Problemas de geometría con soluciones y respuestas

Grado 11 Se presentan problemas de geometría con soluciones detalladas.

Problemas

  1. Encuentra todos los puntos de intersección del círculo x2 + 2x + y2 + 4y = -1 y la recta x - y = 1
  2. Encuentra el área del triángulo encerrado por el eje x y las líneas y = x y y = -2x + 3.
  3. Encuentra la longitud del tercer lado de un triángulo si el área del triángulo es 18 y dos de sus lados tienen longitudes de 5 y 10.
  4. En la siguiente figura, los puntos A, B, C y D están en un círculo. El punto O es la intersección de las cuerdas AC y BD. El área del triángulo BOC es 15; la longitud de AO es 10 y la longitud de OB es 5. ¿Cuál es el área del triángulo AOD?
    Dos cuerdas se cruzan en un círculo.
  5. Los dos círculos de abajo son concéntricos (tienen el mismo centro). El radio del círculo grande es 10 y el del círculo pequeño es 6. ¿Cuál es la longitud de la cuerda AB?
    Dos círculos concéntricos.
  6. El punto A está dentro del cuadrado BCDE cuyo lado mide 20. La longitud de AB es 9 y la longitud de AE es 13. Halla x la longitud de AC.
    Square.



Soluciones a los problemas anteriores


  1. Resuelva x - y = 1 para x (x = 1 + y) y sustituya en la
    ecuación del círculo para obtener:
    (1 + y)2 + 2·(1 + y) + y2 + 4y = -1
    Expanda, agrupe términos similares y escriba la ecuación cuadrática anterior en forma estándar
    2 y 2 + 8 y + 4 = 0
    y resolverlo para obtener
    y = - 2 + √2 y y = - 2 - √2
    Usa x = 1 + y para encontrar la coordenada x
    Puntos de intersección: ( -1 + √2, - 2 + √2 ) y ( -1 - √2 , -2 - √2 )

  2. Primero graficamos las rectas y = x e y = -2x + 3 para ubicar los puntos de intersección de las rectas y el eje x e identificar el triángulo en cuestión.
    Dos líneas que se cruzan.


    La altura es la coordenada y del punto de intersección de las rectas y = x y y = -2x + 3 que se encuentra resolviendo el sistema de ecuaciones.
    resolver: y = -2x + 3, y = x, solución: (1, 1) que también el punto de intersección. La coordenada y = 1 y también es la altura del triángulo.
    La longitud de la base es igual a la intersección x de la línea y = -2x + 3 que es x = 3/2.
    Área del triángulo sombreado = (1/2)(1)(3/2) = 3/4

  3. La fórmula del seno para el área usando dos lados y el ángulo interno que forman, se puede escribir de la siguiente manera
    18 = (1/2) × 5 × 10 × pecado(A)
    lo que da: sen(A) = 18/25
    Ahora usamos la ley del coseno para calcular la longitud x del tercer lado opuesto al ángulo A de la siguiente manera:
    x2 = 52 + 102 - 2 × 5 × 10 × porque (A)
    con cos(A) = √(1 - sin(A)2)
    Sustituya en la expresión por x2 y resuelva x para obtener x = 7.46 (aproximado a 3 dígitos significativos)

  4. El área del triángulo BOC es 15 y viene dada por (1/2)BO × OC × pecado (BOC)
    El área del triángulo AOD está dada por (1/2)AO × OD × pecado (AOD)
    Tenga en cuenta que el ángulo BOC y AOD son iguales.
    Por el teorema de las cuerdas que se cortan tenemos: AO × OC = BO × sobredosis
    Que se puede escribir como: AO/BO = OD/OC = 10/5 = 2
    Las relaciones AO / BO y OD / OC son ambas iguales a 2, por lo tanto, su producto es igual a 4 de la siguiente manera
    (AO × OD) / (BO × OC) = 4
    Lo que da: AO × OD = 4 × (BO & × OC)
    Por tanto, el área del triángulo AOD es 4 veces el área del triángulo BOC y es igual a 60.
    Dos cuerdas se cruzan en un círculo

  5. Si dibujamos un radio en el círculo pequeño hasta el punto de tangencia, estará en ángulo recto con la cuerda (ver la figura a continuación). Si x es la mitad de la longitud de AB, r es el radio del círculo pequeño y R el radio del círculo grande, entonces por Teorema de Pitágoras tenemos:
    r2 + x2 = R2
    62 + x2 = 102
    Resolver para x: x = 8
    Longitud de AB = 2x = 16 Dos círculos concéntricos y una tangente a Uno de ellos.

  6. Usa la ley del coseno en el triángulo ABE:
    132 = 202 + 92 - 2(20)(9)cos(T)     (I)
    Usa la ley del coseno en el triángulo ACB:
    x2 = 202 + 92 - 2(20)(9)cos(90° - T)
    Square.
    Note que cos(90° - T) = sin(T) y reescriba la segunda ecuación como
    Usa la ley del coseno en el triángulo ACB:
    x2 = 202 + 92 - 2 (20) (9) cos(90 - T)
    Sustituye cos(90° - T) = sin(T) para obtener
    x2 = 202 + 92 - 2 (20) (9) sin(T)     (III)
    Resuelve la ecuación (I) para cos(T).
    cos(T) = 13/15
    Usa la identidad trigonométrica sen(T) = √ (1 - cos2 T) para encontrar
    sen(T) = 2 √(14) / 15
    Sustituya sin(T) por 2 √(14) / 15 en la ecuación (III) y resuelva para x
    x = √( 481 - 48 √( 14 ) ) = 17.4 (aproximado a 3 dígitos significativos)


Más referencias y enlaces

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