Identidades, Ejemplos Resueltos y Soluciones Paso a Paso
Las formas polinómicas especiales, tales como la diferencia de dos cuadrados, los trinomios cuadrados perfectos, y la suma o diferencia de dos cubos, proporcionan atajos para factorizar expresiones algebraicas complejas. Identificar estos patrones es esencial para una resolución de problemas eficiente.
Factoriza el polinomio: \[ 16x^2 - 9y^2 \]
Reescribe los términos como cuadrados: \( 16x^2 = (4x)^2 \) y \( 9y^2 = (3y)^2 \).
\[ 16x^2 - 9y^2 = (4x)^2 - (3y)^2 \]Aplica \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \):
\[ = (4x - 3y)(4x + 3y) \]Factoriza: \[ 4x^2 + 20xy + 25y^2 \]
Identifica los cuadrados y el término medio: \( (2x)^2 \), \( (5y)^2 \), y \( 2(2x)(5y) = 20xy \).
\[ 4x^2 + 20xy + 25y^2 = (2x)^2 + 2(2x)(5y) + (5y)^2 \]Aplica \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \):
\[ = (2x + 5y)^2 \]Factoriza: \[ 8 - 27x^3 \]
Reescribe como cubos: \( 8 = 2^3 \) y \( 27x^3 = (3x)^3 \).
\[ 8 - 27x^3 = 2^3 - (3x)^3 \]Aplica \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \):
\[ = (2 - 3x)(2^2 + (2)(3x) + (3x)^2) \] \[ = (2 - 3x)(4 + 6x + 9x^2) \]Factoriza los siguientes polinomios especiales completamente.
Práctica A: \( -25x^2 + 9 \)
Reorganiza como una diferencia de cuadrados: \( 9 - 25x^2 \).
\[ 3^2 - (5x)^2 = (3 - 5x)(3 + 5x) \]Práctica B: \( 16y^4 - x^4 \)
Factoriza como diferencia de cuadrados dos veces:
\[ (4y^2)^2 - (x^2)^2 = (4y^2 - x^2)(4y^2 + x^2) \]Factoriza la diferencia de cuadrados restante:
\[ = (2y - x)(2y + x)(4y^2 + x^2) \]Práctica C: \( \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2} \)
Factoriza \( 1/2 \):
\[ \frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1) \]Reconoce el trinomio cuadrado perfecto:
\[ = \frac{1}{2}(x + 1)^2 \]Práctica D: \( x^6 - 1 \)
Trata como una diferencia de cuadrados: \( (x^3)^2 - 1^2 \).
\[ = (x^3 - 1)(x^3 + 1) \]Aplica las fórmulas de diferencia y suma de cubos:
\[ = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1) \]