Problemas de Matemáticas de Grado 11 con Soluciones
Explora una variedad de preguntas de matemáticas de grado 11 con soluciones claras y paso a paso. Los temas incluyen funciones cuadráticas, trigonometría, círculos, parábolas, funciones racionales, funciones exponenciales y logarítmicas, sistemas de ecuaciones, polinomios y series, lo que hace que este recurso sea perfecto para repasar, practicar y prepararse para exámenes.
Pregunta 1
Resuelve para \( x \) la ecuación racional:
\[ \dfrac{x+2}{x-2} = \dfrac{3x - 4}{x + 4 } \]
Debemos excluir los valores que hacen cero los denominadores, ya que no pueden ser soluciones:
\[ x - 2 = 0 \Rightarrow x \ne 2 \]
\[ x + 4 = 0 \Rightarrow x \ne -4 \]
Multiplicamos en cruz:
\[ (x+2)(x+4) = (3x - 4)(x - 2) \]
Expandimos ambos lados:
\[ x^2 + 4x + 2x + 8 = 3x^2 - 6x - 4x + 8 \]
Escribimos la ecuación en forma estándar:
\[ 0 = 2x^2 - 16x \]
Factorizamos:
\[ 2x(x - 8) = 0 \]
Igualamos cada factor a cero:
\[ 2x = 0 \Rightarrow x = 0 \]
\[ x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8 \]
Verificamos las restricciones:
Ninguna de las soluciones encontradas es igual a los valores excluidos \( 2 \) y \( -4 \), por lo tanto el conjunto solución es:
\[ \{ 0 , 8 \} \]
Pregunta 2
Encuentra la inversa de la función:
\[ f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 3} \]
Sea \[ y = \dfrac{2x - 1}{x + 3} \]
Intercambiamos \( x \) y \( y \):
\[ x = \dfrac{2y - 1}{y + 3} \]
Multiplicamos en cruz:
\[ x(y + 3) = 2y - 1 \Rightarrow xy + 3x = 2y - 1 \]
Agrupamos términos con \( y \):
\[ xy - 2y = -3x - 1 \Rightarrow y(x - 2) = -3x - 1 \]
Despejamos \( y \):
\[ y = \dfrac{-3x - 1}{x - 2} \]
La función inversa es:
\[ f^{-1}(x) = \dfrac{-3x - 1}{x - 2} \]
Pregunta 3
Resuelve el sistema de ecuaciones:
\[ \begin{cases} y = x^2 - 4x + 3 \\ y = 2x - 1 \end{cases} \]
Igualamos las dos expresiones para \( y \):
\[ x^2 - 4x + 3 = 2x - 1 \Rightarrow x^2 - 6x + 4 = 0 \]
Usamos la fórmula cuadrática:
\[ x = \dfrac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \dfrac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \dfrac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} \]
Sustituimos \( x \) en \( y = 2x - 1 \):
Para \( x = 3 + \sqrt{5} \): \( y = 2(3 + \sqrt{5}) - 1 = 5 + 2\sqrt{5} \)
Para \( x = 3 - \sqrt{5} \): \( y = 2(3 - \sqrt{5}) - 1 = 5 - 2\sqrt{5} \)
Las soluciones del sistema son:
\[ (3 + \sqrt{5}, 5 + 2\sqrt{5}) \quad , \quad (3 - \sqrt{5}, 5 - 2\sqrt{5}) \]
Pregunta 4
Factoriza el polinomio:
\[ P(x) = x^3 - 4x^2 - 7x + 10 \]
Los factores del término constante 10 son: \( \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10 \).
Los factores del coeficiente principal 1 son: \( \pm 1 \).
Según el teorema de la raíz racional, las posibles raíces racionales son los cocientes de los factores del término constante y los factores del coeficiente principal.
Probamos \( x = 1 \):
\[ P(1) = 1^3 - 4(1)^2 - 7(1) + 10 = 1 - 4 - 7 + 10 = 0 \]
Por lo tanto, \( x = 1 \) es una raíz y \( x - 1 \) es un factor de \( P(x) \). Usamos división de polinomios:
\[ \dfrac{x^3 - 4x^2 - 7x + 10}{x - 1} = x^2 - 3x - 10 \]
Factorizamos la expresión cuadrática:
\[ x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2) \]
La factorización de \( P(x) \) es:
\[ P(x) = (x - 1)(x - 5)(x + 2) \]
Pregunta 5
Resuelve para \( x \):
\[ 6 \cdot 3^x = 162 \]
Dividimos ambos lados por 2:
\[ \dfrac{6 \cdot 3^x}{2} = \dfrac{162}{2} \]
Simplificamos:
\[ 3 \cdot 3^x = 81 \]
Usamos la regla exponencial para reescribir \( 3 \cdot 3^x \) como \( 3^{x+1} \):
\[ 3^{x+1} = 81 \]
Escribimos 81 como potencia de 3:
\[ 3^{x+1} = 3^4 \]
Por lo tanto:
\[ x + 1 = 4 \]
Resolvemos para \( x \):
\[ x = 3 \]
Pregunta 6
Encuentra la ecuación cuadrática de una parábola con vértice \( (2, -1) \) que pasa por el punto \( (4, 7) \).
Usamos la forma vértice:
\[ y = a(x - 2)^2 - 1 \]
Sustituimos \( (4, 7) \):
\[ 7 = a(4 - 2)^2 - 1 \]
Resolvemos para \( a \):
\[ 7 = a(4) - 1 \Rightarrow a = 2 \]
La ecuación de la parábola es:
\[ y = 2(x - 2)^2 - 1 \]
Pregunta 7
Una secuencia aritmética tiene primer término \( a = 7 \) y el término 15 es igual a \( -35 \). Encuentra el término 30 de la secuencia.
Datos:
Primer término: \( a = 7 \)
Término 15: \( a_{15} = -35 \)
Fórmula del término n-ésimo: \( a_n = a + (n-1)d \)
Para el término 15:
\[ a_{15} = 7 + 14d = -35 \]
Resolvemos para \( d \):
\[ 14d = -42 \Rightarrow d = -3 \]
Término 30:
\[ a_{30} = 7 + 29(-3) = -80 \]
Pregunta 8
Encuentra \( k \) para que la línea que pasa por los puntos \( (k, 2) \) y \( (-5, 7) \) sea perpendicular a la línea que pasa por los puntos \( (-2, 3) \) y \( (4, -6) \).
Pendiente de la línea por \( (-2,3) \) y \( (4,-6) \):
\[ m_1 = \frac{-6 - 3}{4 - (-2)} = \frac{-9}{6} = -\frac{3}{2} \]
Pendiente de la línea por \( (k,2) \) y \( (-5,7) \):
\[ m_2 = \frac{7 - 2}{-5 - k} = \frac{5}{-5 - k} \]
Para que sean perpendiculares: \( m_1 \cdot m_2 = -1 \).
\[ -\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{-5 - k} = -1 \]
Simplificamos:
\[ \frac{-15}{2(-5 - k)} = -1 \Rightarrow -15 = -2(-5 - k) \]
Resolvemos:
\[ -15 = 10 + 2k \Rightarrow 2k = -25 \Rightarrow k = -\frac{25}{2} \]
Pregunta 9
Un campo rectangular debe cercarse en tres lados usando 100 metros de valla. Uno de los lados largos está junto a una pared y no necesita valla. ¿Qué dimensiones maximizarán el área del campo? ¿Cuál es el área máxima?
Sea \( x \) el ancho (los dos lados perpendiculares a la pared) y \( y \) el largo (el lado paralelo a la pared).
Longitud de la valla: \( 2x + y = 100 \Rightarrow y = 100 - 2x \).
Área: \( A = x \cdot y = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2 \).
Esta es una función cuadrática: \( A(x) = -2x^2 + 100x \).
El máximo ocurre en \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{100}{2(-2)} = 25 \).
Entonces \( y = 100 - 2(25) = 50 \).
Área máxima: \( A = 25 \times 50 = 1250 \, \text{m}^2 \).
Pregunta 11
Dada la función racional \( f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 9} \):
a) Identifica el dominio de la función.
b) Encuentra las coordenadas de cualquier agujero.
c) Encuentra las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales.
d) Lista las características clave de la gráfica y bosquéjala.
a) Dominio: Todos los reales excepto donde el denominador es cero: \( x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x \ne -3, 3 \).
b) Agujero: Factorizamos: \( f(x) = \frac{(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)} \). Se cancela \( x-3 \), hay un agujero en \( x=3 \). La coordenada y: \( f(3) = \frac{3-1}{3+3} = \frac{1}{3} \). Agujero en \( (3, \frac{1}{3}) \).
c) Asíntotas: Vertical: \( x = -3 \) (no se cancela). Horizontal: como los grados son iguales, \( y = \frac{1}{1} = 1 \).
d) Características: Agujero en \( (3, \frac{1}{3}) \), asíntota vertical en \( x=-3 \), asíntota horizontal en \( y=1 \), intercepto en y: \( (0, -\frac{1}{3}) \), intercepto en x: \( (1,0) \).
Pregunta 12
Encuentra, si es posible, una función cuadrática \( f(x) = ax^2 + bx + c \) que cumpla:
- Pasa por \( (1, 2) \)
- Tiene un mínimo en \( x = 3 \)
- Pasa por \( (5, 10) \)
Usamos la forma vértice: \( f(x) = a(x-3)^2 + k \).
Con \( (1,2) \): \( 2 = a(1-3)^2 + k = 4a + k \). (1)
Con \( (5,10) \): \( 10 = a(5-3)^2 + k = 4a + k \). (2)
Restando (1) de (2): \( 0 = 8 \). No hay solución. No existe tal función cuadrática.
Pregunta 13
Encuentra todos los puntos de intersección entre el círculo \( x^2 + y^2 = 25 \) y la parábola \( y = x^2 - 4 \).
Sustituimos \( y = x^2 - 4 \) en la ecuación del círculo:
\[ x^2 + (x^2 - 4)^2 = 25 \Rightarrow x^4 - 7x^2 - 9 = 0 \]
Sea \( u = x^2 \): \( u^2 - 7u - 9 = 0 \).
Soluciones: \( u = \frac{7 \pm \sqrt{85}}{2} \). Solo \( u = \frac{7 + \sqrt{85}}{2} \) es positiva.
Entonces \( x = \pm \sqrt{\frac{7 + \sqrt{85}}{2}} \).
\( y = x^2 - 4 = \frac{-1 + \sqrt{85}}{2} \).
Puntos de intersección: \( \left( \sqrt{\frac{7 + \sqrt{85}}{2}}, \frac{-1 + \sqrt{85}}{2} \right) \) y \( \left( -\sqrt{\frac{7 + \sqrt{85}}{2}}, \frac{-1 + \sqrt{85}}{2} \right) \).
Pregunta 14
Un avión vuela contra el viento de A a B en 8 horas. El mismo avión regresa de B a A, en la misma dirección que el viento, en 7 horas. Encuentra la razón de la velocidad del avión (en aire en calma) a la velocidad del viento.
Sea \( x \) la velocidad del avión en aire en calma, \( y \) la velocidad del viento, \( D \) la distancia.
Contra el viento: \( D = 8(x - y) \).
A favor del viento: \( D = 7(x + y) \).
Igualamos: \( 8x - 8y = 7x + 7y \Rightarrow x = 15y \).
La razón es \( \frac{x}{y} = 15 \).
Pregunta 15
Encuentra el área entre dos círculos concéntricos definidos por:
\[ x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0 \]
\[ x^2 + y^2 - 2x + 4y - 11 = 0 \]
Completamos cuadrados para cada círculo:
Primero: \( (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \), radio \( r_1 = 2 \).
Segundo: \( (x-1)^2 + (y+2)^2 = 16 \), radio \( r_2 = 4 \).
Área del anillo: \( \pi \cdot 4^2 - \pi \cdot 2^2 = 12\pi \).
Pregunta 16
La suma de un entero \( N \) y su recíproco es igual a \( \frac{78}{15} \). ¿Cuál es el valor de \( N \)?
Ecuación: \( N + \frac{1}{N} = \frac{78}{15} \).
Multiplicamos por \( N \): \( N^2 + 1 = \frac{78}{15} N \).
Multiplicamos por 15: \( 15N^2 + 15 = 78N \Rightarrow 15N^2 - 78N + 15 = 0 \).
Resolvemos: \( N = 5 \) o \( N = 0.2 \). Como \( N \) es entero, \( N = 5 \).
Pregunta 17
\( m \) y \( n \) son números racionales tales que \( \frac{4^m}{125} = \frac{5^n}{128} \). Encuentra valores para \( m \) y \( n \).
Multiplicamos en cruz: \( 128 \cdot 4^m = 125 \cdot 5^n \).
Expresamos como potencias de primos: \( 2^7 \cdot 2^{2m} = 5^3 \cdot 5^n \Rightarrow 2^{2m+7} = 5^{n+3} \).
Como 2 y 5 son primos distintos, la única posibilidad es que ambos exponentes sean cero:
\( 2m+7 = 0 \Rightarrow m = -\frac{7}{2} \).
\( n+3 = 0 \Rightarrow n = -3 \).
Pregunta 18
Resuelve para \( x \) en la ecuación: \( \log_2(x) + \log_2(x-2) = 3 \).
Usamos la regla de la suma: \( \log_2(x(x-2)) = 3 \Rightarrow \log_2(x^2 - 2x) = 3 \).
En forma exponencial: \( x^2 - 2x = 2^3 = 8 \).
Ecuación cuadrática: \( x^2 - 2x - 8 = 0 \Rightarrow (x-4)(x+2) = 0 \).
Soluciones: \( x = 4 \) o \( x = -2 \).
El dominio requiere \( x > 0 \) y \( x > 2 \), por lo tanto \( x = 4 \).
Pregunta 19
Simplifica: \( 3^{n + 4001} + 3^{n + 4001} + 3^{n + 4001} \).
Sumamos: \( 3 \cdot 3^{n+4001} = 3^{1+n+4001} = 3^{n+4002} \).
Pregunta 20
¿Para qué valores de \( r \) la línea \( x + y = r \) es tangente al círculo \( x^2 + y^2 = 4 \)?
Sustituimos \( y = r - x \) en la ecuación del círculo:
\( x^2 + (r-x)^2 = 4 \Rightarrow 2x^2 - 2rx + r^2 - 4 = 0 \).
Para tangencia, el discriminante es cero: \( \Delta = (-2r)^2 - 4(2)(r^2-4) = 4(8 - r^2) = 0 \).
Resolvemos: \( r^2 = 8 \Rightarrow r = \pm 2\sqrt{2} \).
Pregunta 21
Desde la cima de un acantilado de 80 metros de altura, el ángulo de depresión a un bote en el mar es \( 28^\circ \). Luego, el bote navega directamente alejándose del acantilado, y el ángulo de depresión se convierte en \( 18^\circ \). ¿Qué distancia recorrió el bote entre las dos posiciones?
Sea \( h = 80 \) m.
Distancia horizontal inicial \( d_1 \): \( \tan(28^\circ) = \frac{80}{d_1} \Rightarrow d_1 \approx 150.44 \) m.
Distancia horizontal final \( d_2 \): \( \tan(18^\circ) = \frac{80}{d_2} \Rightarrow d_2 \approx 246.30 \) m.
Distancia recorrida: \( \Delta d = d_2 - d_1 \approx 95.86 \) m.
Pregunta 22
Resuelve para todos los valores de \( x \) en el intervalo \( 0^\circ \leq x < 360^\circ \):
\[ 2 \cos^2 x + 3\sin x = 3 \]
Usamos \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \):
\( 2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x = 3 \Rightarrow -2\sin^2 x + 3\sin x - 1 = 0 \).
Sea \( y = \sin x \): \( -2y^2 + 3y - 1 = 0 \Rightarrow 2y^2 - 3y + 1 = 0 \).
Soluciones: \( y = 1 \) o \( y = \frac{1}{2} \).
Si \( \sin x = 1 \): \( x = 90^\circ \).
Si \( \sin x = \frac{1}{2} \): \( x = 30^\circ \) o \( x = 150^\circ \).
Soluciones: \( x = 30^\circ, 90^\circ, 150^\circ \).