Problemas de Geometría con Soluciones y Respuestas

Resuelve la ecuación lineal para \( x \): \( x = 1 + y \).

Sustituye en la ecuación del círculo:

\[ (1 + y)^2 + 2(1 + y) + y^2 + 4y = -1 \]

Desarrolla y simplifica a la forma cuadrática estándar:

\[ 2y^2 + 8y + 4 = 0 \]

Resolver para \( y \) da \( y = -2 \pm \sqrt{2} \). Usando \( x = 1 + y \), los puntos de intersección son:

\[ (-1 + \sqrt{2},\ -2 + \sqrt{2}) \quad \text{y} \quad (-1 - \sqrt{2},\ -2 - \sqrt{2}) \]

Resolver el sistema \( y = x \) e \( y = -2x + 3 \) da la intersección (vértice) en \( (1, 1) \). La altura es \( h = 1 \).

La base se encuentra sobre el eje x desde \( x = 0 \) hasta la intersección de \( y = -2x + 3 \), que es \( x = 1.5 \).

\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times 1.5 \times 1 = 0.75 \text{ o } \frac{3}{4} \]

Usando la fórmula del seno para el área:

\[ 18 = \frac{1}{2} \times 5 \times 10 \times \sin(A) \Rightarrow \sin(A) = \frac{18}{25} \]

Ahora aplica la ley del coseno para el lado \( x \):

\[ x^2 = 5^2 + 10^2 - 2(5)(10)\cos(A) \]

Como \( \cos(A) = \sqrt{1 - (18/25)^2} \approx 0.692 \):

\[ x = \sqrt{125 - 100(0.692)} \approx 7.46 \]

Por el teorema de las cuerdas que se cortan, \( AO \cdot OC = BO \cdot OD \). Esto da la proporción:

\[ \frac{AO}{BO} = \frac{OD}{OC} = \frac{10}{5} = 2 \]

Los triángulos comparten ángulos opuestos por el vértice. La proporción de sus áreas es el producto de las proporciones de sus lados:

\[ \text{Área}_{\triangle AOD} = \text{Área}_{\triangle BOC} \times 2 \times 2 = 15 \times 4 = 60 \]

Dibujar un radio hacia el punto de tangencia forma un triángulo rectángulo con la cuerda.

Usando el Teorema de Pitágoras para la media cuerda \( x \):

\[ 6^2 + x^2 = 10^2 \Rightarrow x = \sqrt{100 - 36} = 8 \]

Longitud total \( AB = 2x = 16 \).

Usa la ley del coseno en \(\triangle ABE\):

\[ 13^2 = 20^2 + 9^2 - 2(20)(9)\cos(T) \]

Usa la ley del coseno en \(\triangle ACB\):

\[ x^2 = 20^2 + 9^2 - 2(20)(9)\cos(90^\circ - T) \]

Nota que \( \cos(90^\circ - T) = \sin(T) \). Resolver la primera ecuación da \( \cos(T) = \frac{13}{15} \).

Usando la identidad \( \sin(T) = \sqrt{1 - (13/15)^2} = \frac{2\sqrt{14}}{15} \):

\[ AC = \sqrt{481 - 48\sqrt{14}} \approx 17.4 \]

a) Volumen total:

\[ V_{cil} = \pi(5)^2(12) = 300\pi \] \[ V_{hemi} = \frac{2}{3}\pi(5)^3 = \frac{250}{3}\pi \] \[ V_{total} = \frac{1150}{3}\pi \text{ cm}^3 \]

b) Masa:

\[ \text{Masa} = 7.8 \times \text{Volumen} \approx 9396.66 \text{ g} \]

a) Área total:

\[ A_{rect} = 12 \times 8 = 96, \quad A_{semi} = \frac{1}{2}\pi(4)^2 = 8\pi \] \[ A_{total} = 96 + 8\pi \approx 121.13 \text{ m}^2 \]

b) Perímetro: Excluimos el límite interno.

\[ P = 12 + 8 + 12 (\text{lados rectangulares}) + \pi(4) (\text{arco}) \approx 44.57 \text{ m} \]