Identidades trigonométricas y el círculo de unidades
preguntas con soluciones detalladas

¿Cómo usar el círculo unitario para encontrar propiedades e identidades de las funciones seno y coseno? Las preguntas de trigonometría de grado 11 se presentan junto con las soluciones y explicaciones detalladas .

Un círculo tiene un número infinito de simetrías con respecto a las líneas a través del centro y una simetría con respecto a su centro. Aquí nos interesan las simetrías con respecto a su centro, el eje x, el eje y y la línea y = x. Se mostrará cómo el uso de estas simetrías nos permite escribir varias identidades en trigonometría.

Identidades debido a la simetría del círculo de unidades en los ejes de origen, x e y ejes

Cuatro ángulos (θ, π - θ, π + θ and 2π - θ) se muestran a continuación en un círculo unitario. A cada ángulo corresponde un punto ( A, B, C o D ) en el círculo unitario.

simetría en círculo unitario .


Los cuatro ángulos tienen el mismo ángulo de referencia igual a & theta ;. Debido a la simetría del círculo, los cuatro puntos forman un rectángulo ABCD como se muestra arriba. Los puntos A y B son reflejo el uno del otro del eje y. Los puntos A y C son reflejo el uno del otro sobre el origen del sistema de eje. Los puntos A y D son reflejo el uno del otro en el eje x. Dadas las coordenadas
a y b del punto A y utilizando las simetrías del círculo, las coordenadas de A, B, C y D están dadas por:

A: (a , b) , B: (- a , b), C: (- a , - b) and D: (a , - b)

Ahora expresamos las coordenadas de cada punto en términos del seno y el coseno del ángulo correspondiente de la siguiente manera.

A: (a , b) = (cos θ , sin θ)

B: (- a , b) = (cos(π - θ) , sin(π - θ))

C: (- a , - b) = (cos(π + θ) , sin(π + θ))

D: (a , - b) = (cos(2π - θ) , sin(2π - θ))

Ejemplos de identidades

Comparando las coordenadas x e y de los puntos A y B, podemos escribir

cos(π - θ) = - cos θ

sin(π - θ) = sin θ

Comparando las coordenadas x e y de los puntos A y C, podemos escribir

cos(π + θ) = - cos θ

sin(π + θ) = - sin θ

Comparando las coordenadas x e y de los puntos A y D, podemos escribir

cos(2π - θ) = cos θ

sin(2π - θ) = - sin θ


Más identidades debido a la simetría de la unidad Círculo en el eje x (ángulos negativos)

Dos ángulos θ, e - θ se muestran a continuación en un círculo unitario al que corresponden los puntos A y D en el círculo unitario.

simetría en círculo unitario y ángulos negativos .


Los puntos A y D son reflejo el uno del otro en el eje x. Dadas las coordenadas
a y b del punto A, las coordenadas de D están dadas por:

D: (a , - b)

Ahora expresamos las coordenadas de los puntos A y D en términos del seno y el coseno del ángulo correspondiente de la siguiente manera.

A: (a , b) = (cos θ , sin θ)

D: (a , - b) = (cos(- θ) , sin(- θ))

Ejemplos de identidades que pueden ser deducidas

cos(- θ) = cos θ

sin( - θ) = - sin θ


Identidades debido a la simetría de la unidad Círculo en la línea y = x

Los puntos A y B que se muestran en el círculo unitario a continuación son reflejo uno del otro en la línea y = x. Debido a la simetría del círculo unitario con respecto a la línea y = x, los ángulos correspondientes a estos puntos son θ e π/2 - θ como se muestra a continuación.

simetría en círculo unitario con respecto a la línea y = x .


Los puntos A y B son reflejo el uno del otro en la línea y = x. Dadas las coordenadas
a y b del punto A, las coordenadas de B están dadas por:

B: (b , a)

Ahora expresamos las coordenadas de los puntos A y B en términos del seno y el coseno del ángulo correspondiente de la siguiente manera.

A: (a , b) = (cos θ , sin θ)

B: (b , a) = (cos(π/2 - θ) , sin(π/2 - θ))

Ejemplos de identidades que pueden ser deducidas

cos(π/2 - θ) = sin θ

sin(π/2 - θ) = cos θ


Usa las siguientes identidades generales

1) cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B

2) cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B

3) sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B

4) sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B

para verificar las identidades que se encuentran arriba y se enumeran a continuación.

  1. cos(π - θ) = - cos θ
  2. sin(π - θ) = sin θ
  3. cos(π + θ) = - cos θ
  4. sin(π + θ) = - sin θ
  5. cos(2π - θ) = cos θ
  6. sin(2π - θ) = - sin θ
  7. cos(- θ) = cos θ
  8. sin( - θ) = - sin θ
  9. cos(π/2 - θ) = sin θ
  10. sin(π/2 - θ) = cos θ
Soluciones y explicaciones detalladas para estas preguntas.

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Actualizado: 22 Abril 2018 (A Dendane)

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