1) Una de las propiedades más importantes de las funciones logarítmicas y exponenciales es que son inversas entre sí y, por lo tanto, podemos convertir expresiones exponenciales y logarítmicas usando lo siguiente:
donde el símbolo \( \iff \) significa "es equivalente a", \( y \) es el exponente, \( b \) es la base tal que \( b \gt 0 , b \ne 1 \) y \( x \gt 0 \)
Ejemplo numérico
\[ 2 = \log_3 (9) \iff 9 = 3^2 \]
2) Propiedades uno a uno de las funciones logarítmicas y exponenciales
a) Si \( \quad b^x = b^y \quad \), entonces \( \quad x = y \)
b) Si \( \quad \log_b (x) = \log_b (y) \quad \), entonces \( \quad x = y \) , (NOTA: los logaritmos en ambos lados tienen la misma base)
Preguntas con Soluciones
Convertir las expresiones logarítmicas dadas en expresiones exponenciales equivalentes:
a) \( \log_x (a) = c \)
b) \( \log_b (2x + 1) = 3 \)
Soluciones
Convertir las expresiones exponenciales dadas en expresiones logarítmicas equivalentes:
a) \( 3^x = m \)
b) \( x^2 = a \)
Soluciones
Evaluar, sin calculadora, las siguientes expresiones logarítmicas:
a) \( \log_2 (16 ) \)
b) \( \log_3(27) \)
c) \( \log_2 = \dfrac{1}{32} \)
d) \( \log_{25} 5 \)
e) \( \log \sqrt{10} \)
f) \( \log_b 1 \) , con \( b \gt 0 \) y \( b \ne 0 \)
g) \( \log_{0.1} (10) \)
Soluciones
Resolver para \( x \) las siguientes ecuaciones logarítmicas:
a) \( \log_2 x = 3 \)
b) \( \log_x 8 = 3 \)
c) \( \log_3 x = 1 \)
d) \( \log_{5.6} x = 0 \)
e) \( \log_2 (3x + 1) = 4 \)
f) \( \log_3 \dfrac{1}{x+1} = 2 \)
g) \( \log_4 \dfrac{x+1}{2x-1} = 0 \)
h) \( \log ( 1/x + 1 ) = 2 \)
i) \( \log_x 0.0001 = 4 \)
Soluciones
Resolver para \( x \) las siguientes ecuaciones exponenciales:
a) \( 3^x = 9 \)
b) \( 4^{2x+1} = 16 \)
c) \( \left(\dfrac{1}{2}\right)^x = 2 \)
d) \( 10^x = 5 \)
e) \( \left(\dfrac{1}{3} \right)^{x/2 - 2} = 9 \)
f) \( 0.01^x = 100 \)
g) \( 2^{2x} - 6(2^x) = - 8 \)
Soluciones
Soluciones a las Preguntas Anteriores
Solución
Usa las expresiones equivalentes: \( y = log_b(x) \iff x = b^y \) para escribir
a) \( \log_x (a) = c \) como una exponencial \( a = x^c \)
b) \( \log_b (2x + 1) = 3 \) como una exponencial \( 2x + 1 = b^3 \)
Solución
Usa las expresiones equivalentes: \( x = b^y \iff y = \log_b (x) \) para escribir
a) \( 3^x = m \) como un logaritmo \( x = \log_3 (m) \)
b) \( x^2 = a \) como un logaritmo \( 2 = \log_x (a) \)
Solución
Usa las expresiones equivalentes: \( y = log_b(x) \iff x = b^y \) para evaluar lo siguiente sin calculadora:
a) sea \( y = \log_2 16 \)
conviértelo a forma exponencial: \( 2^y = 16 \)
Usa el hecho de que \( 16 = 2^4\) para escribir \( 2^y = 2^4 \)
por lo tanto, usando la propiedad uno a uno de la exponencial dada anteriormente, " Si \( 2^y = 2^4 \), entonces y = 4"
por lo tanto: \( y = \log_2 16 = 4 \)
b) sea \( y = \log_3 27 \)
conviértelo a forma exponencial: \( 3^y = 27
Usa el hecho de que \( 27 = 3^3 \) para escribir \( 3^y = 3^3 \)
por lo tanto, usando la propiedad uno a uno 2 b) da entonces \( y = 3 \)
por lo tanto: \( y = \log_3 27 = 3 \)
c) sea \( y = \log_2 (1/32) \)
conviértelo a forma exponencial: \( 2^y = \dfrac{1}{32} \)
Usa el hecho de que \( \dfrac{1}{32} = \dfrac{1}{2^5} = 2^{-5} \) para escribir \( 2^y = 2^{-5} \)
y la propiedad uno a uno de la función exponencial da: \( y = -5 \)
por lo tanto \( y = \log_2 (1/32) = -5 \)
d) sea \( y = \log_{25} 5 \)
conviértelo a forma exponencial: \( 25^y = 5 \)
Usa el hecho de que \( 5 = \sqrt{25} = 25^{1/2} \) para escribir \( 25^y = 25^{1/2} \)
por lo tanto \( y = \log_{25} 5 = 1/2 \)
e) Sea \( y = \log \sqrt{10} \) ( nota logaritmo base 10 ); conviértelo a forma exponencial: \( 10^y = \sqrt{10} = 10^{1/2} \), por lo tanto \( y = \log \sqrt{10} = 1/2 \)
f) Sea \( y = \log_b 1 \) ; conviértelo a forma exponencial: \( b^y = 1 = b^0 \), por lo tanto \( y = log_b 1 = 0 \)
g) sea \( y = \log_{0.1} 10 \) ; conviértelo a forma exponencial: \( 0.1^y = 10 \)
Usa \( 10 = 1 / 0.1 = 0.1^{-1} \) , por lo tanto \( 0.1^y = 0.1^{-1} \) lo que da \( y = \log_{0.1} 10 = - 1 \)
Solución
Usa las expresiones equivalentes : \( y = \log_b(x) \iff x = b^y \) para resolver para \( x \) las siguientes ecuaciones logarítmicas:
a) \( \log_2 x = 3 \) ; conviértelo a forma exponencial: \( x = 2^3 = 8 \)
b) \( \log_x 8 = 3 \) ; conviértelo a forma exponencial: \( 8 = x^3 \) , escribe 8 como \( 8 = 2^3 = x^3\) ; por lo tanto x = 2
c)\( \log_3 x = 1 \) ; conviértelo a forma exponencial: \( x = 3^1 = 3 \)
d) \( \log_{5.6} x = 0 \) ; conviértelo a forma exponencial: \( x = 5.6^0 = 1 \)
e) \( \log_2 (3x + 1) = 4 \) ; conviértelo a forma exponencial: \( 3x + 1 = 2^4 = 16 \) , resuelve para x: \( 3x + 1 = 16 , 3x = 15 , x = 5 \)
f) \( \log_3 \dfrac{1}{x+1} = 2 \) ; conviértelo a forma exponencial: \( \dfrac{1}{x+1} = 3^2 = 9 \) , resuelve para x: \( 1 = 9 (x + 1) , x = - 8 / 9 \)
g) \( \log_4 \dfrac{x+1}{2x-1} = 0 \) ; conviértelo a forma exponencial: \( \dfrac{x+1}{2x-1} = 4^0 = 1 \) , resuelve para x: \( x + 1 = 2x - 1 , x = 2 \)
h) \( \log ( 1/x + 1 ) = 2 \) ; conviértelo a forma exponencial: \( 1/x + 1 = 10^2 = 100 \), resuelve para x: \( 1/x + 1 = 100 , 1/x = 99 , x = 1/99 \)
i) \( \log_x 0.0001 = 4 \) ; conviértelo a forma exponencial: \( x^4 = 0.0001 = 1/10000 = 1/10^4 = (1/10)^4 \)
lo que da \( x^4 = (1/10)^4 \)
por lo tanto \( x = 1/10 \).
Solución
Usa la propiedad uno a uno: si \( b^x = b^y \) entonces \( x = y \) para resolver las funciones exponenciales:
Nota que en la ecuación anterior, las bases de las dos exponenciales son ambas iguales a \( b \).
a) \( 3^x = 9 = 3^2 \) , por lo tanto \( x = 2 \)
b) \( 4^{2x + 1} = 16 = 4^2 \), lo que da \( 4^{2x + 1} = 4^2 \), por lo tanto \( 2x + 1 = 2 , x = 1 / 2 \)
c) \( \left(\dfrac{1}{2} \right)^x = 2 \), escribe \( 2 \) como \( 2 = \left(\dfrac{1}{2} \right)^{-1} \), lo que da \( \left(\dfrac{1}{2} \right)^x = \left(\dfrac{1}{2} \right)^{-1} \) , por lo tanto \( x = - 1 \)
d) \( 10^x = 5 \), convierte la exponencial a logaritmo base 10: \( \quad x = \log_{10} 5 \) (aquí hemos usado la conversión para resolver la ecuación dada)
e) \( \left(\dfrac{1}{3} \right)^{x/2 - 2} = 9 = 3^2 \). Escribe \( 3^2 \) como \( \left(\dfrac{1}{3} \right)^{-2} \) , lo que da \( \left(\dfrac{1}{3} \right)^{x/2 - 2} = \left(\dfrac{1}{3} \right)^{-2} \). Por lo tanto \( x/2 - 2 = - 2 \) , resuelve para obtener \( x = 0 \)
f) \( 0.01^x = 100 \). Escribe : \( 100 = \dfrac{1}{0.01} = 0.01^{-1} \) , lo que da \( 0.01^x = 0.01^{-1} \), por lo tanto \( x = -1 \)
g) \( 2^{2x} - 6 \cdot 2^x = - 8 \)
Nota que \( 2^{2x} = (2^x)^2 \).
Deja \( u = 2^x \) y escribe \( u^2 = (2^x)^2 = 2^{2x} \)
Ahora sustituimos \( 2^x \) por \( u \) y \( 2^{2x} \) por \( u^2 \) en la ecuación dada y reescribimos la ecuación en términos de \( u \) solamente y en forma estándar de la siguiente manera
\( u^2 - 6 u + 8 = 0 \)
Resuelve la ecuación cuadrática anterior por factorización:
\( (u - 2)(u - 4) = 0 \)
soluciones en u: \( u = 2 \) y \( u = 4 \)
Ahora resolvemos para x usando la sustitución hecha anteriormente:
\( u = 2 = 2^x \) , da la solución: \( x = 1 \)
\( u = 4 = 2^x = 2^2\) , da la solución: \( x = 2 \)
donde el símbolo \( \iff \) significa "es equivalente a", \( y \) es el exponente, \( b \) es la base tal que \( b \gt 0 , b \ne 1 \) y \( x \gt 0 \)
