Encuentre el dominio de las funciones racionales
preguntas con soluciones detalladas

¿Cómo encontrar el dominio de las funciones racionales? Los ejemplos se presentan junto con soluciones detalladas y explicaciones y también la interpretación gráfica.

How to find the domain of a rational function?
En primer lugar hay que entender que \(\dfrac{1}{x} \) toma valores reales sólo si el denominador no es igual a 0. En este caso \(x \ne 0 \). Esto puede ser fácilmente verificada mediante el examen de la gráfica de \(y = \dfrac {1}{x} \) se muestra a continuación: El gráfico "existe" para todos los valores de \(x \) excepto 0.
El dominio en forma de intervalo viene dado por: \( (-\infty , 0) \cup (0 , \infty) \)

Ejemplo 1: Encuentra el dominio de la función \(f(x) = \dfrac {1}{x - 2} \).
Solución:
La función dada toma valores reales y, por lo tanto, es real si
\( x - 2 \ne 0 \) or \( x \ne 2 \)
En forma de intervalo, el dominio está dado por
\( (-\infty , 2) \cup (2 , \infty) \)
A continuación se muestra el gráfico de \(f \) y podemos ver que la función dada no está definida en x = 2.

Ejemplo 2: Encuentra el dominio de la función \( f(x) = \dfrac{x + 3}{(x - 1)(x + 2)} \).
Solución:
La función dada toma valores reales y, por lo tanto, es real si
\( (x - 1)(x + 2) \ne 0 \)
La expresión (x - 1) (x + 2) no es igual a cero si x ≠ 1 e x ≠ -2.
En forma de intervalo, el dominio está dado por
\( (-\infty , - 2) \cup (-2 ,1 ) \cup (1 , \infty) \)
A continuación se muestra el gráfico de \(f \) y podemos ver que la función dada no está definida en x = -2 e x = 1.

Ejemplo 3: Encuentra el dominio de la función \( f(x) = \dfrac{1}{ {x^2 - 4}} \).
Solución:
La función dada toma valores reales y, por lo tanto, es real si
\( x^2 - 4 \ne 0 \)
Factor x ² - 4 y reescribe la desigualdad como
\( (x - 2)(x + 2) \ne 0 \)
La expresión (x - 2)(x + 2) no es igual a cero si x ≠ -2 ex ≠ 2.
En forma de intervalo, el dominio está dado por
\( (-\infty , - 2) \cup (-2 ,2 ) \cup (2 , \infty) \)
A continuación se muestra el gráfico de \( f \) y podemos ver que la función dada no está definida en x = -2 e x = 2.

Ejemplo 4: Encuentra el dominio de la función \( f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 + x - 2} \).
Solución:
La función dada toma valores reales y, por lo tanto, es real si
\( x^2 + x - 2 \ne 0 \)
Factor x ² + x - 2 e reescribe la desigualdad como
\( (x - 1)(x + 2) \ne 0 \)
La expresión (x - 1)(x + 2) no es igual a cero si x ≠ 1 e x ≠ - 2.
En forma de intervalo, el dominio está dado por
\( (-\infty , - 2) \cup (-2 ,1 ) \cup (1 , \infty) \)
A continuación se muestra el gráfico de \(f \) y podemos ver que la función dada no está definida at x = -2 e x = 1.

Ejemplo 5: Encuentra el dominio de la función \( f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + x + 5} \).
Solución:
La función dada toma valores reales y, por lo tanto, es real si
\( x^2 + x + 5 \ne 0 \)
La expresión x ² + x + 5 no se puede factorizar sobre los reales. Por lo tanto, necesitamos resolver la ecuación cuadrática utilizando el discriminante \( \Delta \).
\( x^2 + x + 5 = 0 \)
\( \Delta = b^2 - 4 a c = (1)^2 - 4(1)(5) = -19 \)
El discriminante es negativo y, por lo tanto, ningún valor real de x hace que la expresión x ^{2 + x + 5 sea igual a cero. El dominio es el conjunto de todos los números reales}
En forma de intervalo, el dominio está dado por
\( (-\infty , \infty) \)
A continuación se muestra el gráfico de \(f \) y podemos ver que se define para todos los valores de x real.

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