Se presentan preguntas sobre el uso de formas polinómicas especiales, como la diferencia de dos cuadrados, el trinomio cuadrado perfecto y la suma y diferencia de dos cubos, para factorizar otros polinomios. Las preguntas se presentan junto con soluciones y explicaciones detalladas. A continuación, presentamos varias formas polinómicas especiales.
Podemos escribir:
\[ 16x^2 - 9y^2 = (4x)^2 - (3y)^2 \]Ahora que hemos escrito el polinomio dado como la diferencia de dos cuadrados, aplicamos la identidad:
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]Usando esta identidad para factorizar el polinomio:
\[ 16x^2 - 9y^2 = (4x - 3y)(4x + 3y) \]a) \[ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \] b) \[ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \]
Observa que los monomios en el polinomio dado pueden escribirse de la siguiente manera:
\[ 4x^2 = (2x)^2 \quad , \quad 20xy = 2(2x)(5y) \quad \text{y} \quad 25y^2 = (5y)^2 \]Ahora escribimos el polinomio dado de la siguiente manera:
\[ 4x^2 + 20xy + 25y^2 = (2x)^2 + 2(2x)(5y) + (5y)^2 \]Usa la identidad \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \) para escribir el polinomio como un cuadrado:
\[ 4x^2 + 20xy + 25y^2 = (2x)^2 + 2(2x)(5y) + (5y)^2 = (2x + 5y)^2 \]Observa que los monomios que componen el polinomio dado pueden reescribirse de la siguiente manera:
\[ 1 = 1^2 \] \[ -6x = -2 \cdot 3 \cdot x \] \[ 9x^2 = (3x)^2 \]Por lo tanto, el polinomio dado puede escribirse como:
\[ 1 - 6x + 9x^2 = 1^2 - 2 \cdot 3x + (3x)^2 \]Usando la identidad:
\[ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \]reconocemos el patrón y escribimos el polinomio dado como un cuadrado perfecto:
\[ 1 - 6x + 9x^2 = (1 - 3x)^2 \]Observa que los monomios en el polinomio dado pueden reescribirse de la siguiente manera:
\[ 8 = (2)^3 \quad \text{y} \quad 27x^3 = (3x)^3 \]El polinomio dado ahora puede escribirse usando potencias cúbicas:
\[ 8 - 27x^3 = (2)^3 - (3x)^3 \]Aplicamos la identidad para la diferencia de cubos:
\[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \]Usando esta identidad, factorizamos el polinomio de la siguiente manera:
\[ 8 - 27x^3 = (2)^3 - (3x)^3 = (2 - 3x)\left((2)^2 + (2)(3x) + (3x)^2\right) \] \[ = (2 - 3x)(4 + 6x + 9x^2) \]Por lo tanto, la forma factorizada del polinomio \( 8 - 27x^3 \) es:
\[ (2 - 3x)(9x^2 + 6x + 4) \]Los dos monomios que componen el polinomio dado pueden escribirse como:
\[ 8y^3 = (2y)^3 \quad \text{y} \quad 1 = (1)^3 \]El polinomio a factorizar ahora puede escribirse como:
\[ 8y^3 + 1 = (2y)^3 + (1)^3 \]Usa la identidad para la suma de cubos:
\[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]Aplica esta fórmula para factorizar el polinomio dado:
\[ 8y^3 + 1 = (2y)^3 + (1)^3 = (2y + 1)\left((2y)^2 - (2y)(1) + (1)^2\right) \]Simplifica la expresión:
\[ (2y + 1)(4y^2 - 2y + 1) \]Forma factorizada final:
\[ 8y^3 + 1 = (2y + 1)(4y^2 - 2y + 1) \]a) \[ -25x^2 + 9 \] b) \[ 16y^4 - x^4 \] c) \[ 36y^2 - 60xy + 25x^2 \] d) \[ \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2} \] e) \[ -y^3 - 64 \] f) \[ x^6 - 1 \]
Si dejamos \( a = 5x \) y \( b = 3 \), el polinomio dado puede escribirse como:
\[ -25x^2 + 9 = -a^2 + b^2 \]Usa la identidad del polinomio especial \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) para factorizar la expresión dada de la siguiente manera:
\[ -25x^2 + 9 = -a^2 + b^2 = (-a + b)(a + b) \]Ahora sustituye de nuevo \( a = 5x \) y \( b = 3 \):
\[ (-5x + 3)(5x + 3) \] b)El polinomio dado tiene la forma de la diferencia de dos cuadrados y puede escribirse como:
\[ 16y^4 - x^4 = (4y^2)^2 - (x^2)^2 \]Usando la identidad especial para la diferencia de cuadrados:
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]Factorizamos el polinomio dado de la siguiente manera:
\[ 16y^4 - x^4 = (4y^2)^2 - (x^2)^2 = (4y^2 - x^2)(4y^2 + x^2) \]La expresión \( 4y^2 + x^2 \) es una suma de cuadrados y no se puede factorizar usando números reales. Sin embargo, el término \( 4y^2 - x^2 \) también es una diferencia de cuadrados y puede factorizarse aún más. Por lo tanto, la factorización completa del polinomio es:
\[ 16y^4 - x^4 = (2y - x)(2y + x)(4y^2 + x^2) \] c)El polinomio dado puede escribirse como:
\[ 36y^2 - 60xy + 25x^2 = (6y)^2 - 2(6y)(5x) + (5x)^2 \]Usa el trinomio especial \( a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \) para factorizar el polinomio dado de la siguiente manera:
\[ 36y^2 - 60xy + 25x^2 = (6y)^2 - 2(6y)(5x) + (5x)^2 = (6y - 5x)^2 \] d)Factoriza \( \frac{1}{2} \) y reescribe el polinomio dado como:
\[ \frac{1}{2} x^2 + x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} x^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left( x^2 + 2x + 1 \right) \]Usa la identidad del trinomio especial \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \) para factorizar \( x^2 + 2x + 1 = x^2 + 2(x)(1) + 1^2 \), y el polinomio dado de la siguiente manera:
\[ \frac{1}{2} x^2 + x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left( x^2 + 2x + 1 \right) = \frac{1}{2} (x + 1)^2 \] e)Factoriza \( -1 \) y reescribe el polinomio dado como:
\[ - y^3 - 64 = - (y^3 + 64) = - (y^3 + 4^3) \]Usa la identidad \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \) para factorizar el polinomio dado de la siguiente manera:
\[ - y^3 - 64 = - (y^3 + 64) = - (y^3 + 4^3) \] \[ = -(y + 4)(y^2 - y(4) + 4^2) = -(y + 4)(y^2 - 4y + 16) \] f)Escribamos el polinomio dado como la diferencia de dos cuadrados de la siguiente manera:
\[ x^6 - 1 = (x^3)^2 - (1)^2 \]Usa la diferencia especial de cuadrados del polinomio \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) y factoriza el polinomio dado de la siguiente manera:
\[ x^6 - 1 = (x^3)^2 - (1)^2 = (x^3 - 1)(x^3 + 1) \]En lo anterior, tenemos el producto de la suma y la diferencia de dos cubos. Por lo tanto:
\[ x^6 - 1 = (x^3)^2 - (1)^2 = (x^3 - 1)(x^3 + 1) \] \[ = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1) \]