Mínimo Común Múltiplo (MCM) de expresiones algebraicas

El mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más expresiones algebraicas es la expresión más simple que es divisible por cada una de las expresiones individuales. Encontrar el MCM es un paso esencial para simplificar expresiones racionales y resolver ecuaciones algebraicas.

El método paso a paso

  1. Factorizar: Factorice cada expresión algebraica completamente.
  2. Identificar factores: Liste cada factor único presente en todas las expresiones.
  3. Mayor potencia: Para los factores comunes a múltiples expresiones, seleccione el que tenga el mayor exponente.
  4. Multiplicar: El producto de estos factores seleccionados es el MCM.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Diferencia de cuadrados

Encuentre el MCM de: \(x^2 - 1\) y \(x - 1\).

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1. Factorice cada expresión:

\[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \] \[ x - 1 = (x - 1) \]

2. Identifique factores únicos: \((x - 1)\) y \((x + 1)\).

3. Use las mayores potencias: Tanto \((x-1)\) como \((x+1)\) aparecen con potencia 1.

MCM: \( \mathbf{(x - 1)(x + 1)} \)

Ejemplo 2: Monomios y binomios

Encuentre el MCM de: \(2x^2\), \(x^2 + x\) y \(x^3 + 2x\).

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1. Factorice completamente:

\[ 2x^2 = 2 \cdot x^2 \] \[ x^2 + x = x(x + 1) \] \[ x^3 + 2x = x(x^2 + 2) \]

2. Seleccione los factores con las mayores potencias:

  • Coeficiente numérico: \(2\)
  • Variable \(x\): \(x^2\) es la mayor potencia.
  • Binomios: \((x + 1)\) y \((x^2 + 2)\).

MCM: \( \mathbf{2x^2 (x + 1) (x^2 + 2)} \)

Ejemplo 3: Trinomios

Encuentre el MCM de: \(x^2 + 3x - 4\), \((x - 1)^2\) y \(x^2 + 9x + 20\).

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1. Factorice cada trinomio:

\[ x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4) \] \[ (x - 1)^2 = (x - 1)^2 \] \[ x^2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5) \]

2. Aplique la regla de la mayor potencia:

  • Factor \((x - 1)\): use \((x - 1)^2\).
  • Factor \((x + 4)\): úselo una vez.
  • Factor \((x + 5)\): úselo una vez.

MCM: \( \mathbf{(x - 1)^2 (x + 4)(x + 5)} \)

Preguntas de práctica

1. Encuentre el MCM de: \( 2 (x + 1) \) y \( 3 (x + 1) \)

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Los coeficientes 2 y 3 tienen un MCM de 6. El factor común es \((x+1)\).
Resultado: \( \mathbf{6(x + 1)} \)

2. Encuentre el MCM de: \( 2 (x - 1)^2 \) y \( 5 (x - 1) \)

Ver solución

Los coeficientes 2 y 5 tienen un MCM de 10. La mayor potencia de \((x-1)\) es \((x-1)^2\).
Resultado: \( \mathbf{10(x - 1)^2} \)

3. Encuentre el MCM de: \( x^2 + 5x + 6 \) y \( 2x^2 + 2x - 4 \)

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\[ x^2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) \] \[ 2x^2 + 2x - 4 = 2(x^2 + x - 2) = 2(x + 2)(x - 1) \]

MCM: \( \mathbf{2(x + 3)(x + 2)(x - 1)} \)

4. Encuentre el MCM de: \( 3x^3 - 2x^2 - x \) y \( x - 1 \)

Ver solución
\[ 3x^3 - 2x^2 - x = x(3x^2 - 2x - 1) = x(3x + 1)(x - 1) \]

La otra expresión es simplemente \((x-1)\).
MCM: \( \mathbf{x(3x + 1)(x - 1)} \)

5. Encuentre el MCM de: \( 3x^3 - 2x^2 - x \), \( 2x^2 - 2 \) y \( (x - 1)^2 \)

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\[ 3x^3 - 2x^2 - x = x(3x + 1)(x - 1) \] \[ 2x^2 - 2 = 2(x^2 - 1) = 2(x - 1)(x + 1) \] \[ (x - 1)^2 = (x - 1)^2 \]

Seleccionando las mayores potencias: \(2, x, (3x+1), (x+1), (x-1)^2\).
MCM: \( \mathbf{2x(3x + 1)(x + 1)(x - 1)^2} \)

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