Preguntas de examen de práctica de matemáticas de grado 11
Este examen de práctica está diseñado para cubrir los temas fundamentales del plan de estudios de matemáticas de grado 11. A continuación, se presentan 24 preguntas que incluyen álgebra, funciones, trigonometría y matemáticas financieras. Utilice estos problemas para evaluar su comprensión; se incluyen soluciones detalladas paso a paso y explicaciones en video para cada pregunta.
Pregunta 1: Simplificación de radicales
Simplifique las siguientes expresiones:
a) \[ \sqrt{125} + 3\sqrt{2} - \frac{16}{\sqrt{32}} - \sqrt{20} \]
b) \[ 5\sqrt{12} \left( -6\sqrt{3} - 2\sqrt{27} \right) \]
Ver solución
a) Simplifique cada término individualmente:
$\sqrt{125} = 5\sqrt{5}$
$\frac{16}{\sqrt{32}} = \frac{16}{4\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$
$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
Combine: $(5\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) + (3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) = \mathbf{3\sqrt{5} + \sqrt{2}}$.
b) $5\sqrt{12} = 10\sqrt{3}$ y $2\sqrt{27} = 6\sqrt{3}$.
$10\sqrt{3}(-6\sqrt{3} - 6\sqrt{3}) = 10\sqrt{3}(-12\sqrt{3}) = -120(3) = \mathbf{-360}$.
Ver solución en video
Pregunta 2: Racionalización con conjugados
Simplifique la expresión: \[ \frac{1 + \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} + 4\sqrt{20} \]
Ver solución
Racionalice el denominador multiplicando por el conjugado $(2 + \sqrt{5})$:
\[ \frac{(1+\sqrt{5})(2+\sqrt{5})}{4-5} = \frac{2 + \sqrt{5} + 2\sqrt{5} + 5}{-1} = \frac{7+3\sqrt{5}}{-1} = -7-3\sqrt{5} \]
Simplifique $4\sqrt{20} = 8\sqrt{5}$.
Resultado final: $-7 - 3\sqrt{5} + 8\sqrt{5} = \mathbf{-7 + 5\sqrt{5}}$.
Ver solución en video
Pregunta 3: Expansión polinómica
Expanda y simplifique: \[ (x - 3)(x^2 - 2x + 2) - (x + 3)^2 \]
Ver solución
Distribuya la primera parte: $x^3 - 2x^2 + 2x - 3x^2 + 6x - 6 = x^3 - 5x^2 + 8x - 6$.
Expanda la segunda parte: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$.
Reste: $(x^3 - 5x^2 + 8x - 6) - (x^2 + 6x + 9) = \mathbf{x^3 - 6x^2 + 2x - 15}$.
Ver solución en video
Pregunta 4: Variables bajo raíces cuadradas
Encuentre $x$ si $b$ y $x$ son números reales positivos tales que: \[ \sqrt{9b^2} = 6b\sqrt{x} \]
Ver solución
Dado que $b > 0$, $\sqrt{9b^2} = 3b$.
Ecuación: $3b = 6b\sqrt{x}$.
Divida por $6b$: $\frac{3b}{6b} = \sqrt{x} \implies \frac{1}{2} = \sqrt{x}$.
Eleve al cuadrado ambos lados: $\mathbf{x = 1/4}$.
Ver solución en video
Pregunta 5: Expresiones racionales
Simplifique y exprese como una sola expresión racional:
a) \( \displaystyle \dfrac{2x}{x-1}\:-\:\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{6}{2x^2+2x-4} \)
b) \( \displaystyle \dfrac{2x^2+2x-4}{x^2+8x+15} \div \dfrac{2x^2+6x+4}{x^2+10x+21} \)
Ver solución
a) El denominador común es $2(x-1)(x+2)$.
Numerador: $2x(2)(x+2) - 1(2)(x-1) - 6 = 4x^2 + 8x - 2x + 2 - 6 = 4x^2 + 6x - 4 = 2(2x-1)(x+2)$.
Simplifique: $\mathbf{\frac{2x-1}{x-1}}$.
b) Factorice todos los términos y multiplique por el recíproco:
\[ \frac{2(x+2)(x-1)}{(x+3)(x+5)} \cdot \frac{(x+7)(x+3)}{2(x+1)(x+2)} = \mathbf{\frac{(x-1)(x+7)}{(x+5)(x+1)}} \]
Ver video 5a |
Ver video 5b
Pregunta 6: Exponentes racionales
Simplifique el resultado solo con exponentes positivos:
\[ \dfrac{(3 \: x^2 y^2)^2}{(- 2 \: x y^2)^4} \:\div \:\dfrac{(3 \: x y)^3}{(6 \: x^{-1} y^2)^2} \]
Ver solución
Simplifique la primera parte: $\frac{9x^4y^4}{16x^4y^8} = \frac{9}{16y^4}$.
Simplifique la segunda parte: $\frac{27x^3y^3}{36x^{-2}y^4} = \frac{3x^5}{4y}$.
Divida: $\frac{9}{16y^4} \cdot \frac{4y}{3x^5} = \mathbf{\frac{3}{4x^5y^3}}$.
Ver solución en video
Pregunta 7: Desigualdades cuadráticas
Resuelva la desigualdad cuadrática: \[ -x^2-2x \gt - 2 \]
Ver solución
Reescriba como $x^2 + 2x - 2 < 0$.
Resuelva la igualdad $x^2 + 2x - 2 = 0$ usando la fórmula cuadrática para encontrar los puntos críticos: $x = -1 \pm \sqrt{3}$.
Dado que la parábola abre hacia arriba ($a > 0$), la expresión es negativa entre las raíces: $\mathbf{(-1-\sqrt{3}, -1+\sqrt{3})}$.
Ver solución en video
Pregunta 8: Análisis de función cuadrática
Sea $f(x) = - x^2 + 2 x + 2$. Encuentre el vértice, las intersecciones, el dominio y el rango.
Ver solución
a) Vértice: $x = -b/2a = -2/-2 = 1$. $f(1) = 3$. El vértice es $\mathbf{(1, 3)}$.
b) Intersecciones: Intersección en y en $f(0) = 2$. Intersecciones en x en $\mathbf{1 \pm \sqrt{3}}$.
c) Simetría: $x = 1$.
d) Dominio: Todos los números reales. Rango: $(-\infty, 3]$.
Pregunta 9: Parábolas a partir de gráficas
Encuentre la ecuación de la función cuadrática $f$ con vértice $(2, 2)$ e intersección en y $(0, -2)$ en la forma $f(x) = a x^2 + b x + c$. Encuentre las intersecciones en x exactas.
Ver solución
Use la forma vértice: $y = a(x-2)^2 + 2$.
Sustituya la intersección en y $(0, -2)$: $-2 = a(0-2)^2 + 2 \implies -4 = 4a \implies a = -1$.
Expanda: $f(x) = -(x^2 - 4x + 4) + 2 = \mathbf{-x^2 + 4x - 2}$.
Intersecciones en x exactas ($y=0$): $\mathbf{x = 2 \pm \sqrt{2}}$.
Pregunta 10: Funciones exponenciales
Encuentre la función exponencial $g(x) = a^{x-b}$ que pasa por $(1, 1)$ y $(2, 3)$.
Ver solución
Usando $(1, 1)$: $1 = a^{1-b}$. Para cualquier $a > 0$, esto implica $1-b = 0$, por lo que $\mathbf{b = 1}$.
Usando $(2, 3)$: $3 = a^{2-1} \implies a^1 = 3$, por lo que $\mathbf{a = 3}$.
Ecuación: $\mathbf{g(x) = 3^{x-1}}$.
Pregunta 11: Ecuaciones con términos racionales
Resuelva: \[ \displaystyle \dfrac{2x+1}{x-2}\:=-1\:-\:\dfrac{1}{x+1} \]
Ver solución
Multiplique por el MCM $(x-2)(x+1)$:
$(2x+1)(x+1) = -1(x-2)(x+1) - 1(x-2)$
$2x^2 + 3x + 1 = -(x^2 - x - 2) - x + 2$
$2x^2 + 3x + 1 = -x^2 + 4 \implies 3x^2 + 3x - 3 = 0$.
Divida por 3: $x^2 + x - 1 = 0$. Solución: $\mathbf{x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}}$.
Pregunta 12: Valores exactos trigonométricos
Encuentre valores exactos usando ángulos especiales: a) $\cos(75^{\circ})$ | b) $\sec(15^{\circ})$
Ver solución
a) $\cos(45+30) = \cos(45)\cos(30) - \sin(45)\sin(30) = \mathbf{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$.
b) $\sec(15) = 1/\cos(45-30) = 1/(\cos45\cos30 + \sin45\sin30) = \mathbf{\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}$.
Pregunta 13: Ángulos relacionados
Encuentre valores exactos: a) $\tan(-330^{\circ})$ | b) $\csc(480^{\circ})$
Ver solución
a) $\tan(-330^{\circ}) = \tan(30^{\circ}) = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{3}}$.
b) $\csc(480^{\circ}) = \csc(120^{\circ}) = 1/\sin(60^{\circ}) = \mathbf{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$.
Pregunta 14: Identidades trigonométricas
Demuestre la identidad: $\tan x \cot x + \sec x \sin x = 1+\tan x$
Ver solución
Lado izquierdo (LHS): $\tan x \cdot \frac{1}{\tan x} + \frac{1}{\cos x} \cdot \sin x$
$= 1 + \frac{\sin x}{\cos x}$
$= 1 + \tan x$. Lado derecho (RHS) logrado.
Pregunta 15: Resolución de ecuaciones trigonométricas
Encuentre $\theta \in [0, 360^{\circ})$: a) $\tan(\theta) = 0.2$ | b) $\cos(\theta + 30^{\circ}) = 0.5$
Ver solución
a) $\theta = \arctan(0.2) \approx 11.3^{\circ}$. También una solución en el tercer cuadrante: $11.3 + 180 = \mathbf{191.3^{\circ}}$.
b) $\theta + 30 = 60^{\circ}$ o $300^{\circ} \implies \theta = \mathbf{30^{\circ}, 270^{\circ}}$.
Pregunta 16: Funciones sinusoidales aplicadas
Profundidad del agua $d(t) = 7.2 \cos(30^{\circ}(t - 6.5)) + 5.8$. Encuentre las profundidades máxima/mínima y los tiempos.
Ver solución
a) Profundidad máxima: $7.2 + 5.8 = \mathbf{13.0 \text{ m}}$. Ocurre cuando $\cos = 1$: $t - 6.5 = 0 \implies \mathbf{t=6.5}$.
b) Profundidad mínima: $-7.2 + 5.8 = \mathbf{-1.4 \text{ m}}$. Ocurre cuando $\cos = -1$: $30(t-6.5) = 180 \implies t = 12.5 $.
Pregunta 17: Graficación exponencial
Dibuje la gráfica de $y = - 2^{x-2} - 3$
Ver solución
Función base $2^x$. Refleje a través del eje x ($-2^x$), desplace a la derecha 2, desplace hacia abajo 3. Asíntota en $y = -3$.
Pregunta 18: Graficación periódica
Dibuje la gráfica de $y = -3 \cos (x - 30^{\circ}) + 3$
Ver solución
Amplitud: 3. Línea media: $y=3$. Reflexión a través de la línea media. Desplazamiento de fase: $30^{\circ}$ a la derecha.
Pregunta 19: Leyes exponenciales
Simplifique: \( \left( 2^{\frac{1}{5}} x^{\frac{1}{2}} \right) \left( 16^{\frac{1}{5}} x^{\frac{1}{2}} \right) \)
Ver solución
Multiplique coeficientes: $2^{1/5} \cdot (16)^{1/5} = 2^{1/5} \cdot (2^4)^{1/5} = 2^{1/5} \cdot 2^{4/5} = 2^1 = 2$.
Multiplique variables: $x^{1/2} \cdot x^{1/2} = x^1 = x$.
Resultado final: $\mathbf{2x}$.
Pregunta 20: Ecuaciones exponenciales
Resuelva: \[ \displaystyle \dfrac{1}{8 ^x \; 4^x}\:= 2^{-7x+\dfrac{1}{2}} \]
Ver solución
Exprese $8 ^x \; 4^x$ con base 2: $8 ^x \; 4^x = 2^{3x} \cdot 2^{2x} = 2^{5x} \implies \dfrac{1}{8 ^x \; 4^x} = 2^{-5x} $.
Iguale exponentes: $-5x = -7x + 0.5 \implies 2x = 0.5 \implies \mathbf{x = 0.25}$.
Pregunta 21: El discriminante
Encuentre $m$ para que $2x^2 - x + m = 1$ tenga dos soluciones reales.
Ver solución
Forma estándar: $2x^2 - x + (m-1) = 0$.
Dos soluciones reales requieren $D = b^2 - 4ac > 0$.
$(-1)^2 - 4(2)(m-1) > 0 \implies 1 - 8m + 8 > 0 \implies 9 > 8m \implies \mathbf{m < 9/8}$.
Pregunta 22: Intersecciones de círculo y línea
Encuentre los puntos de intersección para $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 5$ y $4x - 2y = 4$.
Ver solución
Resuelva la línea para $y$: $2y = 4x - 4 \implies y = 2x - 2$.
Sustituya: $(x-2)^2 + (2x-2+1)^2 = 5 \implies (x-2)^2 + (2x-1)^2 = 5$.
Expanda: $5x^2 - 8x + 5 = 5 \implies 5x^2 - 8x = 0$.
$x(5x-8)=0 \implies x=0, x=1.6$. Puntos: $\mathbf{(0, -2)}$ y $\mathbf{(1.6, 1.2)}$.
Pregunta 23: Sucesiones geométricas
$a_3 = -18$ y $a_4 = 54$. Encuentre el séptimo término y la suma de los primeros diez términos.
Ver solución
Razón $r = 54/-18 = -3$. Primer término $a = -18/(-3)^2 = -2$.
$a_7 = -2(-3)^6 = \mathbf{-1458}$.
$S_{10} = \frac{-2(1 - (-3)^{10})}{1 - (-3)} = \frac{-2(-59048)}{4} = \mathbf{29524}$.
Pregunta 24: Interés compuesto
¿Qué cantidad debe invertirse para tener $20,000 en 10 años al 6% compuesto semestralmente?
Ver solución
Use la fórmula $PV = A(1 + r/n)^{-nt}$.
$PV = 20000(1 + 0.03)^{-20} = \mathbf{\$11,073.52}$.