Soluciones a preguntas sobre el factoring de polinomios especiales

Las soluciones a las preguntas sobre la factorización de polinomios especiales en la factorización de polinomios especiales se presentan.

REVISIÓN - Polinomios especiales

1) Diferencia de dos cuadrados: a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

2)Trinomio cuadrado perfecto

a) a 2 + 2 a b + b 2 = (a + b) 2

b) a 2 - 2 a b + b 2 = (a - b) 2

Diferencia de dos cubos: a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)

Suma de dos cubos: a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

Factoriza los siguientes polinomios especiales

a) - 25 x 2 + 9

b) 16 y 4 - x 4

c) 36 y 2 - 60 x y + 25 x 2

d) (1/2) x 2 + x + (1/2)

e) - y 3 - 64

f) x 6 - 1


Pregunta a): Factor - 25 x 2 + 9

Solución

a) Si dejamos a = 5x yb = 3, el polinomio dado puede escribirse como:

- 25 x 2 + 9 = - a 2 + b 2

Usa el polinomio especial a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) y factorizar el polinomio dado de la siguiente manera:

- 25 x 2 + 9 = - a 2 + b 2 = (- a + b)(a + b) = (-5x + 3)(5x + 3)



Pregunta b): Factor 16 y 4 - x 4

Solución

b) El polinomio dado tiene la forma de la diferencia de dos cuadrados y puede escribirse como:

16 y 4 - x 4 = (4 y 2) 2 - (x 2) 2

Usa el polinomio especial a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) y factorizar el polinomio dado de la siguiente manera:

16 y 4 - x 4 = (4 y 2) 2 - (x 2) 2 = (4y 2 - x 2)(4y 2 + x 2)

El termino (4y 2 + x 2) en lo anterior, es la suma de dos cuadrados y no se puede factorizar usando números reales. Sin embargo, el término (4y 2 - x 2) es la diferencia de dos cuadrados y se puede factorizar aún más. Por lo tanto, el polinomio dado se factoriza de la siguiente manera:

16 y 4 - x 4 = (2 y - x)(2 y + x)(4y 2 + x 2)


Pregunta c): Factor 36 y 2 - 60 x y + 25 x 2

Solución

c) El polinomio dado se puede escribir como:

36 y 2 - 60 x y + 25 x 2 = (6 y) 2 - 2(6 y)(5 x) + (5 x) 2

Usa el trinomio especial a 2 - 2 a b + b 2 = (a - b) 2 factorizar el polinomio dado de la siguiente manera:

36 y 2 - 60 x y + 25 x 2 = (6 y) 2 - 2(6 y)(5 x) + (5 x) 2 = (6 y - 5 x) 2


Pregunta d): Factor (1/2) x 2 + x + (1/2)

Solución

d) Factor (1/2) y reescribir el polinomio dado como:

(1/2) x 2 + x + (1/2) = (1/2) x 2 + 2 (1/2) x + (1/2) = (1/2)( x 2 + 2 x + 1)

Usa el trinomio especial a 2 + 2 a b + b 2 = (a + b) 2 al factor x 2 + 2 x + 1 = x 2 + 2(x)(1) + 1 2 y el polinomio dado de la siguiente manera:

(1/2) x 2 + x + (1/2) = (1/2)( x 2 + 2 x + 1) = (1/2)(x + 1) 2


Pregunta e): Factor - y 3 - 64

Solución

d) Factor - 1 y reescribe el polinomio dado como:

- y 3 - 64 = - (y 3 + 64) = - ( y 3 + 4 3)

Use a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2) factorizar el polinomio dado de la siguiente manera:

- y 3 - 64 = - (y 3 + 64) = - ( y 3 + 4 3)

= -(y + 4)(y 2 - (y)(4) + 4 2) = -(y + 4)(y 2 - 4 y + 16)


Pregunta f): Factor x 6 - 1

Solución

f) Escribamos el polinomio dado como la diferencia de dos cuadrados de la siguiente manera:

x 6 - 1 = (x 3) 2 - (1) 2

Usa la diferencia especial de cuadrados polinomiales a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) y factorizar el polinomio dado de la siguiente manera:

x 6 - 1 = (x 3) 2 - (1) 2 = (x 3 - 1)(x 3 + 1)

En lo anterior, tenemos el producto de la suma y la diferencia de dos cubos. Por lo tanto

x 6 - 1 = (x 3) 2 - (1) 2 = (x 3 - 1)(x 3 + 1)

= (x - 1)(x 2 + x + 1)(x + 1)(x 2 - x + 1)

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