Soluciones para Factorizar Polinomios Especiales

Se presentan las soluciones a las preguntas sobre la factorización de polinomios especiales en la factorización de polinomios especiales.

Revisar los Polinomios Especiales


1) Diferencia de dos cuadrados: a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)
2) Cuadrado perfecto trinomio
a) a 2 + 2 a b + b 2 = (a + b) 2
b) a 2 - 2 a b + b 2 = (a - b) 2
Diferencia de dos cubos: a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + a b + b 2)
Suma de dos cubos: a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - a b + b 2)

Factorizar los siguientes polinomios especiales
a) - 25 x 2 + 9
b) 16 y 4 - x 4
c) 36 y 2 - 60 x y + 25 x 2
d) (1/2) x 2 + x + (1/2)
e) - y 3 - 64
f) x 6 - 1


Pregunta a)

Factorizar - 25 x 2 + 9
Solución
a) Si dejamos a = 5 x y b = 3, el polinomio dado se puede escribir como:
- 25 x 2 + 9 = - a 2 + b 2
Usar el polinomio especial a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) y factorizar el polinomio dado de la siguiente manera:
- 25 x 2 + 9 = - a 2 + b 2 = (- a + b)(a + b) = (-5 x + 3)(5 x + 3)


Pregunta b)

Factorizar 16 y 4 - x 4
Solución
b) El polinomio dado tiene la forma de la diferencia de dos cuadrados y se puede escribir como:
16 y 4 - x 4 = (4 y 2) 2 - (x 2) 2
Usar el polinomio especial a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) y factorizar el polinomio dado de la siguiente manera:
16 y 4 - x 4 = (4 y 2) 2 - (x 2) 2 = (4y 2 - x 2)(4y 2 + x 2)
El término (4y 2 + x 2) en lo anterior es la suma de dos cuadrados y no se puede factorizar usando números reales. Sin embargo, el término (4y 2 - x 2) es la diferencia de dos cuadrados y se puede factorizar aún más. Por lo tanto, el polinomio dado se factoriza de la siguiente manera:
16 y 4 - x 4 = (2 y - x)(2 y + x)(4y 2 + x 2)


Pregunta c)

Factorizar 36 y 2 - 60 x y + 25 x 2
Solución
c) El polinomio dado se puede escribir como:
36 y 2 - 60 x y + 25 x 2 = (6 y) 2 - 2(6 y)(5 x) + (5 x) 2
Usar el trinomio especial a 2 - 2 a b + b 2 = (a - b) 2 para factorizar el polinomio dado de la siguiente manera:
36 y 2 - 60 x y + 25 x 2 = (6 y) 2 - 2(6 y)(5 x) + (5 x) 2 = (6 y - 5 x) 2


Pregunta d)

Factorizar (1/2) x 2 + x + (1/2)
Solución
d) Factorizar (1/2) y reescribir el polinomio dado como:
(1/2) x 2 + x + (1/2) = (1/2) x 2 + 2 (1/2) x + (1/2) = (1/2)( x 2 + 2 x + 1)
Usar el trinomio especial a 2 + 2 a b + b 2 = (a + b) 2 para factorizar x 2 + 2 x + 1 = x 2 + 2(x)(1) + 1 2 y el polinomio dado de la siguiente manera:
(1/2) x 2 + x + (1/2) = (1/2)( x 2 + 2 x + 1) = (1/2)(x + 1) 2


Pregunta e)

Factorizar - y 3 - 64
Solución
d) Factorizar - 1 y reescribir el polinomio dado como:
- y 3 - 64 = - (y 3 + 64) = - ( y 3 + 4 3)
Usar a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - a b + b 2) para factorizar el polinomio dado de la siguiente manera:
- y 3 - 64 = - (y 3 + 64) = - ( y 3 + 4 3)
= -(y + 4)(y 2 - (y)(4) + 4 2) = -(y + 4)(y 2 - 4 y + 16)


Pregunta f)

Factorizar x 6 - 1
Solución
f) Escribamos el polinomio dado como la diferencia de dos cuadrados de la siguiente manera:
x 6 - 1 = (x 3) 2 - (1) 2
Usar el polinomio especial de diferencia de cuadrados a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) y factorizar el polinomio dado de la siguiente manera:
x 6 - 1 = (x 3) 2 - (1) 2 = (x 3 - 1)(x 3 + 1)
En lo anterior, tenemos el producto de la suma y diferencia de dos cubos. Por lo tanto,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - (1) 2 = (x 3 - 1)(x 3 + 1)
= (x - 1)(x 2 + x + 1)(x + 1)(x 2 - x + 1)

Más Referencias y Enlaces

Matemáticas de la Escuela Intermedia (Grados 6, 7, 8, 9) - Preguntas y Problemas Gratuitos con Respuestas
Matemáticas de la Escuela Secundaria (Grados 10, 11 y 12) - Preguntas y Problemas Gratuitos con Respuestas
Matemáticas Primarias (Grados 4 y 5) con Preguntas y Problemas Gratuitos con Respuestas
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