Problemas de trigonometría de grado 11 con soluciones

a) Sea \( P \) la posición del pasajero (ver figura abajo).

La altura \( h \) del pasajero está dada por:

\[ h = 1 + 25 + y = y + 26 \]

Aquí, \( y \) depende del ángulo de rotación \( A \). Usando trigonometría, escribimos:

\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - A\right) = \dfrac{y}{\text{radio}} = \dfrac{y}{25} \quad \Rightarrow \quad y = 25 \cos(A) \]

El ángulo \( A \) depende de la velocidad angular \( \omega \) de la siguiente manera: \( A = \omega t \).

La velocidad angular \( \omega \) está dada por:

\[ \omega = \dfrac{2\pi}{36} = \dfrac{\pi}{18} \text{ radianes/segundo} \]

Sustituyendo en la expresión para la altura, encontramos:

\[ h(t) = 25 \cos\left(\dfrac{\pi}{18} t\right) + 26 \]

donde \( t \) está en segundos y la altura está en metros.

b) Para encontrar la altura a los \( t = 45 \) segundos:

\[ h(45) = 25 \cos\left(\dfrac{\pi}{18} \cdot 45\right) + 26 = 25 \cos\left(\dfrac{45\pi}{18}\right) + 26 \]

\[ = 25 \cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) + 26 = 25 \cdot 0 + 26 = \mathbf{26 \text{ metros}} \]

Usando la figura a continuación,

Escribimos las siguientes ecuaciones basadas en los triángulos rectángulos formados:

\[ \tan(35^\circ) = \dfrac{h}{x} \quad \text{y} \quad \tan(45^\circ) = \dfrac{h}{x - 20} \]

donde \( h \) es la altura del árbol. Resolviendo ambas ecuaciones para \( x \), obtenemos:

\[ x = \dfrac{h}{\tan(35^\circ)} \quad \text{y} \quad x = \dfrac{h}{\tan(45^\circ)} + 20 \]

Igualando las dos expresiones para \( x \):

\[ \dfrac{h}{\tan(35^\circ)} = \dfrac{h}{\tan(45^\circ)} + 20 \]

Resolviendo para \( h \):

\[ h = \dfrac{20 \cdot \tan(35^\circ) \cdot \tan(45^\circ)}{\tan(45^\circ) - \tan(35^\circ)} = \mathbf{46.7 \text{ metros}} \]

Usando la figura a continuación, escribimos las siguientes ecuaciones basadas en relaciones trigonométricas:

\[ \tan (90^\circ - 15^\circ) = \tan(75^\circ) = \dfrac{y}{200} \quad \text{y} \quad \tan(90^\circ - 13^\circ) = \tan(77^\circ) = \dfrac{y + x}{200} \]

Eliminamos \( y \) de las dos ecuaciones y resolvemos para \( x \):

\[ x = 200 \left[ \tan(77^\circ) - \tan(75^\circ) \right] = \mathbf{119.9 \text{ metros}} \]

Sean \( R_1 \) y \( R_2 \) los radios del engranaje 1 y del engranaje 2. Sean \( S_1 \) y \( S_2 \) los arcos de rotación de los engranajes 1 y 2 respectivamente. Dado que los engranajes interconectados tienen la misma velocidad tangencial (medida en pulgadas por segundo), los arcos \( S_1 \) y \( S_2 \) tienen la misma longitud.

\[ R_1 \times t_1 = R_2 \times t_2 \]

Aquí, \( t_1 \) y \( t_2 \) son los ángulos de rotación de los engranajes mayor y menor, respectivamente.

\[ 10 \times t_1 = 4 \times 890^\circ \]

\[ t_1 = 356^\circ \]

La velocidad angular se calcula como:

\[ \text{Velocidad angular} = \dfrac{356^\circ}{4 \text{ segundos}} = 89^\circ \text{ por segundo} \]

\[ = 89^\circ \times \dfrac{60}{1} = \mathbf{5340^\circ \text{ por minuto}} \]

La escalera, la pared y el suelo forman un triángulo rectángulo. Por lo tanto,

a) \( \sin(t) = \dfrac{x}{20} \) o \( \mathbf{x = 20 \sin(t)} \)

b) \( x = \dfrac{1}{4} \times 20 = 5 \)

Sustituya en la ecuación: \( 5 = 20 \sin(t) \Rightarrow \sin(t) = \dfrac{1}{4} \)

Resuelva para \( t \): \[ t = \arcsin\left(\dfrac{1}{4}\right) \approx \mathbf{14.48^\circ} \]

Comience con el lado derecho:

\[ \cos(x) - \sin(3x) = \cos(x) - \sin(x + 2x) \]

Expanda \( \sin(x + 2x) \):

\[ = \cos(x) - \sin(x)\cos(2x) - \cos(x)\sin(2x) \]

---

Ahora expanda el producto en el lado izquierdo:

\[ [\cos(x) - \sin(x)][\cos(2x) - \sin(2x)] \]

\[ = \cos(x)\cos(2x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) + \sin(x)\sin(2x) \]

Use las identidades \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \) y \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \) para transformar el primer y último término:

\[ = \cos(x)(1 - 2\sin^2(x)) + \sin(x)\cdot 2\sin(x)\cos(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \]

\[ = \cos(x) - 2\cos(x)\sin^2(x) + 2\cos(x)\sin^2(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \]

Los términos \( 2\cos(x)\sin^2(x) \) se cancelan:

\[ = \cos(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \]

El lado izquierdo se ha transformado de modo que coincida con el lado derecho. La demostración está completa.

Expanda y simplifique la primera ecuación usando las identidades de cofunción:

\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\cos(x) + \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\sin(x) = \mathbf{\sin(x) = -\dfrac{3}{5}} \]

Expanda y simplifique la segunda ecuación:

\[ \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) = \sin(x) \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + \cos(x) \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos(x) = \dfrac{4}{5} \]

Ahora calcule \( \tan(x) \):

\[ \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} = \dfrac{-3/5}{4/5} = \mathbf{-\dfrac{3}{4}} \]

La fórmula de suma para la tangente se puede usar al revés aquí:

\[ \dfrac{\tan(25^\circ) + \tan(50^\circ)}{1 - \tan(25^\circ)\tan(50^\circ)} = \tan(25^\circ + 50^\circ) \]

\[ = \tan(75^\circ) \]

\[ = \tan(45^\circ + 30^\circ) \]

Expanda usando ángulos especiales:

\[ = \dfrac{\tan(45^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)} \]

\[ = \dfrac{1 + \dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}} \]

Multiplique el numerador y el denominador por 3:

\[ = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \]

Racionalice el denominador:

\[ = \mathbf{\sqrt{3} + 2} \]

Dado \( \sin(s) = 1/4 \) y \( \sin(t) = -1/2 \), y sus respectivos cuadrantes, use la identidad pitagórica para encontrar \( \cos(s) \) y \( \cos(t) \).

\[ \cos(s) = -\dfrac{\sqrt{15}}{4} \quad \text{y} \quad \cos(t) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Ahora expandimos la fórmula de suma de tangentes usando seno y coseno:

\[ \tan(s + t) = \dfrac{\sin(s + t)}{\cos(s + t)} \]

\[ = \dfrac{\sin(s)\cos(t) + \cos(s)\sin(t)}{\cos(s)\cos(t) - \sin(s)\sin(t)} \]

Sustituya los valores:

\[ = \dfrac{ (\dfrac{1}{4})(\dfrac{\sqrt{3}}{2}) + (-\dfrac{\sqrt{15}}{4})(-\dfrac{1}{2}) }{ (-\dfrac{\sqrt{15}}{4})(\dfrac{\sqrt{3}}{2}) - (\dfrac{1}{4})(-\dfrac{1}{2}) } \]

\[ = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{8} + \dfrac{\sqrt{15}}{8}}{-\dfrac{\sqrt{45}}{8} + \dfrac{1}{8}} \]

Multiplique por 8 y simplifique \( \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \):

\[ = \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{1 - 3\sqrt{5}} \]

Racionalizando el denominador se obtiene:

\[ = \mathbf{-\dfrac{4\sqrt{3} + \sqrt{15}}{11}} \]

Primero, reduzca el ángulo a un cuadrante conocido:

\[ \cos\left(\dfrac{13\pi}{12}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{12} + \pi\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \]

Ahora aplique la fórmula del ángulo medio ya que \( \dfrac{\pi}{12} \) es la mitad de \( \dfrac{\pi}{6} \):

\[ = -\cos\left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(1 + \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)} \]

Sustituya \( \cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2 \):

\[ = -\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)} \]

\[ = \mathbf{-\sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}}} \]

La función \( f \) está dada de la forma:

\[ f(x) = a \sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2 \]

Esto representa un desplazamiento vertical de la gráfica de \( g(x) \) hacia arriba de 2 unidades. Nos dan el valor \( f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1 \).

Sustituya \( x = \dfrac{\pi}{2} \) en la función:

\[ 1 = a \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2 \]

\[ 1 = a \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) + 2 \]

Usando el valor conocido \( \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} \), obtenemos:

\[ 1 = a \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \]

\[ a \cdot \dfrac{1}{2} = -1 \quad \Rightarrow \quad a = -2 \]

Ecuación final:

\[ \mathbf{f(x) = -2 \sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2} \]

La forma general de la función está dada por:

\[ y = A \sin(Bx - C) + D \]

Del problema, sabemos que: Amplitud \( A = 5/3 \), Desplazamiento vertical \( D = 4 \), y Desfase \( C = 0 \).

Se nos dice que el período es \( \pi/2 \). La relación entre el período y \( B \) es:

\[ \text{Período} = \dfrac{2\pi}{B} = \dfrac{\pi}{2} \]

Resolviendo para \( B \):

\[ B = 4 \]

Sustituya \( A \), \( B \) y \( D \) en la función:

\[ \mathbf{y = \dfrac{5}{3} \sin(4x) + 4} \]

Para encontrar la longitud del lado \( a \), aplicamos la ley de los cosenos:

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \]

\[ a^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos(46^\circ) \]

\[ a = \sqrt{16 + 64 - 64 \cos(46^\circ)} \approx 5.963 \]

Luego, usamos la ley de los senos para encontrar el ángulo \( B \):

\[ \dfrac{\sin(B)}{b} = \dfrac{\sin(A)}{a} \]

\[ \dfrac{\sin(B)}{4} = \dfrac{\sin(46^\circ)}{5.963} \]

Resolviendo para el ángulo \( B \), obtenemos:

\[ B = \arcsin\left( \dfrac{4 \sin(46^\circ)}{5.963} \right) \approx \mathbf{29^\circ} \text{ (redondeado al grado más cercano)} \]

Note que:

\[ 15^2 = 12^2 + 9^2 \quad (225 = 144 + 81) \]

Esto significa que el triángulo en cuestión es un triángulo rectángulo. El ángulo más grande es exactamente de \( \mathbf{90^\circ} \).

Sea el ángulo \( A \) el ángulo opuesto al lado de longitud 9. Usando SOH CAH TOA:

\[ \sin(A) = \dfrac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \dfrac{9}{15} \]

El ángulo \( A \) es aproximadamente \( \mathbf{37^\circ} \) (redondeado al grado más cercano).

El tercer ángulo es:

\[ 90^\circ - 37^\circ = \mathbf{53^\circ} \]

Paso 1: Use la identidad pitagórica \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \) para escribir la ecuación completamente en términos del seno.

\[ 2(1 - \sin^2(x)) + \sin(x) = 1 \]

\[ 2 - 2\sin^2(x) + \sin(x) = 1 \]

Paso 2: Mueva todos los términos a un lado para formar una ecuación cuadrática estándar igualada a cero.

\[ 2\sin^2(x) - \sin(x) - 1 = 0 \]

Paso 3: Factorice la expresión cuadrática. Trate a \( \sin(x) \) como una variable.

\[ (2\sin(x) + 1)(\sin(x) - 1) = 0 \]

Paso 4: Resuelva cada factor para \( x \) en el intervalo \( [0, 2\pi) \).

Caso 1: \( 2\sin(x) + 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = -1/2 \)

\[ \Rightarrow x = \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6} \]

Caso 2: \( \sin(x) - 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = 1 \)

\[ \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} \]

Respuesta: \( \mathbf{x = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}} \)

Paso 1: Combine las dos fracciones encontrando un denominador común, el cual es \( \sin(x)\cos(x) \).

\[ \dfrac{\sin(3x)\cos(x) - \cos(3x)\sin(x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

Paso 2: Note que el numerador es exactamente la forma expandida de la identidad de la diferencia de senos: \( \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \).

\[ = \dfrac{\sin(3x - x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

\[ = \dfrac{\sin(2x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

Paso 3: Aplique la identidad de ángulo doble para el seno en el numerador: \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \).

\[ = \dfrac{2\sin(x)\cos(x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

Paso 4: Cancele los términos comunes.

Respuesta: \( \mathbf{2} \)

Paso 1: Para encontrar el área usando \( \text{Área} = \dfrac{1}{2}ab\sin(C) \), primero necesitamos encontrar el ángulo \( C \). Podemos usar la Ley de los Cosenos para esto.

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \]

\[ 8^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos(C) \]

\[ 64 = 25 + 49 - 70\cos(C) \]

\[ 64 = 74 - 70\cos(C) \]

\[ -10 = -70\cos(C) \Rightarrow \cos(C) = \dfrac{1}{7} \]

Paso 2: Ahora use la identidad pitagórica para encontrar \( \sin(C) \). Dado que \( C \) es un ángulo en un triángulo, \( \sin(C) \) debe ser positivo.

\[ \sin(C) = \sqrt{1 - \cos^2(C)} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{1}{7}\right)^2} \]

\[ \sin(C) = \sqrt{\dfrac{48}{49}} = \dfrac{\sqrt{16 \cdot 3}}{7} = \dfrac{4\sqrt{3}}{7} \]

Paso 3: Calcule el área.

\[ \text{Área} = \dfrac{1}{2}ab\sin(C) = \dfrac{1}{2}(5)(7)\left(\dfrac{4\sqrt{3}}{7}\right) \]

Los 7 se cancelan, y \( \dfrac{1}{2} \cdot 4 = 2 \).

\[ \text{Área} = 5 \cdot 2\sqrt{3} = \mathbf{10\sqrt{3}} \]