Problemas de Trigonometría de Grado 11 con Soluciones
Se presentan problemas y preguntas de trigonometría para grado 11 con respuestas y soluciones.
Problema 1
Una rueda de la fortuna con un radio de 25 metros realiza una rotación completa cada 36 segundos. En la parte inferior del viaje, el pasajero está a 1 metro sobre el suelo.
a) Sea \( h \) la altura, sobre el suelo, de un pasajero. Determine \( h \) como función del tiempo si \( h = 51\) metros en \( t = 0\).
b) Encuentre la altura h después de 45 segundos.
a) Sea \( P \) la posición del pasajero (ver figura).
La altura \( h \) del pasajero es:
\[ h = 1 + 25 + y = y + 26 \]Aquí, \( y \) depende del ángulo de rotación \( A \). Usando trigonometría:
\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - A\right) = \dfrac{y}{25} \quad \Rightarrow \quad y = 25 \cos(A) \]El ángulo \( A \) depende de la velocidad angular \( \omega \):
\[ A = \omega t \]La velocidad angular \( \omega \) es:
\[ \omega = \dfrac{2\pi}{36} = \dfrac{\pi}{18} \text{ radianes/segundo} \]Sustituyendo en la expresión para la altura:
\[ h(t) = 25 \cos\left(\dfrac{\pi}{18} t\right) + 26 \]b) Para \( t = 45 \) segundos:
\[ h(45) = 25 \cos\left(\dfrac{\pi}{18} \cdot 45\right) + 26 = 25 \cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) + 26 = 25 \cdot 0 + 26 = 26 \text{ metros} \]Problema 2
Linda mide el ángulo de elevación desde un punto en el suelo hasta la cima de un árbol y encuentra que es \( 35^{\circ} \). Luego camina 20 metros hacia el árbol y encuentra que el ángulo de elevación desde este nuevo punto es \( 45^{\circ} \). Encuentre la altura del árbol. (Redondee a tres cifras significativas)
Con la figura, escribimos:
\[ \tan(35^\circ) = \dfrac{h}{x} \quad \text{y} \quad \tan(45^\circ) = \dfrac{h}{x - 20} \]donde \( h \) es la altura del árbol. Resolviendo para \( x \):
\[ x = \dfrac{h}{\tan(35^\circ)} \quad \text{y} \quad x = \dfrac{h}{\tan(45^\circ)} + 20 \]Igualando:
\[ \dfrac{h}{\tan(35^\circ)} = \dfrac{h}{\tan(45^\circ)} + 20 \]Resolviendo para \( h \):
\[ h = \dfrac{20 \cdot \tan(35^\circ) \cdot \tan(45^\circ)}{\tan(45^\circ) - \tan(35^\circ)} = 46.7 \text{ metros (3 cifras significativas)} \]Problema 3
Desde la cima de un acantilado de \( 200 \) metros de altura, los ángulos de depresión de dos barcos de pesca en la misma línea de visión sobre el agua son \( 13^{\circ} \) y \( 15^{\circ} \). ¿Qué tan separados están los barcos? (Redondee a 4 cifras significativas)
Con la figura:
\[ \tan(75^\circ) = \dfrac{y}{200} \quad \text{y} \quad \tan(77^\circ) = \dfrac{y + x}{200} \]Eliminando \( y \) y resolviendo para \( x \):
\[ x = 200 \left[ \tan(77^\circ) - \tan(75^\circ) \right] = 119.9 \text{ metros (4 cifras significativas)} \]Problema 4
Demuestre que \[ \left( \cos(x) - \sin(x) \right) \left( \cos(2x) - \sin(2x) \right) = \cos(x) - \sin(3x) \]
Comenzando con el lado derecho:
\[ \cos(x) - \sin(3x) = \cos(x) - \sin(x + 2x) = \cos(x) - \sin(x)\cos(2x) - \cos(x)\sin(2x) \]Expandimos el producto del lado izquierdo:
\[ [\cos(x) - \sin(x)][\cos(2x) - \sin(2x)] = \cos(x)\cos(2x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) + \sin(x)\sin(2x) \]Usando identidades:
\[ = \cos(x)(1 - 2\sin^2(x)) + 2\sin^2(x)\cos(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \] \[ = \cos(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \]Que es igual al lado derecho.
Problema 5
La gráfica de la función \( f \) es la gráfica de \( g(x) = a \sin \left(x - \dfrac{\pi}{3} \right) \) trasladada verticalmente \( + 2 \). Además, \( f(\dfrac{\pi}{2}) = 1 \). Encuentre una fórmula para \( f \) en términos de \( x \).
La función es:
\[ f(x) = a \sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2 \]Dado \( f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1 \):
\[ f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = a \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2 = a \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) + 2 = a \cdot \dfrac{1}{2} + 2 = 1 \]Resolviendo: \( a = -2 \).
Por lo tanto:
\[ f(x) = -2 \sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2 \]Problema 6
Encuentre \( \sin(x) \) y \( \tan(x) \) si \( \cos \left(\dfrac{\pi}{2} - x \right) = - 3/5 \) y \( \sin \left(x + \dfrac{\pi}{2} \right) = 4/5 \).
Expandimos:
\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x) = -\dfrac{3}{5} \] \[ \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) = \cos(x) = \dfrac{4}{5} \]Entonces:
\[ \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} = \dfrac{-3/5}{4/5} = -\dfrac{3}{4} \]Problema 7
Encuentre el valor exacto de \[ \dfrac{\tan (25^{\circ})+ \tan (50^{\circ})}{1 - \tan( 25^{\circ}) \tan(50^{\circ})} \]
Usando la fórmula de adición de tangente:
\[ = \tan(25^\circ + 50^\circ) = \tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) \] \[ = \dfrac{\tan(45^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)} = \dfrac{1 + \sqrt{3}/3}{1 - \sqrt{3}/3} = \sqrt{3} + 2 \]Problema 8
¿Cuál es el ángulo \( B \) del triángulo \( ABC \), dado que \( A = 46^\circ \), \( b = 4 \) y \( c = 8\)? (Nota: el lado \( a \) se opone al ángulo \( A \), el lado \( b \) al ángulo \( B \) y el lado \( c \) al ángulo \( C \)).
Usando la regla del coseno para \( a \):
\[ a^2 = 4^2+ 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos(46^\circ) \] \[ a = \sqrt{16 + 64 - 64 \cos(46^\circ)} \]Usando la regla del seno:
\[ \dfrac{\sin(B)}{4} = \dfrac{\sin(46^\circ)}{a} \quad \Rightarrow \quad B = \arcsin\left( \dfrac{4 \sin(46^\circ)}{a} \right) \approx 29^\circ \]Problema 9
Encuentre el valor exacto de \( \tan (s + t) \) dado que \( \sin s = 1/4 \), con \( s \) en el cuadrante 2, y \( \sin t = -1/2 \), con \( t \) en el cuadrante 4.
Dados los cuadrantes:
\[ \cos(s) = -\sqrt{1 - (1/4)^2} = -\dfrac{\sqrt{15}}{4}, \quad \cos(t) = \sqrt{1 - (-1/2)^2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]Entonces:
\[ \tan(s + t) = \dfrac{\sin(s)\cos(t) + \cos(s)\sin(t)}{\cos(s)\cos(t) - \sin(s)\sin(t)} = \dfrac{(1/4)(\sqrt{3}/2) + (-\sqrt{15}/4)(-1/2)}{(-\sqrt{15}/4)(\sqrt{3}/2) - (1/4)(-1/2)} = -\dfrac{4\sqrt{3} + \sqrt{15}}{11} \]Problema 10
Encuentre todos los ángulos de un triángulo con lados \( 9 \), \( 12 \) y \( 15 \).
Notamos que \( 15^2 = 12^2 + 9^2 \), así que es un triángulo rectángulo.
Sea \( A \) el ángulo opuesto al lado 9:
\[ \sin(A) = \dfrac{9}{15} \quad \Rightarrow \quad A \approx 37^\circ \]El tercer ángulo es \( 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ \).
Problema 11
Escriba una ecuación para una función seno con amplitud \( 5/3 \), período \( \pi/2 \) y desplazamiento vertical de \( 4 \) unidades hacia arriba.
La función es:
\[ y = \dfrac{5}{3} \sin(Bx) + 4 \]El período es \( \dfrac{2\pi}{B} = \dfrac{\pi}{2} \), así que \( B = 4 \).
Por lo tanto:
\[ y = \dfrac{5}{3} \sin(4x) + 4 \]Problema 12
Encuentre el valor exacto de \( \cos \left(\dfrac{13 \pi}{12} \right) \).
Problema 13
Dos engranajes están interconectados. El engranaje pequeño tiene un radio de \( 4 \) pulgadas, y el grande tiene un radio de \( 10 \) pulgadas. El engranaje pequeño gira \( 890^{\circ} \) en 4 segundos. ¿Cuál es la velocidad angular, en grados por minuto, del engranaje grande?
Los arcos son iguales:
\[ R_1 \times t_1 = R_2 \times t_2 \quad \Rightarrow \quad 10 \times t_1 = 4 \times 890^\circ \] \[ t_1 = 356^\circ \]Velocidad angular:
\[ \dfrac{356^\circ}{4 \text{ s}} = 89^\circ/\text{s} = 89 \times 60 = 5340^\circ/\text{min} \]Problema 14
Una escalera de \( 20 \) metros está apoyada contra la pared. La base de la escalera está a \( x \) metros de la base de la pared, y el ángulo entre la pared y la escalera es \( t \).
a) Encuentre \( x \) en términos de \( t \).
b) Partiendo de \( t = 0 \) (escalera completamente contra la pared), ¿para qué valor de \( t \) será \( x \) un cuarto de la longitud de la escalera?
a) \( \sin(t) = \dfrac{x}{20} \) o \( x = 20 \sin(t) \)
b) \( x = \dfrac{1}{4} \times 20 = 5 \), entonces:
\[ 5 = 20 \sin(t) \quad \Rightarrow \quad t = \arcsin\left(\dfrac{1}{4}\right) \approx 14.48^\circ \]