Problemas de Geometría con Soluciones
y Respuestas para Grado 11

Grado 11 Se muestran problemas de geometría con soluciones detalladas.

  1. Los dos círculos a continuación son concéntricos (tienen el mismo centro). El radio del círculo grande es 10 y el del círculo pequeño 6. ¿Cuál es la longitud del acorde AB?

    geometría grado 11 problema 1.


  2. El punto A está dentro del cuadrado BCDE cuya longitud lateral es 20. La longitud de AB es 9 y la longitud de AE es 13. Encuentre x la longitud de CA.

    geometría grado 11 problema 2.


  3. Encuentre todos los puntos de intersección del círculo x 2 + 2x + y 2 + 4y = -1 y la línea x - y = 1

  4. Encuentra el área del triángulo encerrado por el eje x e las líneas y = x e y = -2x + 3.

  5. Encuentra la longitud del tercer lado de un triángulo si el área del triángulo es 18 y dos de sus lados tienen longitudes de 5 y 10.

  6. En la figura a continuación, los puntos A, B, C y D están en un círculo. El punto O es la intersección de los acordes AC y BD. El área del triángulo BOC es 15; la longitud de AO es 10 y la longitud de OB es 5. ¿Cuál es el área del triángulo AOD?

    geometría grado 11 problema 6 .


Soluciones a los problemas anteriores

  1. Si dibujamos un radio en el círculo pequeño hasta el punto de tangencia, estará en ángulo recto con el acorde (vea la figura a continuación). Si x es la mitad de la longitud de AB, r es el radio del círculo pequeño y R es el radio del círculo grande, entonces, según el teorema de Pitágora, tenemos:

    r2 + x2 = R2

    62 + x2 = 102

    Solución para x: x = 8

    Longitud de AB = 2x = 16

    solución de geometría grado 11 al problema 1.


  2. Usa la ley del coseno en el triángulo ABE: 132 = 202 + 92 - 2(20)(9)cos(T)

    Usa la ley del coseno en el triángulo ACB: x2 = 202 + 92 - 2(20)(9)cos(90o - T)

    solución de geometría grado 11 al problema 2.


    Tenga en cuenta que cos (90 ° - T) = sin (T) y reescribe la segunda ecuación como

    Usa la ley del coseno en el triángulo ACB: x2 = 202 + 92 - 2(20)(9)sin(T)

    Resuelve la primera ecuación para cos (T).

    cos(T) = 13/15

    Usa la identidad trigonométrica para encontrar sin(T) = 2 √(14) / 15

    Sustituir sin(T) por 2 √(14)/15 en la tercera ecuación y resolver para x

    x = √(481 - 48√(14)) = 17,4 (aproximado a 3 dígitos significativos)
  3. Resolver: x - y = 1 para x para obtener x = 1 + y e sustituir en la ecuación del círculo para obtener:

    (1 + y)2 + 2·(1 + y) + y2 + 4y = -1

    Escribe la ecuación cuadrática anterior en forma estándar y resuélvela para obtener

    y = - 2 + √(2) and y = - 2 - √(2)

    Usa x = 1 + y para encontrar x

    Puntos de intersección: ( -1 + sqrt(2), - 2 + sqrt(2) ) and ( -1 - sqrt(2) , -2 - sqrt(2) )
  4. Primero graficamos las líneas y = x e y = -2x + 3 para ubicar los puntos de intersección de las líneas y el eje x e identificamos el triángulo en cuestión.

    solución de geometría grado 11 al problema 4.



    La altura es la coordenada y del punto de intersección de las líneas y = x e y = -2x + 3 que se encuentran resolviendo el sistema de ecuaciones.

    resolver: y = -2x + 3, y = x, solución: (1, 1) que también es el punto de intersección. La coordenada y = 1 y también es la altura.

    La longitud de la base es la intersección x de la recta y = -2x + 3 que es x = 3/2.

    Área del triángulo sombreado = (1/2)(1)(3/2) = 3/4
  5. La fórmula para el área que usa dos lados y el ángulo interno que hacen, se puede escribir de la siguiente manera

    18 = (1/2) * 5 * 10*sin(A)

    lo que da: sin(A) = 18/25

    Ahora usamos la fórmula del coseno para aletar la longitud x del ángulo opuesto A del tercer lado de la siguiente manera:

    x2 = 52 + 102 - 2*5*10*cos(A)

    con cos(A) = √(1 - sin(A)2)

    Sustituye en la expresión para x 2 y resuelve para x para obtener x = 7,46 (aproximado a 3 dígitos significativos)
  6. El área del triángulo BOC es 15 y está dada por (1/2) * BO * OC * sin(BOC)

    El área del triángulo AOD está dada por (1/2) * AO * OD * sin(AOD)

    Tenga en cuenta que el ángulo BOC y AOD son iguales.

    Por el teorema de los acordes que se cruzan tenemos: AO * OC = BO * OD

    Que puede escribirse como: AO / BO = OD / OC = 10 / 5 = 2

    Las proporciones AO / BO y OD / OC son iguales a 2, por lo tanto, su producto es igual a 4 de la siguiente manera

    (AO * OD) / (BO * OC) = 4

    Lo que da: AO * OD = 4 * (BO * OC)

    Por lo tanto, el área del triángulo AOD es 4 veces el área del triángulo BOC y es igual a 60.

    solución de geometría grado 11 al problema 6



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