Resuelva ecuaciones trigonométricas
ejemplos con soluciones detalladas

¿Cómo resolver ecuaciones trigonométricas? Las preguntas de trigonometría de Grado 11 se presentan junto con soluciones detalladas y explicaciones.

Ejemplo 1: Encuentra todas las soluciones de la ecuación trigonométrica

√3 sec(θ) + 2 = 0

Solución:

Usando la identidad trigonométrica sec(θ) = 1 / cos(θ), reescribimos la ecuación en la forma

cos(θ) = - √3 / 2

Encuentre la referencia θr ángulo resolviendo cos(θr) = √3 / 2 por θr agudo.

θr = π/6

Use el ángulo de referencia θ r para determinar las soluciones θ1 e θ2 en el intervalo [0,2π) de la ecuación dada. La ecuación cos (θ) = - √3 / 2 sugiere que cos(θ) es negativo y eso significa el lado terminal del ángulo θ La solución a la ecuación dada está en los cuadrantes II o III como se muestra a continuación usando el círculo unitario.

solución gráfica de cos (x) = - sqrt(3) / 2 en un círculo unitario

De ahí las soluciones:

θ1 = π - θr = π - π/6 = 5π/6

θ2 = π + θr = π + π/6 = 7π/6

Use las soluciones en el intervalo [0, 2 y pi;) para encontrar todas las soluciones agregando múltiplos de 2π como sigue:

θ1 = 5π/6 + 2nπ , n = 0, ~+mn~ 1 , ~+mn~ 2, ...

θ2 = 7π/6 + 2nπ , n = 0, ~+mn~ 1 , ~+mn~ 2, ...

A continuación se muestran las soluciones gráficas en el intervalo [0 , 2π)

solución gráfica de cos (x) = - sqrt(3) / 2 .



Ejemplo 2: Resuelve la ecuación trigonométrica

2 sin(θ) = -1

Solución:

Reescribe la ecuación anterior en forma simple como se muestra a continuación.

sin(θ) = -1/2

Encuentre el ángulo de referencia θr resolviendo sin(θ) = 1/2 for θr agudo.

θr = π/6

Utilice el ángulo de referencia θr para determinar las soluciones θ1 e θ2 en el intervalo [0,2 π) de la ecuación dada. La ecuación sin (θ) = - 1/2 sugiere que sin (θ) es negativo y eso significa el lado terminal del ángulo θ está en los cuadrantes III o VI como se muestra en el círculo unitario a continuación.

solución gráfica de sin (x) = - 1/2 en un círculo unitario

De ahí las soluciones:

θ1 = π + θr = 7π/6

θ2 = 2π - θr = 11π/6

Use las soluciones en el intervalo [0, 2π) para encontrar todas las soluciones agregando múltiplos de 2π como sigue:

θ1 = 7π/6 + 2nπ , n = 0, ~+mn~ 1 , ~+mn~ 2, ...

θ2 = 11π/6 + 2nπ , n = 0, ~+mn~ 1 , ~+mn~ 2, ...

graphical solution of sin(x) = - 1/2 .



Ejemplo 3: Resuelve la ecuación trigonométrica

√2 cos(3x + π/4) = - 1

Solución:

Let θ = 3x + π/4 y reescribe la ecuación en forma simple.

√2 cos(θ) = - 1

cos(θ) = -1/√2

Encuentre el ángulo de referencia θr resolviendo cos (θ) = 1/√2 para θr aguda .

θr = π/4

Use el ángulo de referencia θr para determinar las soluciones θ1 e θ2 en el intervalo [0, 2π) de la ecuación dada. La ecuación cos(θ) = - 1 / √2 sugiere que cos(θ) es negativo y eso significa el lado terminal del ángulo θ está en los cuadrantes II o III. Por lo tanto, las dos soluciones de la ecuación cos(θ) = - 1/√2 en el intervalo [0, 2π) están dadas por

θ1 = π - θr = 3π/4

θ2 = π + θr = 5π/4

Ahora escribimos las soluciones generales agregando múltiplos de 2π como sigue:

θ1 = 3π/4 + 2nπ , n = 0, ~+mn~ 1 , ~+mn~ 2, ...

θ2 = 5π/4 + 2nπ , n = 0, ~+mn~ 1 , ~+mn~ 2, ...

Ahora sustituimos θ1 e θ2 por la expresión 3x + π/4

3x + π/4 = 3π/4 + 2nπ

3x + π/4 = 5π/4 + 2nπ

y resuelve x para obtener las soluciones para x.

x = π/6 + 2nπ/3 , n = 0, ~+mn~ 1 , ~+mn~ 2, ...

x = π/3 + 2nπ/3 , n = 0, ~+mn~ 1 , ~+mn~ 2, ...


Ejemplo 4: Resuelve la ecuación trigonométrica

- 2 sin 2x - cos x = - 1

Solución:

La ecuación anterior se puede factorizar si todas las funciones trigonométricas incluidas en esa ecuación son las mismas. Entonces, usando la identidad sin2x = 1 - cos 2 x, podemos reescribir la ecuación anterior usando la misma función trigonométrica cos x de la siguiente manera:

- 2 (1 - cos 2x) - cos x = - 1

Simplifica y reescribe como

2 cos 2x - cos x - 1 = 0

Factoriza el lado izquierdo

(2 cos x + 1)(cos x - 1) = 0

De ahí las dos ecuaciones para resolver

(1) 2 cos x + 1 = 0 and (2) cos x - 1 = 0

Resuelva la ecuación (1) usando el ángulo de referencia como se hizo en los ejemplos anteriores.

cos x = -1/2

x1 = 2π/3 + 2nπ , n = 0, ~+mn~ 1 , ~+mn~ 2, ...

x2 = 4π/3 + 2nπ , n = 0, ~+mn~ 1 , ~+mn~ 2, ...

Resuelve la ecuación (2)

cos x = 1

x3 = 2nπ , n = 0, ~+mn~ 1 , ~+mn~ 2, ...


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Actualizado: 22 Abril 2018 (A Dendane)

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