Use la agrupación para factorizar los siguientes polinomios completamente.
a) 2 x 2 - 4 x + x y - 2 y
b) x 2 + 3 x - 2 x - 6
c) 15 x 2 - 3 x + 10 x - 2
d) 4 x 2 + x - 3
e) x 2 y + 3 x + x 2 y 2 + 3 x y
f) 3 x 2 + 3 x y - x + 2 y - 2
Pregunta a): factor 2 x 2 - 4 x + x y - 2 y
Solución
a) Primero encontramos un factor común en 2 x 2 - 4 y factorizarlo de la siguiente manera:
2 x 2 - 4 x = 2 x (x - 2)
A continuación, encontramos un factor común en el x y - 2 y y factorizarlo de la siguiente manera:
x y - 2 y = y (x - 2)
Usa el factor común (x - 2) y factorizar el polinomio dado de la siguiente manera:
2 x 2 - 4 x + x y - 2 y = ( 2 x 2 - 4 x ) + (x y - 2 y)
= 2 x (x - 2) + y (x - 2)
= (x - 2)(2x + y)
Pregunta b): factor x 2 + 3 x - 2 x - 6
Solución
b) Encuentre un factor común en x 2 + 3 x e factorícelo de la siguiente manera:
x 2 + 3 x = x (x + 3)
A continuación, encontramos un factor común en el - 2 x - 6 y factorizarlo de la siguiente manera:
- 2 x - 6 = - 2 (x + 3)
Usa el factor común (x + 3) factorizar el polinomio dado de la siguiente manera:
x 2 + 3 x - 2 x - 6 = ( x 2 + 3 x ) + (- 2 x - 6)
= x (x + 3) - 2 (x + 3) = (x + 3)(x - 2)
Interpretación gráfica de factorización para un polinomio en una variable
El gráfico del polinomio dado en b) anterior y = x 2 + 3 x - 2 x - 6 se muestra a continuación. x = - 3 hace el factor(x + 3) igual a cero e x = 2 hace el factor x - 2 igual a cero. Ambos x = -3 e x = 2 aparece como intersecciones de x en la gráfica del polinomio dado.
.
Conlusion: Una forma de comprobar nuestro factoring es graficar el polinomio dado y verificar que las interceptaciones x correspondan a los ceros de los factores incluidos en la factorización.
Pregunta c): factor 15 x 2 - 3 x + 10 x - 2
Solución
c) Encuentre un factor común en 15 x 2 - 3 x y factorizarlo de la siguiente manera:
15 x 2 - 3 x = 3 x (5 x - 1)
A continuación, encontramos un factor común en el 10 x - 2 y factorizarlo de la siguiente manera:
10 x - 2 = 2 (5 x - 1)
Usa el factor común (5 x - 1) factorizar el polinomio dado de la siguiente manera:
15 x 2 - 3 x + 10 x - 2 = ( 15 x 2 - 3 x ) + (10 x - 2)
= 3 x (5 x - 1) + 2 (5 x - 1) = (5 x - 1)(3 x + 2)
Pregunta d): factor 4 x 2 + x - 3
Solución
d) El polinomio dado tiene tres términos sin un factor común. Una forma de factorizar es reescribirlo reemplazando x por 4 x - 3 x como sigue:
4 x 2 + x - 3 = 4 x 2 + 4 x - 3 x - 3
Ahora podemos factor 4 x 2 + 4 x como sigue:
4 x 2 + 4 x = 4 x (x + 1)
Seguidamente factorizamos - 3 x - 3 de la siguiente manera:
- 3 x - 3 = - 3 (x + 1)
Usa el factor común (x + 1)factorizar el polinomio dado de la siguiente manera:
4 x 2 + x - 3 = 4 x 2 + 4 x - 3 x - 3 = (4 x 2 + 4 x) + (- 3 x - 3)
= 4 x (x + 1) - 3 (x + 1) = (x + 1)(4 x - 3)
Pregunta e): factor x 2 y + 3 x + x 2 y 2 + 3 x y
Solución
e) Tenga en cuenta que x es un factor común a todos los términos en el polinomio dado. Por lo tanto, comenzamos por factorizar de la siguiente manera:
x 2 y + 3 x + x 2 y 2 + 3 x y = x( x y + 3 + x y 2 + 3 y)
Reescribe agrupando los términos de la siguiente manera
x 2 y + 3 x + x 2 y 2 + 3 x y = x( (x y + x y 2) + (3 + 3 y) )
Los términos en (x y + x y 2) tiene el factor x y y los términos en (3 + 3 y) tiene el factor común 3. Por lo tanto, factorizamos de la siguiente manera
x 2 y + 3 x + x 2 y 2 + 3 x y = x( (x y + x y 2) + (3 + 3 y) )
= x( x y (1 + y) + 3 (1 + y) ) = x (1 + y)( x y + 3)
Pregunta f): factor 3 x 2 + 3 x y - x + 2 y - 2
Solución
f) Tenga en cuenta que hay 5 términos en el polinomio dado con un factor común a todos ellos. Reescribe el polinomio reemplazando (- x) por (- 3 x + 2 x) de la siguiente manera.
3 x 2 + 3 x y - x + 2 y - 2 = 3 x 2 + 3 x y - 3 x + 2 x + 2 y - 2
Ahora vamos a factorizar el polinomio equivalente 3 x 2 + 3 x y - 3 x + 2 x + 2 y - 2. Ahora podemos agrupar los primeros 3 términos y factor de la siguiente manera:
3 x 2 + 3 x y - 3 x = 3 x (x + y - 1)
Ahora agrupamos los últimos tres términos y factor de la siguiente manera
2 x + 2 y - 2 = 2 (x + y - 1 )
Los dos grupos tienen el factor común (x + y - 1 ) y el polinomio dado se factoriza de la siguiente manera:
3 x 2 + 3 x y - x + 2 y - 2 = 3 x 2 + 3 x y - 3 x + 2 x + 2 y - 2
= (3 x 2 + 3 x y - 3 x) + (2 x + 2 y - 2)
= 3x ( x + y - 1) + 2(x + y - 1) = (x + y - 1)(3x + 2)
.
