Encuentra todos los puntos de intersección del círculo x2 + 2x + y2 + 4y = -1 y la recta x - y = 1
Encuentra el área del triángulo encerrado por el eje x y las líneas y = x y y = -2x + 3.
Encuentra la longitud del tercer lado de un triángulo si el área del triángulo es 18 y dos de sus lados tienen longitudes de 5 y 10.
En la siguiente figura, los puntos A, B, C y D están en un círculo. El punto O es la intersección de las cuerdas AC y BD. El área del triángulo BOC es 15; la longitud de AO es 10 y la longitud de OB es 5. ¿Cuál es el área del triángulo AOD?
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Los dos círculos de abajo son concéntricos (tienen el mismo centro). El radio del círculo grande es 10 y el del círculo pequeño es 6. ¿Cuál es la longitud de la cuerda AB?
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El punto A está dentro del cuadrado BCDE cuyo lado mide 20. La longitud de AB es 9 y la longitud de AE es 13. Halla x la longitud de AC.
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Resuelva x - y = 1 para x (x = 1 + y) y sustituya en la ecuación del círculo para obtener:
(1 + y)2 + 2·(1 + y) + y2 + 4y = -1
Expanda, agrupe términos similares y escriba la ecuación cuadrática anterior en forma estándar
2 y 2 + 8 y + 4 = 0
y resolverlo para obtener
y = - 2 + √2 y y = - 2 - √2
Usa x = 1 + y para encontrar la coordenada x
Puntos de intersección: ( -1 + √2, - 2 + √2 ) y ( -1 - √2 , -2 - √2 )
Primero graficamos las rectas y = x e y = -2x + 3 para ubicar los puntos de intersección de las rectas y el eje x e identificar el triángulo en cuestión.
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La altura es la coordenada y del punto de intersección de las rectas y = x y y = -2x + 3 que se encuentra resolviendo el sistema de ecuaciones.
resolver: y = -2x + 3, y = x, solución: (1, 1) que también el punto de intersección. La coordenada y = 1 y también es la altura del triángulo.
La longitud de la base es igual a la intersección x de la línea y = -2x + 3 que es x = 3/2.
Área del triángulo sombreado = (1/2)(1)(3/2) = 3/4
La fórmula del seno para el área usando dos lados y el ángulo interno que forman, se puede escribir de la siguiente manera
18 = (1/2) × 5 × 10 × pecado(A)
lo que da: sen(A) = 18/25
Ahora usamos la ley del coseno para calcular la longitud x del tercer lado opuesto al ángulo A de la siguiente manera:
x2 = 52 + 102 - 2 × 5 × 10 × porque (A)
con cos(A) = √(1 - sin(A)2)
Sustituya en la expresión por x2 y resuelva x para obtener x = 7.46 (aproximado a 3 dígitos significativos)
El área del triángulo BOC es 15 y viene dada por (1/2)BO × OC × pecado (BOC)
El área del triángulo AOD está dada por (1/2)AO × OD × pecado (AOD)
Tenga en cuenta que el ángulo BOC y AOD son iguales.
Por el teorema de las cuerdas que se cortan tenemos: AO × OC = BO × sobredosis
Que se puede escribir como: AO/BO = OD/OC = 10/5 = 2
Las relaciones AO / BO y OD / OC son ambas iguales a 2, por lo tanto, su producto es igual a 4 de la siguiente manera
(AO × OD) / (BO × OC) = 4
Lo que da: AO × OD = 4 × (BO & × OC)
Por tanto, el área del triángulo AOD es 4 veces el área del triángulo BOC y es igual a 60.
Si dibujamos un radio en el círculo pequeño hasta el punto de tangencia, estará en ángulo recto con la cuerda (ver la figura a continuación). Si x es la mitad de la longitud de AB, r es el radio del círculo pequeño y R el radio del círculo grande, entonces por Teorema de Pitágoras tenemos:
r2 + x2 = R2
62 + x2 = 102
Resolver para x: x = 8
Longitud de AB = 2x = 16
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Usa la ley del coseno en el triángulo ABE:
132 = 202 + 92 - 2(20)(9)cos(T) (I)
Usa la ley del coseno en el triángulo ACB:
x2 = 202 + 92 - 2(20)(9)cos(90° - T)
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Note que cos(90° - T) = sin(T) y reescriba la segunda ecuación como
Usa la ley del coseno en el triángulo ACB:
x2 = 202 + 92 - 2 (20) (9) cos(90 - T)
Sustituye cos(90° - T) = sin(T) para obtener
x2 = 202 + 92 - 2 (20) (9) sin(T) (III)
Resuelve la ecuación (I) para cos(T).
cos(T) = 13/15
Usa la identidad trigonométrica sen(T) = √ (1 - cos2 T) para encontrar
sen(T) = 2 √(14) / 15
Sustituya sin(T) por 2 √(14) / 15 en la ecuación (III) y resuelva para x
x = √( 481 - 48 √( 14 ) ) = 17.4 (aproximado a 3 dígitos significativos)