Problemas de Trigonometría y Preguntas con Soluciones - Grado 11

Grado 11 problemas de trigonometría y se presentan preguntas con respuestas y soluciones .

  1. Una noria con un radio de 25 metros hace una rotación cada 36 segundos. En la parte inferior del viaje, el pasajero está a 1 metro del suelo.


    a) Sea h la altura, sobre el nivel del suelo, de un pasajero. Determine h como una función del tiempo si h = 51 metros en t = 0.


    b) Encuentra la altura h después de 45 segundos.

  2. Linda mide el ángulo de elevación desde un punto en el suelo hasta la parte superior del árbol y encuentra que es 35°. Luego camina 20 metros hacia el árbol y encuentra que el ángulo de elevación desde este nuevo punto hasta la parte superior del árbol es 45°. Encuentra la altura del árbol. (Respuesta redonda a tres dígitos significativos)

  3. Desde la cima de un acantilado de 200 metros de altura, los ángulos de depresión de dos barcos de pesca en la misma línea de visión sobre el agua son 13° y 15°. ¿Qué tan separados están los barcos? (Redondea tu respuesta a 4 dígitos significativos)

  4. Pruebalo [ cos(x) - sin(x) ][ cos(2x) - sin(2x) ] = cos(x) - sin(3x)

  5. La gráfica de la función f es la gráfica de la función g (x) = a sin(x - π/3) traducida verticalmente por 2. También f(π/2) = 1. Encuentre una fórmula en términos de x para la función f.

  6. Encuentra sin(x) e tan(x) si cos (π/2 - x) = - 3/5 y sin (x + π/2) = 4/5?

  7. Encuentre el valor exacto de[ tan (25°)+ tan (50° ] / [ 1 - tan( 25°) tan(50° ]

  8. ¿Cuál es el ángulo B del triángulo ABC, dado que A = 46°, b = 4 yc = 8? (Nota: el lado a forma ángulo A, el lado b se enfrenta al ángulo B y el lado c DO).

  9. Halla el valor exacto de tan(s + t) dado que sin s = 1/4, con s en el cuadrante 2, y sin t = -1/2, con t en el cuadrante 4.

  10. Encuentra todos los ángulos de un triángulo con lados 9, 12 y 15.

  11. Escribe una ecuación para una función sinusoidal con una amplitud de 5/3, un período de π/2 y un desplazamiento vertical de 4 unidades hacia arriba.

  12. Encuentra los valores exactos de cos (13π/12).

  13. Dos engranajes están interconectados. El engranaje más pequeño tiene un radio de 4 pulgadas, y el engranaje más grande tiene un radio de 10 pulgadas. El engranaje más pequeño gira 890 grados en 4 segundos. ¿Cuál es la velocidad angular, en grados por minuto, de la rotación más grande?

  14. Una escalera de 20 metros de largo descansa contra la pared. La base de la escalera está a x metros de la base de la pared y el ángulo formado por la pared y la escalera es t.

    a) Encuentre x en términos de t.

    b) Comenzando desde t = 0 (la escalera contra la pared) y luego gradualmente aumente el ángulo t; ¿para qué tamaño de ángulo t será x el cuarto de la longitud de la escalera?

Soluciones a los problemas anteriores

  1. a) Deje que P sea la posición del pasajero (vea la figura a continuación)

    solución de problema de noria.



    La altura h del pasajero está dada por

    h = 1 + 25 + y = y + 26

    y depende del ángulo de rotación A.

    sin(π/2 - A) = y/25 lo que da y = 25 cos(A)

    El ángulo A depende de la velocidad angular w de la siguiente manera

    A = w t donde t es el tiempo.

    La velocidad angular w viene dada por

    w = 2π/36 = π/18 (radianes / segundo)

    Ahora sustituimos para encontrar h de la siguiente manera h(t) = 25 cos( (π/18) t) + 26 , donde t es en segundos e y en metros.

    b) h(45) = 25 cos( (π/18) 45) + 26 = 25 cos(3π/2) + 26 = 26 metros.

  2. Usando la siguiente figura, escribimos las siguientes ecuaciones:

    tan(35°) = h / x and tan(45°) = h / (x - 20) , donde h es la altura del árbol.

    Resuelve ambas ecuaciones para x para encontrar

    x = h / tan(35°) e x = h / tan(45°) + 20

    Lo que da h / tan(35°) = h / tan(45°) + 20

    Resolver para h; h = [ 20 tan(35°) tan(45°) ] / [ tan(45°) - tan(35°) ] = 46.7 metros (3 dígitos significativos)

    solución de problema de árbol.


  3. Usando la siguiente figura, escribimos las siguientes ecuaciones:

    tan(75°) = y / 200 e tan(77°) = (y + x) / 200

    Elimina y de las dos ecuaciones y resuelve para x: x = 200 [ tan(77°) - tan(75°) ] = 119.9 metros (redondeados a 4 figuras significativas)

    solución de problema de barco.


  4. Comience con el lado derecho: cos(x) - sin(3x) = cos(x) - sin( x + 2x)

    = cos(x) - sin(x)cos(2x) - cos(x)sin(2x)

    Ahora expandimos el lado izquierdo: [ cos(x) - sin(x) ][ cos(2x) - sin(2x) ]

    = cos(x) cos(2x) - cos(x) sin(2x) - sin(x) cos(2x) + sin(x) sin(2x)

    Usa las identidades cos(2x) = 1 - 2 sin2 and sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) para transformar los primeros dos términos (solo) en la expresión anterior.

    = cos(x)(1 - 2 sin2) + sin(x) 2 sin(x) cos(x) - cos(x) sin(2x) - sin(x) cos(2x)

    = cos(x) - 2 cos(x) sin2 + 2 cos(x) sin2 - cos(x) sin(2x) - sin(x) cos(2x)

    = cos(x) - cos(x) sin(2x) - sin(x) cos(2x)

    El lado izquierdo se ha transformado para que sea igual al lado derecho.

  5. f tiene la siguiente forma f(x) = a sin(x - π/3) + 2: gráfica de desplazamiento de g 2 unidades hacia arriba.

    f(π/2) = a sin(π/2 - π/3) + 2 = 1

    Resuelve para encontrar a = -2

    f(x) = -2 sin(x - π/3) + 2

  6. Expandir y simplificar: cos(π/2 - x) = cos(π/2)cos(x) + sin(π/2)sin(x) = sin(x) = -3/5

    Expandir y simplificar: sin(x + π/2) = sin(x) cos(π/2) + cos(x) sin(π/2) = cos(x) = 4/5

    tan(x) = sin(x) / cos(x) = (-3/5) / (4/5) = -3/4

  7. La fórmula de adición para la tangente se puede usar para escribir

    [ tan (25°)+ tan (50°) ] / [ 1 - tan( 25°) tan(50°) ] = tan(25° + 50°)

    = tan(75°)

    = tan(45° + 30°)

    = [ tan(45°) + tan(30°) ] / [1 - tan(45°)tan(30°) ]

    = [ 1 + √(3) / 3 ] / [ 1 - 1*√(3) / 3 ]

    = √(3) + 2

  8. Usa la regla del coseno para encontrar el lado a

    a = √(16 + 64 - 2*4*8*cos(46°))

    Ahora usamos la regla sinusoidal para encontrar el ángulo B de la siguiente manera

    sin(B) / 4 = sin(A) / a

    B = arcsin (4 sin(A) / a) = 29° (rounded to the nearest unit)

  9. Dado sin(s) = 1/4 e sin(t) = -1/2 y sus cuadrantes, encuentran cos(s) and cos(t).

    cos(s) = - √(15) / 4 and cos(t) = √(3) / 2

    Ahora expandimos:

    tan (s + t) = sin(s + t) / cos(s + t)

    = [ sin(s)cos(t) + cos(s)sin(t) ] / [ cos(s)cos(t) - sin(s)sin(t) ]

    Sustituir

    = - [ 4 √(3) + √(15) ] / 11

  10. Tenga en cuenta que 152 = 122 + 92 lo que significa que el triángulo en cuestión es un triángulo rectángulo.

    Deje A ser el lado orientado hacia el ángulo con longitud 9; por lo tanto, sin(A) = 9/15

    A = 37° (redondeado al grado más cercano)

    El tercer ángulo = 90° - 37° = 53°

  11. y = (5/3) sin(B x) + 4 , B > 0

    2 π/B = π/2 , Resolver B: B = 4

    y = (5/3) sin(4 x) + 4

  12. cos(13 π/12) = cos(π/12 + π) = - cos(π/12)

    = - cos( (1/2)(π/6) ) = - √ [ ( (1/2)(1 + cos(π/6)) ] fórmula de medio ángulo

    = - √[ 1/2 + √(3)/4 ]



  13. Deje que R1 y R2 sean los radios del engranaje 1 y 2. Deje que S1 y S2 sean los arcos de rotación de los engranajes 1 y 2. Los engranajes interconectados tienen la misma velocidad tangencial (medida en pulgadas / segundo), por lo tanto los arcos S1 y S2 son iguales en longitud.

    R1 * t1 = R2 * t2

    t1 e t2 son los ángulos de rotación de los engranajes más grandes y más pequeños, respectivamente.

    10 * t1 = 4 * 890°

    t1 = 356°

    Velocidad angular = 356°/4 segundos = 89°/segundo

    = 89° * 60/(1 segundo * 60) = 5340°/minuto

    solución de problema de engranaje.


  14. La escalera, la pared y el suelo convierten a la derecha en un triángulo rectángulo. Por lo tanto

    a) tan(t) = x / 20 o x = 20 tan(t)

    b) x = (1/4) 20 = 20 tan(t) Resolver para t: t = arctan(1/4) = 14° (redondeado a 2 dígitos significativos)


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