Soluciones para la Factorización de Polinomios Especiales

A continuación se presentan las soluciones a los ejercicios sobre factorización de polinomios especiales, disponibles en la página Factorización de Polinomios Especiales.

Repaso de los Polinomios Especiales

Diferencia de Cuadrados

La fórmula de diferencia de cuadrados es: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]

Trinomio Cuadrado Perfecto

Esta identidad tiene dos formas:

\[ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \]
\[ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \]

Diferencia de Cubos

La fórmula de diferencia de cubos es: \[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \]

Suma de Cubos

La fórmula de suma de cubos es: \[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]

Factorice los siguientes polinomios especiales

a) \( -25x^2 + 9 \)

b) \( 16y^4 - x^4 \)

c) \( 36y^2 - 60xy + 25x^2 \)

d) \( \dfrac{1}{2}x^2 + x + \dfrac{1}{2} \)

e) \( -y^3 - 64 \)

f) \( x^6 - 1 \)

Soluciones

Solución del Ejercicio a)

Sea \( a = 5x \) y \( b = 3 \). Entonces:

\[ -25x^2 + 9 = -a^2 + b^2. \]

Usando la fórmula de diferencia de cuadrados \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \), obtenemos:

\[ -25x^2 + 9 = -a^2 + b^2 = (-a + b)(a + b) = (-5x + 3)(5x + 3). \]

Solución del Ejercicio b)

Exprese cada término como un cuadrado:

\[ 16y^4 - x^4 = (4y^2)^2 - (x^2)^2. \]

Aplique la diferencia de cuadrados:

\[ (4y^2)^2 - (x^2)^2 = (4y^2 - x^2)(4y^2 + x^2). \]

El factor \( 4y^2 + x^2 \) no se puede factorizar sobre los números reales, pero \( 4y^2 - x^2 \) es nuevamente una diferencia de cuadrados:

\[ 4y^2 - x^2 = (2y - x)(2y + x). \]

Por lo tanto:

\[ 16y^4 - x^4 = (2y - x)(2y + x)(4y^2 + x^2). \]

Solución del Ejercicio c)

Reconozca un trinomio cuadrado perfecto:

\[ 36y^2 - 60xy + 25x^2 = (6y)^2 - 2 \cdot (6y) \cdot (5x) + (5x)^2. \]

Usando la fórmula del cuadrado de un binomio \( a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \), obtenemos:

\[ 36y^2 - 60xy + 25x^2 = (6y - 5x)^2. \]

Solución del Ejercicio d)

Factorice \( \tfrac12 \):

\[ \tfrac12 x^2 + x + \tfrac12 = \tfrac12 \bigl( x^2 + 2x + 1 \bigr). \]

Note que \( x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \). Por lo tanto:

\[ \tfrac12 x^2 + x + \tfrac12 = \tfrac12 \, (x + 1)^2. \]

Solución del Ejercicio e)

Factorice \( -1 \) y reconozca una suma de cubos:

\[ -y^3 - 64 = -\bigl( y^3 + 4^3 \bigr). \]

Aplique la fórmula de suma de cubos \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \):

\[ -y^3 - 64 = -\bigl( y + 4 \bigr) \bigl( y^2 - 4y + 16 \bigr). \]

Solución del Ejercicio f)

Primero escriba como una diferencia de cuadrados:

\[ x^6 - 1 = (x^3)^2 - 1^2 = (x^3 - 1)(x^3 + 1). \]

Luego factorice cada uno como diferencia o suma de cubos:

\[ x^3 - 1 = (x - 1)\bigl( x^2 + x + 1 \bigr), \quad x^3 + 1 = (x + 1)\bigl( x^2 - x + 1 \bigr). \]

Así:

\[ x^6 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1). \]