Problemas de matemáticas de grado 11 con soluciones

Paso 1: Identificar restricciones. Los denominadores no pueden ser cero, por lo tanto \( x \ne 2 \) y \( x \ne -4 \).

Paso 2: Multiplicar en cruz. Para eliminar las fracciones, multiplique el numerador de cada lado por el denominador del otro lado:
\[ (x+2)(x+4) = (3x - 4)(x - 2) \]

Paso 3: Expandir ambos lados. Utilice el método FOIL (Primeros, Externos, Internos, Últimos):
\[ x^2 + 4x + 2x + 8 = 3x^2 - 6x - 4x + 8 \]
\[ x^2 + 6x + 8 = 3x^2 - 10x + 8 \]

Paso 4: Agrupar términos para formar una ecuación cuadrática estándar. Reste \( x^2 + 6x + 8 \) de ambos lados:
\[ 0 = 2x^2 - 16x \]

Paso 5: Factorizar y resolver. Factorice el término común \( 2x \):
\[ 2x(x - 8) = 0 \]

Igualar cada factor a cero da \( x = 0 \) y \( x = 8 \). Ambos son válidos ya que ninguno es igual a nuestros valores restringidos.

Soluciones finales: { 0 , 8 }.

Paso 1: Utilice el Teorema de la raíz racional. Las posibles raíces racionales son la razón entre los factores del término constante (10) y los factores del coeficiente principal (1).

Factores del término constante (\(p\)): \(\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10\)
Factores del coeficiente principal (\(q\)): \(\pm 1\)

Lista de posibles raíces (\(\frac{p}{q}\)): \(\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10\).

Lista de posibles factores: \( \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10 \).

Probemos \( x = 1 \):
\( P(1) = (1)^3 - 4(1)^2 - 7(1) + 10 = 1 - 4 - 7 + 10 = 0 \).
Dado que \( P(1) = 0 \), entonces \( (x - 1) \) es un factor del polinomio.

Paso 2: Realice la división polinomial. Divida \( P(x) \) por \( (x - 1) \) usando división sintética o larga:
\[ \frac{x^3 - 4x^2 - 7x + 10}{x-1} = x^2 - 3x - 10 \]

Paso 3: Factorice la cuadrática resultante. Encuentre dos números que multiplicados den -10 y sumados den -3. Esos números son -5 y 2:
\[ x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2) \]

Paso 4: Combine todos los factores.
Factorización: \( (x - 1)(x - 5)(x + 2) \).

Paso 1: Aísle el término exponencial. Divida ambos lados por 6:
\[ 3^x = \frac{162}{6} \]
\[ 3^x = 27 \]

Paso 2: Exprese ambos lados con la misma base. Reconozca que 27 es una potencia de 3:
\[ 3^x = 3^3 \]

Paso 3: Iguale los exponentes. Dado que las bases son iguales, los exponentes deben ser iguales.
x = 3.

Paso 1: Recuerde la fórmula para una sucesión aritmética.
\[ a_n = a + (n-1)d \]

Paso 2: Encuentre la diferencia común (\( d \)). Sustituya los valores conocidos para el 15º término:
\[ -35 = 7 + (15 - 1)d \]
\[ -35 = 7 + 14d \]
\[ -42 = 14d \Rightarrow d = -3 \]

Paso 3: Calcule el 30º término. Use la fórmula nuevamente con \( n = 30 \) y \( d = -3 \):
\[ a_{30} = 7 + (30 - 1)(-3) \]
\[ a_{30} = 7 + 29(-3) = 7 - 87 = \mathbf{-80} \].

Paso 1: Traduzca el problema verbal a una ecuación.
\[ N + \frac{1}{N} = \frac{78}{15} \]

Paso 2: Elimine las fracciones. Multiplique toda la ecuación por el denominador común, \( 15N \):
\[ 15N(N) + 15N\left(\frac{1}{N}\right) = 15N\left(\frac{78}{15}\right) \]
\[ 15N^2 + 15 = 78N \]

Paso 3: Simplifique e iguale a cero. Mueva todos los términos a un lado:
\[ 15N^2 - 78N + 15 = 0 \]
Divida por 3 para simplificar:
\[ 5N^2 - 26N + 5 = 0 \]

Paso 4: Factorice la cuadrática.
\[ (5N - 1)(N - 5) = 0 \]

Paso 5: Resuelva. Esto da como resultado \( N = 1/5 \) y \( N = 5 \). Dado que la pregunta pide un entero, descartamos la fracción.
Solución: N = 5.

Paso 1: Multiplique en cruz para eliminar las fracciones.
\[ 128 \cdot 4^m = 125 \cdot 5^n \]

Paso 2: Exprese todos los números en bases primas. Sabemos que \( 128 = 2^7 \), \( 4 = 2^2 \), y \( 125 = 5^3 \).
\[ 2^7 \cdot (2^2)^m = 5^3 \cdot 5^n \]

Paso 3: Aplique las reglas de los exponentes. Combine los términos con base 2 y base 5:
\[ 2^{7 + 2m} = 5^{3 + n} \]

Paso 4: Resuelva para m y n. Debido a que 2 y 5 son números primos distintos, la única forma en que una potencia de 2 puede ser igual a una potencia de 5 es si ambas se evalúan como 1 (es decir, \( 2^0 = 5^0 \)). Por lo tanto, ambos exponentes deben ser iguales a cero:
\[ 7 + 2m = 0 \Rightarrow 2m = -7 \Rightarrow \mathbf{m = -3.5} \]
\[ 3 + n = 0 \Rightarrow \mathbf{n = -3} \]

Paso 1: Determine las restricciones del dominio. Los logaritmos solo están definidos para argumentos positivos, por lo tanto \( x > 0 \) y \( x - 2 > 0 \). Combinando esto, nuestra solución debe satisfacer \( x > 2 \).

Paso 2: Condense los logaritmos. Use la regla del producto de los logaritmos (\( \log(a) + \log(b) = \log(ab) \)):
\[ \log_2[x(x - 2)] = 3 \]

Paso 3: Convierta a forma exponencial. Por definición de un logaritmo:
\[ x(x - 2) = 2^3 \]
\[ x^2 - 2x = 8 \]

Paso 4: Resuelva la ecuación cuadrática.
\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]
\[ (x - 4)(x + 2) = 0 \]

Esto da como posibles soluciones \( x = 4 \) y \( x = -2 \). Al comprobar nuestra restricción de dominio (\( x > 2 \)), vemos que \(-2\) es una solución extraña.
Solución final: x = 4.

Paso 1: Reconozca la suma repetida. Sumar tres términos idénticos es lo mismo que multiplicar ese término por 3:
\[ 3 \cdot \left(3^{n + 4001}\right) \]

Paso 2: Aplique las reglas de los exponentes. El número 3 se puede escribir como \( 3^1 \). Al multiplicar términos con la misma base, se suman los exponentes:
\[ 3^1 \cdot 3^{n + 4001} = 3^{1 + n + 4001} \]

Forma simplificada: \( 3^{n + 4002} \)

Paso 1: Reemplace \( f(x) \) con \( y \).
\[ y = \frac{2x - 1}{x + 3} \]

Paso 2: Intercambie \( x \) e \( y \). Este es el paso principal para encontrar una función inversa:
\[ x = \frac{2y - 1}{y + 3} \]

Paso 3: Aísle la nueva \( y \). Multiplique ambos lados por \( y + 3 \):
\[ x(y + 3) = 2y - 1 \]
\[ xy + 3x = 2y - 1 \]

Mueva todos los términos que contengan \( y \) a un lado, y todos los demás términos al otro lado:
\[ xy - 2y = -3x - 1 \]

Factorice \( y \):
\[ y(x - 2) = -3x - 1 \]

Divida por \( x - 2 \):
\[ y = \frac{-3x - 1}{x - 2} \]

Función inversa: \( f^{-1}(x) = \frac{-3x - 1}{x - 2} \).

Paso 1: Iguale las ecuaciones entre sí. Dado que ambas ecuaciones son iguales a \( y \):
\[ x^2 - 4x + 3 = 2x - 1 \]

Paso 2: Simplifique a la forma cuadrática estándar. Mueva todos los términos al lado izquierdo:
\[ x^2 - 6x + 4 = 0 \]

Paso 3: Resuelva usando la fórmula cuadrática. (\( a=1, b=-6, c=4 \))
\[ x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} \]
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} \]

Simplifique el radical (\( \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)):
\[ x = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} \]

Paso 4: Encuentre los valores correspondientes de y. Sustituya los valores de x nuevamente en la ecuación lineal más simple \( y = 2x - 1 \):
Si \( x = 3 + \sqrt{5} \): \( y = 2(3 + \sqrt{5}) - 1 = 6 + 2\sqrt{5} - 1 = 5 + 2\sqrt{5} \).
Si \( x = 3 - \sqrt{5} \): \( y = 2(3 - \sqrt{5}) - 1 = 6 - 2\sqrt{5} - 1 = 5 - 2\sqrt{5} \).

Soluciones: \( (3 + \sqrt{5}, 5 + 2\sqrt{5}) \) y \( (3 - \sqrt{5}, 5 - 2\sqrt{5}) \).

Paso 1: Escriba la forma de vértice de una parábola.
\[ y = a(x - h)^2 + k \]
Sustituya el vértice \( (h, k) = (2, -1) \):
\[ y = a(x - 2)^2 - 1 \]

Paso 2: Encuentre el factor de estiramiento vertical (\( a \)). Sustituya el punto conocido \( (x, y) = (4, 7) \) en la ecuación:
\[ 7 = a(4 - 2)^2 - 1 \]
\[ 7 = a(2)^2 - 1 \]
\[ 7 = 4a - 1 \]
\[ 8 = 4a \Rightarrow a = 2 \]

Paso 3: Escriba la ecuación final.
\( y = 2(x - 2)^2 - 1 \).

Paso 1: Establezca las ecuaciones de perímetro y área. Sea \( x \) el ancho (dos lados perpendiculares a la pared) e \( y \) el largo (el lado paralelo a la pared).
Cerca total: \( 2x + y = 100 \Rightarrow y = 100 - 2x \).
Área: \( A = x \cdot y \).

Paso 2: Exprese el área como una función de \( x \). Sustituya \( y \) en la ecuación del área:
\[ A(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2 \]

Paso 3: Encuentre el máximo. Esta es una parábola que se abre hacia abajo (\( a = -2 \)). El máximo ocurre en el vértice, donde \( x = \frac{-b}{2a} \):
\[ x = \frac{-100}{2(-2)} = \frac{-100}{-4} = 25 \]

Paso 4: Encuentre las dimensiones restantes y el área.
Si \( x = 25 \), entonces \( y = 100 - 2(25) = 50 \).
Dimensiones: 25 m por 50 m.
Área máxima: \( 25 \cdot 50 = \) 1250 m².

Paso 1: Factorice el numerador y el denominador.
Numerador: \( x^2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1) \)
Denominador (diferencia de cuadrados): \( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \)
\[ f(x) = \frac{(x - 3)(x - 1)}{(x - 3)(x + 3)} \]

Paso 2: Identifique los huecos. El factor \( (x - 3) \) se cancela, lo que significa que hay un hueco en \( x = 3 \).
Para encontrar la coordenada y del hueco, sustituya \( x = 3 \) en la función simplificada \( \frac{x - 1}{x + 3} \):
\( y = \frac{3 - 1}{3 + 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).
El hueco está en (3, 1/3).

Paso 3: Identifique las asíntotas verticales (AV). Iguale el denominador restante a cero:
\( x + 3 = 0 \Rightarrow \) AV en x = -3.

Paso 4: Identifique las asíntotas horizontales (AH). Dado que el grado del numerador (2) es igual al grado del denominador (2), la AH es la razón de sus coeficientes principales:
\( y = \frac{1x^2}{1x^2} \Rightarrow \) AH en y = 1.

Paso 1: Encuentre la pendiente de la segunda línea (\( m_2 \)).
\[ m_2 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-6 - 3}{4 - (-2)} = \frac{-9}{6} = -1.5 \]

Paso 2: Determine la pendiente requerida para la primera línea (\( m_1 \)). Las líneas perpendiculares tienen pendientes recíprocas negativas (\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)).
\[ m_1 = \frac{-1}{-1.5} = \frac{2}{3} \]

Paso 3: Establezca la ecuación de la pendiente para la primera línea para encontrar \( k \).
\[ \frac{7 - 2}{-5 - k} = \frac{2}{3} \]
\[ \frac{5}{-5 - k} = \frac{2}{3} \]

Paso 4: Multiplique en cruz y resuelva.
\( 15 = 2(-5 - k) \)
\( 15 = -10 - 2k \)
\( 25 = -2k \Rightarrow \) k = -12.5.

Paso 1: Sustituya la ecuación de la parábola en la ecuación de la circunferencia. De la parábola, podemos aislar \( x^2 \):
\( x^2 = y + 4 \)

Sustituya \( (y+4) \) por \( x^2 \) en la ecuación de la circunferencia:
\[ (y + 4) + y^2 = 25 \]

Paso 2: Resuelva la ecuación cuadrática resultante.
\[ y^2 + y - 21 = 0 \]

Use la fórmula cuadrática:
\[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-21)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{85}}{2} \]

Paso 3: Encuentre los valores correspondientes de x. Sustituya estos valores de y nuevamente en \( x^2 = y + 4 \):
\[ x^2 = \frac{-1 \pm \sqrt{85}}{2} + \frac{8}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{85}}{2} \]
\[ x = \pm \sqrt{\frac{7 \pm \sqrt{85}}{2}} \]

Nota: \( 7 - \sqrt{85} \) da como resultado un número negativo, y como \( x^2 \) debe ser positivo, rechazamos el caso negativo dentro de la raíz.
Puntos de intersección:
\( \left( \sqrt{\frac{7 + \sqrt{85}}{2}}, \frac{-1 + \sqrt{85}}{2} \right) \) y \( \left( -\sqrt{\frac{7 + \sqrt{85}}{2}}, \frac{-1 + \sqrt{85}}{2} \right) \).

Paso 1: Encuentre el radio de la primera circunferencia completando el cuadrado.
\( (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = -1 + 1 + 4 \)
\( (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4 \).
El radio al cuadrado es \( r_1^2 = 4 \), entonces \( r_1 = 2 \).

Paso 2: Encuentre el radio de la segunda circunferencia.
\( (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 11 + 1 + 4 \)
\( (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16 \).
El radio al cuadrado es \( r_2^2 = 16 \), entonces \( r_2 = 4 \).

Paso 3: Reste el área más pequeña del área más grande.
Área = \( \pi(r_2)^2 - \pi(r_1)^2 \)
Área = \( 16\pi - 4\pi = \mathbf{12\pi} \).

Paso 1: Aísle y en la ecuación de la línea y sustituya.
\( y = r - x \).
Sustituya en la circunferencia:
\[ x^2 + (r - x)^2 = 4 \]
\[ x^2 + r^2 - 2rx + x^2 = 4 \]
\[ 2x^2 - 2rx + (r^2 - 4) = 0 \]

Paso 2: Use la condición del discriminante para una tangente. Una línea es tangente a una circunferencia si se intersecan en exactamente un punto, lo que significa que el discriminante (\( \Delta = b^2 - 4ac \)) de esta cuadrática debe ser cero.
Aquí, \( a = 2 \), \( b = -2r \), \( c = r^2 - 4 \).
\[ (-2r)^2 - 4(2)(r^2 - 4) = 0 \]
\[ 4r^2 - 8r^2 + 32 = 0 \]
\[ -4r^2 = -32 \Rightarrow r^2 = 8 \]

Resultado: \( r = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \).

Paso 1: Establezca dos triángulos rectángulos. Sea \( h = 80\text{m} \) la altura del acantilado. Los ángulos de depresión son iguales a los ángulos de elevación desde los barcos hasta la cima del acantilado.

Paso 2: Encuentre la distancia al barco más cercano (\( d_1 \)).
Usando la tangente (opuesto/adyacente):
\( \tan(28^\circ) = \frac{80}{d_1} \Rightarrow d_1 = \frac{80}{\tan(28^\circ)} \approx 150.44\text{m} \)

Paso 3: Encuentre la distancia al barco más lejano (\( d_2 \)).
\( \tan(18^\circ) = \frac{80}{d_2} \Rightarrow d_2 = \frac{80}{\tan(18^\circ)} \approx 246.30\text{m} \)

Paso 4: Encuentre la diferencia.
\[ \text{Distancia de separación} = d_2 - d_1 \approx 246.30 - 150.44 = \mathbf{95.86 \text{ m}} \]

Paso 1: Use la identidad pitagórica. Sustituya \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) para obtener la ecuación completamente en términos de seno:
\[ 2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x = 3 \]
\[ 2 - 2\sin^2 x + 3\sin x = 3 \]

Paso 2: Reorganice en una ecuación cuadrática estándar. Mueva todos los términos al lado derecho para mantener positivo el término al cuadrado:
\[ 0 = 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 \]

Paso 3: Factorice la cuadrática. Trate al \( \sin x \) como una variable \( u \) (\( 2u^2 - 3u + 1 = 0 \)):
\[ (2\sin x - 1)(\sin x - 1) = 0 \]

Paso 4: Resuelva para x.
Caso 1: \( 2\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2} \). El ángulo de referencia es 30°. El seno es positivo en los cuadrantes I y II, entonces \( x = 30^\circ \) y \( x = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \).
Caso 2: \( \sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = 1 \). Esto ocurre a \( x = 90^\circ \).

Soluciones: 30°, 90°, 150°.