Explore soluciones detalladas para problemas de geometría de grado 11. Estos ejemplos cubren geometría analítica, teoremas de círculos y cálculos de área/volumen para formas complejas.
Encuentre todos los puntos de intersección del círculo \( x^2 + 2x + y^2 + 4y = -1 \) y la línea \( x - y = 1 \).
Resuelva la ecuación lineal para \( x \): \( x = 1 + y \).
Sustituya en la ecuación del círculo:
\[ (1 + y)^2 + 2(1 + y) + y^2 + 4y = -1 \]Expanda y simplifique a la forma cuadrática estándar:
\[ 2y^2 + 8y + 4 = 0 \]Resolver para \( y \) da \( y = -2 \pm \sqrt{2} \). Usando \( x = 1 + y \), los puntos de intersección son:
\[ (-1 + \sqrt{2},\ -2 + \sqrt{2}) \quad \text{y} \quad (-1 - \sqrt{2},\ -2 - \sqrt{2}) \]Encuentre el área del triángulo encerrado por el eje x y las líneas \( y = x \) y \( y = -2x + 3 \).
Resolver el sistema \( y = x \) y \( y = -2x + 3 \) da la intersección (vértice) en \( (1, 1) \). La altura es \( h = 1 \).
La base se encuentra en el eje x desde \( x = 0 \) hasta la intersección de \( y = -2x + 3 \), que es \( x = 1.5 \).
\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times 1.5 \times 1 = 0.75 \text{ o } \frac{3}{4} \]Encuentre la longitud del tercer lado de un triángulo si el área es 18 y dos lados tienen longitudes de 5 y 10.
Usando la fórmula del seno para el área:
\[ 18 = \frac{1}{2} \times 5 \times 10 \times \sin(A) \Rightarrow \sin(A) = \frac{18}{25} \]Ahora aplique la ley del coseno para el lado \( x \):
\[ x^2 = 5^2 + 10^2 - 2(5)(10)\cos(A) \]Dado que \( \cos(A) = \sqrt{1 - (18/25)^2} \approx 0.692 \):
\[ x = \sqrt{125 - 100(0.692)} \approx 7.46 \]En un círculo, las cuerdas AC y BD se cortan en O. Si Área(BOC) = 15, AO = 10 y OB = 5, encuentre el área del triángulo AOD.
Por el teorema de las cuerdas que se cortan, \( AO \cdot OC = BO \cdot OD \). Esto da la proporción:
\[ \frac{AO}{BO} = \frac{OD}{OC} = \frac{10}{5} = 2 \]Los triángulos comparten ángulos opuestos por el vértice. La proporción de sus áreas es el producto de las proporciones de sus lados:
\[ \text{Área}_{\triangle AOD} = \text{Área}_{\triangle BOC} \times 2 \times 2 = 15 \times 4 = 60 \]Dos círculos concéntricos tienen radios de 10 y 6. ¿Cuál es la longitud de la cuerda AB del círculo más grande que es tangente al círculo más pequeño?
Dibujar un radio hasta el punto de tangencia forma un triángulo rectángulo con la cuerda.
Usando el Teorema de Pitágoras para la media cuerda \( x \):
\[ 6^2 + x^2 = 10^2 \Rightarrow x = \sqrt{100 - 36} = 8 \]Longitud total \( AB = 2x = 16 \).
El punto A está dentro del cuadrado BCDE (lado = 20). AB = 9 y AE = 13. Encuentre la longitud AC.
Use la ley del coseno en \(\triangle ABE\):
\[ 13^2 = 20^2 + 9^2 - 2(20)(9)\cos(T) \]Use la ley del coseno en \(\triangle ACB\):
\[ x^2 = 20^2 + 9^2 - 2(20)(9)\cos(90^\circ - T) \]Note que \( \cos(90^\circ - T) = \sin(T) \). Resolver la primera ecuación da \( \cos(T) = \frac{13}{15} \).
Usando la identidad \( \sin(T) = \sqrt{1 - (13/15)^2} = \frac{2\sqrt{14}}{15} \):
\[ AC = \sqrt{481 - 48\sqrt{14}} \approx 17.4 \]Un objeto metálico combina un hemisferio sobre un cilindro. Radio \( r = 5 \text{ cm} \), altura del cilindro \( h = 12 \text{ cm} \). La densidad es \( 7.8 \text{ g/cm}^3 \).
a) Volumen total:
\[ V_{cil} = \pi(5)^2(12) = 300\pi \] \[ V_{hemi} = \frac{2}{3}\pi(5)^3 = \frac{250}{3}\pi \] \[ V_{total} = \frac{1150}{3}\pi \text{ cm}^3 \]b) Masa:
\[ \text{Masa} = 7.8 \times \text{Volumen} \approx 9396.66 \text{ g} \]Un jardín es un rectángulo de \( 12 \times 8 \text{ m} \) con un semicírculo unido a uno de sus lados de 8m.
a) Área total:
\[ A_{rect} = 12 \times 8 = 96, \quad A_{semi} = \frac{1}{2}\pi(4)^2 = 8\pi \] \[ A_{total} = 96 + 8\pi \approx 121.13 \text{ m}^2 \]b) Perímetro: Excluimos el límite interno.
\[ P = 12 + 8 + 12 (\text{lados del rectángulo}) + \pi(4) (\text{arco}) \approx 44.57 \text{ m} \]Explore más sobre cuerdas que se cortan, la ecuación de un círculo y matemáticas de secundaria.