)$. Aquí, $c = 1$.
$$ r = f(1) = (1 - 2)^{54} = (-1)^{54} = 1 $$
Encuentre $b$ y $c$ tal que la parábola con ecuación $y = 4x^2 - bx - c$ tenga un vértice con coordenadas $(2 , 4)$.
La fórmula para la coordenada x del vértice $h$ es $-\frac{b}{2a}$:
$$ h = \frac{- (-b)}{2(4)} = \frac{b}{8} = 2 $$
Resuelva para $b$:
$$ b = 16 $$
El punto del vértice es una solución a la ecuación de la parábola, por lo tanto, sustituya $x=2$ y $y=4$:
$$ 4(2)^2 - 16(2) - c = 4 $$
$$ 16 - 32 - c = 4 \quad \Rightarrow \quad -16 - c = 4 $$
Resuelva para $c$:
$$ c = -20 $$
Por lo tanto, $b = 16$ y $c = -20$.
Encuentre todos los ceros del polinomio $P(x) = x^3 - 3x^2 - 10x + 24$ sabiendo que $x = 2$ es un cero de $P(x)$.
Dado que $x = 2$ es una raíz, $(x - 2)$ es un factor de $P(x)$. Divida $P(x)$ por $(x - 2)$ para encontrar el cociente cuadrático $Q(x)$:
$$ Q(x) = \dfrac{x^3 - 3x^2 - 10x + 24}{x - 2} = x^2 - x - 12 $$
Así que ahora tenemos:
$$ P(x) = (x - 2)(x^2 - x - 12) $$
Factorice el cuadrático:
$$ x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3) $$
Factorización final:
$$ P(x) = (x - 2)(x - 4)(x + 3) $$
Iguale cada factor a cero para listar todas las raíces:
$$ x = 2, \quad x = 4, \quad x = -3 $$
Si $x$ es un número entero, ¿cuál es el mayor valor de $x$ que satisface la desigualdad $5 \lt 2x + 2 \lt 9$?
Resuelva la desigualdad compuesta restando 2 de todas las partes:
$$ 3 \lt 2x \lt 7 $$
Divida por 2:
$$ \frac{3}{2} \lt x \lt \frac{7}{2} $$
Dado que $\frac{7}{2} = 3.5$, el mayor valor entero de $x$ que satisface la desigualdad dada es $3$ (el entero más grande estrictamente menor que $3.5$).
Los conjuntos $A$ y $B$ están dados por $A = \{2 , 3 , 6 , 8, 10\}$ y $B = \{3 , 5 , 7 , 9\}$.
a) Encuentre la intersección de los conjuntos $A$ y $B$.
b) Encuentre la unión de los conjuntos $A$ y $B$.
a) El único elemento común tanto a $A$ como a $B$ es 3, por lo tanto, la intersección es:
$$ A \cap B = \{3\} $$
b) Todos los elementos de $A$ y $B$ están en la unión. Los elementos comunes a ambos se enumeran solo una vez:
$$ A \cup B = \{2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} $$
Simplifique: $\left| -x^2 + 4x - 4 \right|$
Reescriba la expresión factorizando el signo negativo:
$$ = | - (x^2 - 4x + 4) | $$
Complete el cuadrado:
$$ = | -(x - 2)^2 | $$
Use la propiedad de que $|-A| = |A|$. Dado que $(x-2)^2$ es siempre no negativo para cualquier número real $x$, podemos eliminar las barras de valor absoluto por completo:
$$ = (x - 2)^2 $$
Encuentre la constante $k$ tal que la recta con ecuación $y = kx$ sea tangente al círculo con ecuación $(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 4$.
Una recta y un círculo son tangentes si tienen exactamente un punto de intersección. Sustituya $y = kx$ en la ecuación del círculo:
$$ (x - 3)^2 + (kx - 5)^2 = 4 $$
Expanda:
$$ x^2 - 6x + 9 + k^2x^2 - 10kx + 25 = 4 $$
Agrupe los términos para escribir la ecuación cuadrática en forma estándar $(Ax^2 + Bx + C = 0)$:
$$ (1 + k^2)x^2 - (6 + 10k)x + 30 = 0 $$
Para que la recta sea tangente, esta cuadrática debe tener exactamente una solución, lo que significa que su discriminante $\Delta$ debe ser igual a cero:
$$ \Delta = B^2 - 4AC = (-(6 + 10k))^2 - 4(1 + k^2)(30) = 0 $$
Expanda la ecuación del discriminante:
$$ (36 + 120k + 100k^2) - 120 - 120k^2 = 0 $$
$$ -20k^2 + 120k - 84 = 0 $$
Divida toda la ecuación por $-4$ para facilitar la resolución:
$$ 5k^2 - 30k + 21 = 0 $$
Resuelva esta ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática para $k$:
$$ k = \frac{-(-30) \pm \sqrt{(-30)^2 - 4(5)(21)}}{2(5)} = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 420}}{10} = \frac{30 \pm \sqrt{480}}{10} $$
Simplifique el radical ($\sqrt{480} = 4\sqrt{30}$):
$$ k = \frac{30 \pm 4\sqrt{30}}{10} = \frac{15 \pm 2\sqrt{30}}{5} $$
Respuestas finales:
$$ k = \frac{15+2\sqrt{30}}{5} \quad \text{o} \quad k = \frac{15-2\sqrt{30}}{5} $$