Encuentre el dominio de las funciones de raíz cuadrada
Preguntas con soluciones detalladas

¿Cómo encontrar el dominio de funciones con raíz cuadrada? Se presentan varios ejemplos junto con soluciones detalladas y explicaciones con explicaciones gráficas e interpretación del dominio.

¿Cómo encontrar el dominio de una función con raíz cuadrada?

Primero tenemos que entender que \(\sqrt x \) es real solo si el argumento \(x \) que es la cantidad bajo el radical \(\sqrt{} \) satisface la condición: \(x \ge 0 \). Esto se puede verificar fácilmente examinando el gráfico de \(y = \sqrt x \) que se muestra a continuación: El gráfico solo existe para \(x \ge 0 \).

gráfico de la raíz cuadrada función

Ejemplo 1: Encuentra el dominio de la función \(f(x) = \sqrt {x - 2} \).

Solución:

\(f(x) = \sqrt {x - 2} \) toma valores reales si el argumento \(x - 2 \), que es la cantidad bajo el radical \(\sqrt{} \), satisface la condición: \(x - 2 \ge 0 \). La solución de la desigualdad es

\( x \ge 2 \)

cuál es el dominio de la función y esto se puede comprobar gráficamente como se muestra a continuación donde el gráfico de \(f \) "existe" para \(x \ge 2 \).

gráfico de la función de raíz cuadrada en el ejemplo 1


Ejemplo 2: Encuentre el dominio de la función \(f(x) = \sqrt{| x - 1 |} \).

Solución:

\(f (x) = \sqrt {| x - 1 |} \) toma valores reales si el argumento \(| x - 1 | \), que es la cantidad bajo el radical \(\ sqrt{} \), Satisface la condición: \(| x - 1 | \ge 0 \). La solución de la desigualdad es

el conjunto de todos los números reales porque la expresión del valor absoluto \(| x - 1 | \) siempre es positiva o cero.

El dominio de la función es el conjunto de números reales \(\mathbb{R} \) y se puede verificar gráficamente como se muestra a continuación, donde la gráfica de \(f \) "existe" para todos los valores \(x \)..

gráfico de la función de raíz cuadrada en el ejemplo 2


Ejemplo 3: Encuentre el dominio de la función \(f(x) = \dfrac {1}{\sqrt {x + 3}} \).

Solución:

Teniendo en cuenta que la función es la relación de dos funciones y que la división por cero no está permitida, la función dada toma valores reales si el argumento \(x + 3 \), que es la cantidad bajo el radical \(\sqrt{} \), cumple la condición: \(x + 3 \gt 0 \). Tenga en cuenta que el símbolo de la desigualdad utilizada es \(\gt \) y no \(\ge \) porque no queremos tener cero en el denominador. La solución de la desigualdad es

\( x \gt - 3 \).

The domain of the function is the set of real numbers greater than -3 and this can be checked graphically as shown below where the graph of \( f\) "exists" for all \( x > - 3\) values..

gráfico de la función de raíz cuadrada en el ejemplo 3


Ejemplo 4: Encuentra el dominio de la función \( f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 4}}{\sqrt{x - 2}} \).

Solución:

La función dada toma valores reales si se cumplen dos condiciones.

1) \( x + 4 \ge 0 \) , cero está permitido en el numerador, de ahí el uso del símbolo de desigualdad \( \ge \).
and
2) \( x - 2 \gt 0 \) , cero no está permitido en el denominador, de ahí el uso del símbolo de desigualdad \( \gt \).

El dominio de la función es la intersección de los dos conjuntos de soluciones de las dos desigualdades anteriores..

\( x \ge - 4 \) and \( x \gt 2 \)

La intersección de los dos conjuntos de soluciones anteriores está dada por .

\( x \gt 2 \)

¿Cuál es el dominio de la función dada como se muestra a continuación en el gráfico de \( f \)..

gráfico de la función de raíz cuadrada en el ejemplo 4


Ejemplo 5: Encuentra el dominio de la función \( f(x) = \sqrt{\dfrac{x + 4}{ {x - 2}}} \).

Solución:

La función dada toma valores reales si

\( \dfrac{x + 4}{ {x - 2}} \ge 0\)

Necesitamos resolver la desigualdad anterior. Los ceros del numerador y el denominador son

x = - 4 e x = 2

Los ceros dividen la recta numérica en 3 intervalos sobre los cuales el signo de la desigualdad es el mismo. De ahí los intervalos.

\( (-\infty , -4) \) , \( (-4 , 2 ) \) , \( (2 , \infty) \)

Seleccionamos un valor dentro de cada intervalo y lo usamos para encontrar el signo de la expresión \( \dfrac{x + 4}{ {x - 2}}\).

1) En el intervalo \((- \infty, -4) \), seleccione x = -6 y sustituya x en \(\dfrac{x + 4}{{x - 2}} \) por -6 para determinar su signo

\( \dfrac{ -6 + 4}{ {-6 - 2}} \gt 0 \)

2) En el intervalo \( (-4 , 2) \) , seleccione x = 0 y sustituya x en \( \dfrac{x + 4}{ {x - 2}} \) por 0 para determinar su signo

\( \dfrac{ 0 + 4}{ {0 - 2}} \lt 0 \)

3) On the interval \( (2 , \infty) \) , seleccione x = 3 y sustituya x en \( \dfrac{x + 4}{ {x - 2}} \) por 3 para determinar su signo

\( \dfrac{ 3 + 4}{ {3 - 2}} \gt 0 \)

Por lo tanto, el dominio es la unión de todos los intervalos sobre los cuales \(\dfrac{x + 4}{{x - 2}} \gt 0 \) y está dado por.

\( (-\infty , -4] \cup (2 , \infty) \)

El gráfico de \(f \) es el que se muestra a continuación y podemos verificar fácilmente el dominio que se encuentra arriba. Nota x = 2 no es el dominio porque la división por cero no está permitida..

gráfico de la función de raíz cuadrada en el ejemplo 5


Ejemplo 6: Encuentra el dominio de la función \( f(x) = \sqrt{-x^2-4} \).

Solución:

The given function takes real values if

\( -x^2 - 4 \ge 0\)

Multiply all terms of the above inequality by -1 and change the symbol of inequality to obtain

\( x^2 + 4 \le 0\)

No real value of x satisfies the above inequality. Hence the domain of the given function is an empty set and the given function has no graph. Try to graph function f using a graphing calculator.


Ejemplo 7: Encuentra el dominio de la función \( f(x) = \dfrac{\sqrt{6 - x}}{ \sqrt{x - 2}} \).

La función dada toma valores reales si se cumplen dos condiciones.

1) \( 6 - x \ge 0 \) , cero está permitido en el numerador, de ahí el uso del símbolo de desigualdad \( \ge \).
and
2) \( x - 2 \gt 0 \) , cero no está permitido en el denominador, de ahí el uso del símbolo de desigualdad \( \gt \).

El dominio de la función es la intersección de los dos conjuntos de soluciones de las dos desigualdades anteriores..

\( x \le 6 \) e \( x \gt 2 \)

La intersección de los dos conjuntos de soluciones anteriores está dada por el intervalo.

\( (2 , 6] \)

El gráfico de \(f \) es el que se muestra a continuación y podemos verificar fácilmente el dominio que se encuentra arriba. Nota x = 2 no es el dominio porque la división por cero no está permitida..

gráfico de la función de raíz cuadrada en el ejemplo 7


Ejemplo 8: Encuentra el dominio de la función \( f(x) = \sqrt{x^2 - 4} \).

Solución:

La función dada toma valores reales si

\( x^2 - 4 \ge 0\) que también se puede escribir \( (x - 2)(x + 2) \ge 0\)

La solución establecida en la desigualdad cuadrática anterior está dada por el intervalo

\( (-\infty , -2] \cup [2 , \infty) \)

El gráfico de \(f \) es el que se muestra a continuación y podemos verificar fácilmente el dominio que se encuentra arriba...

gráfico de la función de raíz cuadrada en el ejemplo 8


Ejemplo 9: Encuentra el dominio de la función \( f(x) = \sqrt{4 - x^2} \).

Solución:

La función dada toma valores reales si

\( 4 - x^2 \ge 0\) que también se puede escribir como \( (2 - x)(2 + x) \ge 0\)

La solución establecida en la desigualdad cuadrática anterior está dada por el intervalo

\( [2 , 2] \)

El gráfico de \(f \) es el que se muestra a continuación y podemos verificar fácilmente el dominio que se encuentra arriba...



gráfico de la función de raíz cuadrada en el ejemplo 9

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Actualizado: 20 Abril 2018 (A Dendane) >

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