Problemas sobre líneas en geometría 3D con soluciones detalladas

Se presentan problemas en líneas 3D con soluciones detalladas.

  1. Escribe la ecuación de la línea dada en forma de vector por < x , y , z > = < -2 , 3 , 0 > + t < 3 , 2 , 5 > en formas paramétricas y simétricas.

  2. Encuentra la forma simétrica de la ecuación de la línea a través del punto P(1 , - 2 , 3) e paralelo al vector n = < 2, 0 , -3 >.

  3. Encuentra las ecuaciones paramétricas de la línea a través de los dos puntos P(1 , 2 , 3) e Q(0 , - 2 , 1).

  4. ¿Cuál de los puntos A(3 , 4 , 4) , B(0 , 5 , 3) e C(6 , 3 , 7) está en línea con las ecuaciones paramétricas x = 3t + 3, y = - t + 4 e z = 2t + 5?

  5. Encuentra las ecuaciones paramétricas de la línea a través del punto P(-3 , 5 , 2) y paralelo a la línea con la ecuación x = 2 t + 5, y = -4 t e z = -t + 3.

  6. Encuentre la ecuación de una línea a través de P (1, - 2, 3) y perpendicular a dos las líneas L1 e L2 dadas por:
    L1: (x - 2) / 3 = (y + 1) / (-4) = (z + 9) / 4
    L2: x = 3t - 4 , y = - t + 6 e z = 5t .

  7. Encuentre el punto de intersección de las líneas L1 y L 2 en 3D definido por:
    L1 (en forma paramétrica): x = 2t - 1 , y = -3 t + 2 and z = 4 t -3
    L2 (en forma simétrica) : (x - 7) / 4 = (y + 2) / 2 = (z - 2)/(-3)

  8. Encuentre el ángulo entre las líneas L1 y L2 con ecuaciones simétricas:
    L1: (x - 1) / 2 = (y + 2) / (-2) = z / -(4)
    L2 = (x + 3) / 6 = (y + 2) / 2 = (z - 1) / 2

  9. Demuestre que las ecuaciones simétricas dadas a continuación son las de la misma línea.
    L1: (x - 2) / (- 1) = y / 2 = (z + 1) / 4
    L2 = (x - 1) / (-2) = (y - 2) / 4 = (z - 3) / 8

  10. Encuentre la distancia entre el punto P 0 (1, - 2, 3) y la línea con la ecuación del vector: < x , y , z > = < 2 , 3, 0 > + t < -2 , 3 , 1 >

  11. Encuentra la distancia más corta entre las dos líneas L1 y L2 definidas por sus ecuaciones:
    L1: = < 2 , 0 , -1 > + t < -1 , 4 , -4 >
    L2: = < 1 , - 2 , 3 > + m < - 5 , 2 , - 2 >

  12. Encuentre el valor de b para que las líneas L1 y L2 dadas por sus ecuaciones a continuación sean paralelas.
    L1: = < 2 , 0 , -1 > + t < 10 , b , 4 >
    L2: = < 1 , - 2 , 3 > + m < - 5 , 2 , - 2 >

  13. Encuentre la ecuación de una línea a través del punto P (1, -2, 3) e interseca y es perpendicular a la línea con la ecuación paramétrica x = - 3 + t, y = 3 + t, z = -1 + t. Encuentra el punto de intersección de las dos líneas.

Soluciones a las preguntas anteriores

  1. Solución
    dado: < x , y , z > = < -2 , 3 , 0 > + t < 3 , 2 , 5 >
    igualdad de los componentes del vector de la ecuación del vector anterior dan: x = - 2 + 3 t , y = 3 + 2 t and z = 0 + 5 t
    Resuelve para t cada uno de los anteriores: t = (x + 2) / 3 , t = (y - 3) / 2 and t = z / 5
    Todo igual a t, de ahí la forma simétrica de la ecuación: (x + 2) / 3 = (y - 3) / 2 = z / 5
  2. Solución
    < x , y , z > = <1, -2 , 3> + t <2 , 0 ,-3>
    igualdad de los componentes del vector de la ecuación del vector anterior dan: x = 1 + 2 t , y = - 2 and z = 3 - 3 t
    Resuelve para t cada uno de los anteriores: t = (x - 1) / 2 and t = (z - 3) / - 3
    Forma simétrica de la ecuación: (x - 1) / 2 = (z - 3) / - 3 and y = -2
  3. Solución
    Vector de dirección PQ = <0 - 1 , - 2 - 2 , 1 - 3 > = <-1 , -4 , -2>
    < x , y , z > = <1 , 2 , 3> + t <-1 , -4 , -2>
    igualdad de los componentes del vector de la ecuación del vector anterior dan: x = 1 - t , y = 2 - 4 t and z = 3 - 2 t
  4. Solución
    Escribe la forma de ecuaciones simétricas de la línea: (x - 3)/ 3 = (y - 4) / (-1) = (z - 5) / 2
    Punto A: Sustituye x, y y z en las ecuaciones simétricas por las coordenadas del punto A(3 , 4 , 4).
    (x - 3)/ 3 = (3 - 3)/ 3 = 0
    (y - 4) / (-1) = (4 - 4) / (-1) = 0
    (z - 5) / 2 = (4 - 5) / 2 = - 1 / 2
    La última expresión no es igual a las dos primeras, por lo tanto, A no está en la línea.
    Punto B: Sustituye x, y y z en las ecuaciones simétricas por las coordenadas del punto B(0 , 5 , 3).
    (x - 3)/ 3 = (0 - 3)/ 3 = - 1
    (y - 4) / (-1) = (5 - 4) / (-1) = -1
    (z - 5) / 2 = (3 - 5) / 2 = - 1
    Todas las expresiones son iguales, por lo tanto B está en la línea.
    Punto C: Sustituye x, y e z en las ecuaciones simétricas por las coordenadas del punto B(6 , 3 , 7).
    (x - 3)/ 3 = (6 - 3)/ 3 = 1
    (y - 4) / (-1) = (3 - 4) / (-1) = 1
    (z - 5) / 2 = (7 - 5) / 2 = 1
    Todas las expresiones son iguales, por lo tanto C está en la línea.
  5. Solución
    Escribir línea dada x = 2 t + 5, y = -4 t e z = -t + 3. en forma simétrica:
    (x - 5) / 2 = y / (-4) = (z - 3) / (-1)
    El vector de dirección es : <2 , - 4 , - 1>
    La línea que atraviesa el punto P (-3, 5, 2) es paralela a la línea dada y, por lo tanto, tienen el mismo vector de dirección. De ahí la ecuación vectorial de la línea a través de P:
    x = -3 + 2 t , y = 5 - 4 t , z = 2 - t
  6. Solución
    La línea L (para encontrar) es perpendicular a las líneas L1 y L2 es, por lo tanto, perpendicular a sus vectores de dirección d1 y d2, respectivamente. Por lo tanto, el producto cruzado de d1 y d2 da el vector de dirección de la línea L.
    De la ecuación simétrica de L1: d1 = <3 , -4 , 4>
    Escribe la ecuación de L2 en forma simétrica: (x + 4) / 3 = (y - 6) / (-1) = z / 5
    Direction vector of L2 ; d2 = <3 , -1 , 5>
    El vector de dirección d de L se puede tomar como el producto cruzado de: d = d1 × d2 = <3 , -4 , 4> × <3 , -1 , 5> = <-16 , -3 , 9>
    La ecuación para L a través del punto P (1, - 2, 3) y paralela al vector d viene dada por:
    < x , y , z > = <1 , - 2 , 3> + t <-16 , -3 , 9>
  7. Solución
    L1: x = 2t - 1 , y = -3 t + 2 and z = 4 t -3
    Escriba las ecuaciones de la línea L2 en forma paramétrica utilizando el parámetro s de la siguiente manera:
    x = 4 s + 7 , y = 2 s - 2 , z = -3 s + 2
    Deje que A (x, y, z) sea el punto de intersección de las dos líneas. Para ser un punto de intersección, las coordenadas de A deben satisfacer las ecuaciones de ambas líneas simultáneamente. Por lo tanto

    x coordenadas iguales da ecuación: 2 t - 1 = 4 s + 7

    y coordenadas iguales da la ecuación: -3 t + 2 = 2 s - 2

    z coordenadas iguales da la ecuación: 4 t -3 = -3 s + 2

    Reescribe las primeras dos ecuaciones en t y s de la siguiente manera:
    2 t - 4 s = 8 e - 3 t - 2 s = - 4
    Resuelve para t y s para obtener: t = 2 e s = -1
    Para tener intersección, t = 2 e s = -1 también debe ser Solución a la tercera ecuación 4 t - 3 = -3 s + 2.
    Comprobar: 4(2) - 3 = 5 e - 3(-1) + 2 = 5 e t = 2 e s = - 1 son Soluciones a las tres ecuaciones.
    El punto de intersección se obtiene al usar una de las dos ecuaciones paramétricas de L1 e L2.
    Usando L1: Set t = 2 en las ecuaciones: x = 2t - 1, y = -3 t + 2 e z = 4 t -3 para obtener las coordenadas del punto de intersección: x = 3, y = - 4 y z = 5
    Usando L2 (para verificar) : x = 4 s + 7 , y = 2 s - 2 , z = -3 s + 2 , s = - 1 , da las coordenadas del punto de intersección: x = 3 , y = - 4 and z = 5
  8. Solución
    Sean d1 e d2 los vectores de dirección de L1 e L2.
    Para L1: d1 = <2 , - 2 , - 4>
    Para L2 : d2 = <6 , 2 , 2>
    El ángulo θ entre las líneas L1 y L2 es igual al ángulo entre sus vectores de dirección d1 e d1 que está dado por
    θ = arccos(d1·d2 / |d1| |d2|)
    donde d1 · d2 es el producto escalar de los vectores d1 e d2; | d1 | es la magnitud del vector d1 e | d2 | es la magnitud del vector d2.
    d1·d2 = (2)(6)+(-2)(2)+(-4)(2) = 0
    |d1| e |d2| no son cero, de ahí
    θ = arccos(0) = 90°
    Si las líneas se cruzan, forman un ángulo de 90°. Si no se cruzan, las líneas de intersección paralelas a estas dos líneas forman un ángulo de 90°.
  9. Solución
    Una forma de abordar este problema es mostrar que las dos líneas L1 y L2 tienen dos puntos en común. Reescribe las dos ecuaciones en forma paramétrica como:
    L1: x = 2 - t , y = 2 t , z = - 1 + 4 t
    L2: x = 1 - 2 t , y = 2 + 4 t , z = 3 + 8 t
    Point P1 on L1: (2 , 0 , -1)
    Point P2 on L2: (1 , 2 , 3)
    Verifique que P1 (2, 0, -1) esté en L2 usando las ecuaciones simétricas de L2: (2 - 1) / (-2) = (0 - 2) / 4 = (-1 - 3) / 8 = - 1 / 2 , todos los términos iguales, P1 está en L2.
    Verifique que P2(1 , 2 , 3) esté en L1 usando las ecuaciones simétricas de L1: (1 - 2) / (- 1) = 2 / 2 = (3 + 1) / 4 = 1 , todos los términos son iguales, P2 está en L1.
    P1 está en L1 y L2 y P2 también está en L2 y L1. Las dos ecuaciones son de la misma línea.
  10. Solución
    De acuerdo con la ecuación de la línea, el punto P (2,3,0) está en la línea. La dirección del vector es d = <-2 ,3 , 1>
    La distancia D entre la línea y el punto P0(1 , - 2 , 3) es dado por 1
    D = | P0P × d | / |d|
    P0P = <1 , 5 , -3> , d = <-2 , 3 , 1>
    P0P × d = < 14 , 5 , 13 >
    | P0P × d | = √(14 2 + 5 2 + 13 2) = √390
    |d| = √ (1 2 + 5 2 + (-3) 2) = √ 14
    D = √390 / √ 14 = √195 / √ 7
  11. Solución
    Los puntos P1 (2, 0, -1) y P2 (1, -2, 3) son puntos en L1 y L2, respectivamente. d1 = <-1, 4, -4> y d2 = <-5, 2, -2> son los vectores de dirección de L1 y L2
    La distancia más corta D entre las dos líneas está dada por 1
    D = | n · P1 P2 | / |n|
    donde P1 P2 es el vector definido por los puntos P1 y P2 e n es el producto cruzado de d1 y d2.
    n = d1 × d2 = < -1 , 4 , -4> × <-5 , 2 , -2> = <0 , 18 , 81>
    P1 P2 = < -1 , - 2 , 4 >
    D = | <0 , 18 , 18> · < -1 , - 2 , 4 > | / √(02 + 182 + 182 ) = √ 2
  12. Solución
    Los vectores de dirección deben ser proporcionales < 10 , b , 4 > = k < - 5 , 2 , - 2 >
    10 = - 5 k , k = -2
    4 = k (-2) , k = - 2
    b = k(2) = -2 (2) = -4
  13. Solución
    a) Ecuación de línea que se encuentra: = < 1 , -2 , 3 > + t < a , b , c >
    Perpendicular a : = < - 3 , 3 , -1 > + m <1 , 1 , 1 >
    Aplica condiciones para encontrar a, b y c.
    Intersección da 3 ecuaciones:
    1 + a t = - 3 + m
    -2 + b t = 3 + m
    3 + c t = -1 + m
    agregar lados de las tres ecuaciones para obtener
    1 - 2 + 3 +t (a + b + c) = -1 + 3m
    Vectores de dirección < a , b , c > and <1 , 1 , 1 > son ortogonales, por lo tanto, su producto escalar es cero.
    a + b + c = 0
    La ecuación anterior     1 - 2 + 3 +t (a + b + c) = -1 + 3m   becomes   3m = 3
    Resolver para m:
    m = 1
    Pon m = 1 en la primera de las tres ecuaciones:   1 + a t = - 3 + m   to find    a t = - 3
    Dejar a = 1 Llegar t = - 3
    Usa la ecuación para encontrar b:    -2 + b t = 3 + m , -2 + b(-3) = 3 + 1 , b = - 6 / 3 = - 2
    Usa la ecuación para encontrar c:    3 + c t = -1 + m , 3 + c(-3) = - 1 + 1 , c = 1
    Ecuación de línea a través del punto (1 , -2 , 3) :   < x , y , z > = < 1 , -2 , 3 > + t <1 , -2 , 1 >
    b) Punto de intersección
    Establezca t = -3 en la ecuación de la línea encontrada: < x , y , z > = < 1 , -2 , 3 > + t <1 , -2 , 1 > = < 1 , -2 , 3 > - 3<1 , -2 , 1 > = < -2 , 4 , 0 >
    Para verificar, establezca m = 1 en la ecuación dada de la línea.
    < x , y , z > = < - 3 , 3 , -1 > + m <1 , 1 , 1 > = < - 3 , 3 , -1 > + 1 <1 , 1 , 1 > = < -2 , 4 , 0 >
    El es un punto de intersección dado por: < -2 , 4 , 0 >

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