Problemas de Matemáticas con Soluciones
Se presentan problemas de matemáticas de grado 11 con respuestas y soluciones.
Problemas
- Un avión vuela contra el viento de A a B en 8 horas. El mismo avión regresa de B a A, en la misma dirección que el viento, en 7 horas. Encuentra la proporción de la velocidad del avión (en el aire quieto) a la velocidad del viento.
-
Encuentra el área entre dos círculos concéntricos definidos por
x2 + y2 -2x + 4y + 1 = 0
x2 + y2 -2x + 4y - 11 = 0 - Encuentra todos los valores del parámetro m (un número real) para que la ecuación 2x2 - m x + m = 0 no tenga soluciones reales.
- La suma de un número entero N y su recíproco es igual a 78/15. ¿Cuál es el valor de N?
- m y n son enteros de manera que 4m / 125 = 5n / 64. Encuentra los valores de m y n.
- Simplifica: 3n + 4001 + 3n + 4001 + 3n + 4001
- P es un polinomio tal que P(x2 + 1) = - 2 x4 + 5 x2 + 6. Encuentra P(- x2 + 3)
- ¿Para qué valores de r la línea x + y = r sería tangente al círculo x2 + y2 = 4?
Soluciones a los Problemas Anteriores
Sea x = velocidad del avión en el aire quieto, y = velocidad del viento y D la distancia entre A y B. Encuentra la razón x / y
Contra el viento: D = 8(x - y), con el viento: D = 7(x + y)
8x - 8y = 7x + 7y, por lo tanto x / y = 15-
Reescribe las ecuaciones de los círculos en forma estándar. Entonces, la ecuación x2 + y2 -2x + 4y + 1 = 0 se puede escribir como
(x - 1)2 + (y + 2) 2 = 4 = 22
y la ecuación x2 + y2 -2x + 4y - 11 = 0 como
(x - 1)2 + (y + 2) 2 = 16 = 42
Conociendo los radios, el área del anillo es π (4)2 - π (2)2 = 12 π -
La ecuación dada es una ecuación cuadrática y no tiene soluciones si su discriminante D es menor que cero.
D = (-m)2 - 4(2)(m) = m2 - 8 m
Resolvemos la desigualdad m2 - 8 m < 0
El conjunto solución de la desigualdad anterior es: (0 , 8)
Cualquier valor de m en el intervalo (0 , 8) hace que el discriminante D sea negativo y, por lo tanto, la ecuación no tiene soluciones reales.
Escribe la ecuación en términos de N de la siguiente manera
N + 1/N = 78/15
Multiplica todos los términos por N, obtén una ecuación cuadrática y resuelve para obtener N = 5.-
4m / 125 = 5n / 64
Multiplica en cruz: 64 4m = 125 5n
Nota que 64 = 43 y 125 = 53
La ecuación anterior se puede escribir como: 4m + 3 = 5n + 3
Los únicos valores de los exponentes que hacen que las dos expresiones exponenciales sean iguales son: m + 3 = 0 y n + 3 = 0, lo que da m = - 3 y n = - 3. -
3n + 4001 + 3n + 4001 + 3n + 4001 = 3(3n + 4001) = 3n + 4002 -
P(x2 + 1) = - 2 x4 + 5 x2 + 6
Sea t = x2 + 1, lo que también da x2 = t - 1
Sustituye x2 por t - 1 en P para obtener: P(t) = - 2 (t - 1)2 + 5 (t - 1) + 6 = -2 t 2 + 9t - 1
Ahora deja t = - x2 + 3 y sustituye en P(t) para obtener
P(- x2 + 3) = -2 (- x2 + 3) 2 + 9 (- x2 + 3) - 1 = -2 x 4 + 3 x 2 + 8 -
Resuelve x + y = r para y: y = r - x
Sustituye en la ecuación del círculo:
x2 + (r - x)2 = 4
Expande: 2 x2 -2 r x + r 2 - 4 = 0
Si resolvemos la ecuación cuadrática anterior (en x) obtendremos las coordenadas x de los puntos de intersección de la línea y el círculo. Los 2 puntos de intersección "se vuelven uno" y, por lo tanto, la línea y el círculo se vuelven tangentes si el discriminante D de la ecuación cuadrática es cero. Por lo tanto,
D = (-2r)2 - 4(2)(r2 - 4) = 4(8 - r2) = 0
Resuelve para r para obtener: r = 2 √2 y r = - 2√2
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