Problemas de Matemáticas con Soluciones

Se presentan problemas de matemáticas de grado 11 con respuestas y soluciones.

Problemas

  1. Un avión vuela contra el viento de A a B en 8 horas. El mismo avión regresa de B a A, en la misma dirección que el viento, en 7 horas. Encuentra la proporción de la velocidad del avión (en el aire quieto) a la velocidad del viento.
  2. Encuentra el área entre dos círculos concéntricos definidos por
    x2 + y2 -2x + 4y + 1 = 0
    x2 + y2 -2x + 4y - 11 = 0
  3. Encuentra todos los valores del parámetro m (un número real) para que la ecuación 2x2 - m x + m = 0 no tenga soluciones reales.
  4. La suma de un número entero N y su recíproco es igual a 78/15. ¿Cuál es el valor de N?
  5. m y n son enteros de manera que 4m / 125 = 5n / 64. Encuentra los valores de m y n.
  6. Simplifica: 3n + 4001 + 3n + 4001 + 3n + 4001
  7. P es un polinomio tal que P(x2 + 1) = - 2 x4 + 5 x2 + 6. Encuentra P(- x2 + 3)
  8. ¿Para qué valores de r la línea x + y = r sería tangente al círculo x2 + y2 = 4?

Soluciones a los Problemas Anteriores


  1. Sea x = velocidad del avión en el aire quieto, y = velocidad del viento y D la distancia entre A y B. Encuentra la razón x / y
    Contra el viento: D = 8(x - y), con el viento: D = 7(x + y)
    8x - 8y = 7x + 7y, por lo tanto x / y = 15

  2. Reescribe las ecuaciones de los círculos en forma estándar. Entonces, la ecuación x2 + y2 -2x + 4y + 1 = 0 se puede escribir como
    (x - 1)2 + (y + 2) 2 = 4 = 22
    y la ecuación x2 + y2 -2x + 4y - 11 = 0 como
    (x - 1)2 + (y + 2) 2 = 16 = 42
    Conociendo los radios, el área del anillo es π (4)2 - π (2)2 = 12 π

  3. La ecuación dada es una ecuación cuadrática y no tiene soluciones si su discriminante D es menor que cero.
    D = (-m)2 - 4(2)(m) = m2 - 8 m
    Resolvemos la desigualdad m2 - 8 m < 0
    El conjunto solución de la desigualdad anterior es: (0 , 8)
    Cualquier valor de m en el intervalo (0 , 8) hace que el discriminante D sea negativo y, por lo tanto, la ecuación no tiene soluciones reales.

  4. Escribe la ecuación en términos de N de la siguiente manera
    N + 1/N = 78/15
    Multiplica todos los términos por N, obtén una ecuación cuadrática y resuelve para obtener N = 5.

  5. 4m / 125 = 5n / 64

    Multiplica en cruz: 64 4m = 125 5n
    Nota que 64 = 43 y 125 = 53
    La ecuación anterior se puede escribir como: 4m + 3 = 5n + 3
    Los únicos valores de los exponentes que hacen que las dos expresiones exponenciales sean iguales son: m + 3 = 0 y n + 3 = 0, lo que da m = - 3 y n = - 3.

  6. 3n + 4001 + 3n + 4001 + 3n + 4001 = 3(3n + 4001) = 3n + 4002

  7. P(x2 + 1) = - 2 x4 + 5 x2 + 6
    Sea t = x2 + 1, lo que también da x2 = t - 1
    Sustituye x2 por t - 1 en P para obtener: P(t) = - 2 (t - 1)2 + 5 (t - 1) + 6 = -2 t 2 + 9t - 1
    Ahora deja t = - x2 + 3 y sustituye en P(t) para obtener
    P(- x2 + 3) = -2 (- x2 + 3) 2 + 9 (- x2 + 3) - 1 = -2 x 4 + 3 x 2 + 8

  8. Resuelve x + y = r para y: y = r - x
    Sustituye en la ecuación del círculo:
    x2 + (r - x)2 = 4
    Expande: 2 x2 -2 r x + r 2 - 4 = 0
    Si resolvemos la ecuación cuadrática anterior (en x) obtendremos las coordenadas x de los puntos de intersección de la línea y el círculo. Los 2 puntos de intersección "se vuelven uno" y, por lo tanto, la línea y el círculo se vuelven tangentes si el discriminante D de la ecuación cuadrática es cero. Por lo tanto,
    D = (-2r)2 - 4(2)(r2 - 4) = 4(8 - r2) = 0
    Resuelve para r para obtener: r = 2 √2 y r = - 2√2

Más Referencias y Enlaces

Matemáticas de Secundaria (Grados 10, 11 y 12) - Preguntas y Problemas Gratis Con Respuestas
Matemáticas de Escuela Intermedia (Grados 6, 7, 8, 9) - Preguntas y Problemas Gratis Con Respuestas
Matemáticas Primarias (Grados 4 y 5) con Preguntas y Problemas Gratis Con Respuestas
Página de Inicio

privacy policy

{ezoic-ad-1}

{ez_footer_ads}