Problemas sobre líneas en geometría 3D con soluciones detalladas
Se presentan problemas en líneas 3D con soluciones detalladas.
Escribe la ecuación de la línea dada en forma de vector por < x , y , z > = < -2 , 3 , 0 > + t < 3 , 2 , 5 > en formas paramétricas y simétricas.
Encuentra la forma simétrica de la ecuación de la línea a través del punto P(1 , - 2 , 3) e paralelo al vector n = < 2, 0 , -3 >.
Encuentra las ecuaciones paramétricas de la línea a través de los dos puntos P(1 , 2 , 3) e Q(0 , - 2 , 1).
¿Cuál de los puntos A(3 , 4 , 4) , B(0 , 5 , 3) e C(6 , 3 , 7) está en línea con las ecuaciones paramétricas x = 3t + 3, y = - t + 4 e z = 2t + 5?
Encuentra las ecuaciones paramétricas de la línea a través del punto P(-3 , 5 , 2) y paralelo a la línea con la ecuación x = 2 t + 5, y = -4 t e z = -t + 3.
Encuentre la ecuación de una línea a través de P (1, - 2, 3) y perpendicular a dos las líneas L1 e L2 dadas por:
L1: (x - 2) / 3 = (y + 1) / (-4) = (z + 9) / 4
L2: x = 3t - 4 , y = - t + 6 e z = 5t .
Encuentre el punto de intersección de las líneas L1 y L 2 en 3D definido por:
L1 (en forma paramétrica): x = 2t - 1 , y = -3 t + 2 and z = 4 t -3
L2 (en forma simétrica) : (x - 7) / 4 = (y + 2) / 2 = (z - 2)/(-3)
Encuentre el ángulo entre las líneas L1 y L2 con ecuaciones simétricas:
L1: (x - 1) / 2 = (y + 2) / (-2) = z / -(4)
L2 = (x + 3) / 6 = (y + 2) / 2 = (z - 1) / 2
Demuestre que las ecuaciones simétricas dadas a continuación son las de la misma línea.
L1: (x - 2) / (- 1) = y / 2 = (z + 1) / 4
L2 = (x - 1) / (-2) = (y - 2) / 4 = (z - 3) / 8
Encuentre la distancia entre el punto P 0 (1, - 2, 3) y la línea con la ecuación del vector: < x , y , z > = < 2 , 3, 0 > + t < -2 , 3 , 1 >
Encuentra la distancia más corta entre las dos líneas L1 y L2 definidas por sus ecuaciones:
L1: = < 2 , 0 , -1 > + t < -1 , 4 , -4 >
L2: = < 1 , - 2 , 3 > + m < - 5 , 2 , - 2 >
Encuentre el valor de b para que las líneas L1 y L2 dadas por sus ecuaciones a continuación sean paralelas.
L1: = < 2 , 0 , -1 > + t < 10 , b , 4 >
L2: = < 1 , - 2 , 3 > + m < - 5 , 2 , - 2 >
Encuentre la ecuación de una línea a través del punto P (1, -2, 3) e interseca y es perpendicular a la línea con la ecuación paramétrica x = - 3 + t, y = 3 + t, z = -1 + t. Encuentra el punto de intersección de las dos líneas.
Soluciones a las preguntas anteriores
Solución
dado: < x , y , z > = < -2 , 3 , 0 > + t < 3 , 2 , 5 >
igualdad de los componentes del vector de la ecuación del vector anterior dan: x = - 2 + 3 t , y = 3 + 2 t and z = 0 + 5 t
Resuelve para t cada uno de los anteriores: t = (x + 2) / 3 , t = (y - 3) / 2 and t = z / 5
Todo igual a t, de ahí la forma simétrica de la ecuación: (x + 2) / 3 = (y - 3) / 2 = z / 5
Solución
< x , y , z > = <1, -2 , 3> + t <2 , 0 ,-3>
igualdad de los componentes del vector de la ecuación del vector anterior dan: x = 1 + 2 t , y = - 2 and z = 3 - 3 t
Resuelve para t cada uno de los anteriores: t = (x - 1) / 2 and t = (z - 3) / - 3
Forma simétrica de la ecuación: (x - 1) / 2 = (z - 3) / - 3 and y = -2
Solución
Vector de dirección PQ = <0 - 1 , - 2 - 2 , 1 - 3 > = <-1 , -4 , -2>
< x , y , z > = <1 , 2 , 3> + t <-1 , -4 , -2>
igualdad de los componentes del vector de la ecuación del vector anterior dan: x = 1 - t , y = 2 - 4 t and z = 3 - 2 t
Solución
Escribe la forma de ecuaciones simétricas de la línea: (x - 3)/ 3 = (y - 4) / (-1) = (z - 5) / 2
Punto A: Sustituye x, y y z en las ecuaciones simétricas por las coordenadas del punto A(3 , 4 , 4).
(x - 3)/ 3 = (3 - 3)/ 3 = 0
(y - 4) / (-1) = (4 - 4) / (-1) = 0
(z - 5) / 2 = (4 - 5) / 2 = - 1 / 2
La última expresión no es igual a las dos primeras, por lo tanto, A no está en la línea.
Punto B: Sustituye x, y y z en las ecuaciones simétricas por las coordenadas del punto B(0 , 5 , 3).
(x - 3)/ 3 = (0 - 3)/ 3 = - 1
(y - 4) / (-1) = (5 - 4) / (-1) = -1
(z - 5) / 2 = (3 - 5) / 2 = - 1
Todas las expresiones son iguales, por lo tanto B está en la línea.
Punto C: Sustituye x, y e z en las ecuaciones simétricas por las coordenadas del punto B(6 , 3 , 7).
(x - 3)/ 3 = (6 - 3)/ 3 = 1
(y - 4) / (-1) = (3 - 4) / (-1) = 1
(z - 5) / 2 = (7 - 5) / 2 = 1
Todas las expresiones son iguales, por lo tanto C está en la línea.
Solución
Escribir línea dada x = 2 t + 5, y = -4 t e z = -t + 3. en forma simétrica:
(x - 5) / 2 = y / (-4) = (z - 3) / (-1)
El vector de dirección es : <2 , - 4 , - 1>
La línea que atraviesa el punto P (-3, 5, 2) es paralela a la línea dada y, por lo tanto, tienen el mismo vector de dirección. De ahí la ecuación vectorial de la línea a través de P:
x = -3 + 2 t , y = 5 - 4 t , z = 2 - t
Solución
La línea L (para encontrar) es perpendicular a las líneas L1 y L2 es, por lo tanto, perpendicular a sus vectores de dirección d1 y d2, respectivamente. Por lo tanto, el producto cruzado de d1 y d2 da el vector de dirección de la línea L.
De la ecuación simétrica de L1: d1 = <3 , -4 , 4>
Escribe la ecuación de L2 en forma simétrica: (x + 4) / 3 = (y - 6) / (-1) = z / 5
Direction vector of L2 ; d2 = <3 , -1 , 5>
El vector de dirección d de L se puede tomar como el producto cruzado de: d = d1 × d2 = <3 , -4 , 4> × <3 , -1 , 5> = <-16 , -3 , 9>
La ecuación para L a través del punto P (1, - 2, 3) y paralela al vector d viene dada por:
< x , y , z > = <1 , - 2 , 3> + t <-16 , -3 , 9>
Solución
L1: x = 2t - 1 , y = -3 t + 2 and z = 4 t -3
Escriba las ecuaciones de la línea L2 en forma paramétrica utilizando el parámetro s de la siguiente manera:
x = 4 s + 7 , y = 2 s - 2 , z = -3 s + 2
Deje que A (x, y, z) sea el punto de intersección de las dos líneas. Para ser un punto de intersección, las coordenadas de A deben satisfacer las ecuaciones de ambas líneas simultáneamente. Por lo tanto
x coordenadas iguales da ecuación: 2 t - 1 = 4 s + 7
y coordenadas iguales da la ecuación: -3 t + 2 = 2 s - 2
z coordenadas iguales da la ecuación: 4 t -3 = -3 s + 2
Reescribe las primeras dos ecuaciones en t y s de la siguiente manera:
2 t - 4 s = 8 e - 3 t - 2 s = - 4
Resuelve para t y s para obtener: t = 2 e s = -1
Para tener intersección, t = 2 e s = -1 también debe ser Solución a la tercera ecuación 4 t - 3 = -3 s + 2.
Comprobar: 4(2) - 3 = 5 e - 3(-1) + 2 = 5 e t = 2 e s = - 1 son Soluciones a las tres ecuaciones.
El punto de intersección se obtiene al usar una de las dos ecuaciones paramétricas de L1 e L2.
Usando L1: Set t = 2 en las ecuaciones: x = 2t - 1, y = -3 t + 2 e z = 4 t -3 para obtener las coordenadas del punto de intersección: x = 3, y = - 4 y z = 5
Usando L2 (para verificar) : x = 4 s + 7 , y = 2 s - 2 , z = -3 s + 2 , s = - 1 , da las coordenadas del punto de intersección: x = 3 , y = - 4 and z = 5
Solución
Sean d1 e d2 los vectores de dirección de L1 e L2.
Para L1: d1 = <2 , - 2 , - 4>
Para L2 : d2 = <6 , 2 , 2>
El ángulo θ entre las líneas L1 y L2 es igual al ángulo entre sus vectores de dirección d1 e d1 que está dado por
θ = arccos(d1·d2 / |d1| |d2|)
donde d1 · d2 es el producto escalar de los vectores d1 e d2; | d1 | es la magnitud del vector d1 e | d2 | es la magnitud del vector d2.
d1·d2 = (2)(6)+(-2)(2)+(-4)(2) = 0
|d1| e |d2| no son cero, de ahí
θ = arccos(0) = 90°
Si las líneas se cruzan, forman un ángulo de 90°. Si no se cruzan, las líneas de intersección paralelas a estas dos líneas forman un ángulo de 90°.
Solución
Una forma de abordar este problema es mostrar que las dos líneas L1 y L2 tienen dos puntos en común. Reescribe las dos ecuaciones en forma paramétrica como:
L1: x = 2 - t , y = 2 t , z = - 1 + 4 t
L2: x = 1 - 2 t , y = 2 + 4 t , z = 3 + 8 t
Point P1 on L1: (2 , 0 , -1)
Point P2 on L2: (1 , 2 , 3)
Verifique que P1 (2, 0, -1) esté en L2 usando las ecuaciones simétricas de L2: (2 - 1) / (-2) = (0 - 2) / 4 = (-1 - 3) / 8 = - 1 / 2 , todos los términos iguales, P1 está en L2.
Verifique que P2(1 , 2 , 3) esté en L1 usando las ecuaciones simétricas de L1: (1 - 2) / (- 1) = 2 / 2 = (3 + 1) / 4 = 1 , todos los términos son iguales, P2 está en L1.
P1 está en L1 y L2 y P2 también está en L2 y L1. Las dos ecuaciones son de la misma línea.
Solución
De acuerdo con la ecuación de la línea, el punto P (2,3,0) está en la línea. La dirección del vector es d = <-2 ,3 , 1>
La distancia D entre la línea y el punto P0(1 , - 2 , 3) es dado por 1
D = | P0P × d | / |d|
P0P = <1 , 5 , -3> , d = <-2 , 3 , 1>
P0P × d = < 14 , 5 , 13 >
| P0P × d | = √(14 2 + 5 2 + 13 2) = √390
|d| = √ (1 2 + 5 2 + (-3) 2) = √ 14
D = √390 / √ 14 = √195 / √ 7
Solución
Los puntos P1 (2, 0, -1) y P2 (1, -2, 3) son puntos en L1 y L2, respectivamente. d1 = <-1, 4, -4> y d2 = <-5, 2, -2> son los vectores de dirección de L1 y L2
La distancia más corta D entre las dos líneas está dada por 1
D = | n · P1 P2 | / |n|
donde P1 P2 es el vector definido por los puntos P1 y P2 e n es el producto cruzado de d1 y d2.
n = d1 × d2 = < -1 , 4 , -4> × <-5 , 2 , -2> = <0 , 18 , 81>
P1 P2 = < -1 , - 2 , 4 >
D = | <0 , 18 , 18> · < -1 , - 2 , 4 > | / √(02 + 182 + 182 ) = √ 2
Solución
Los vectores de dirección deben ser proporcionales
< 10 , b , 4 > = k < - 5 , 2 , - 2 >
10 = - 5 k , k = -2
4 = k (-2) , k = - 2
b = k(2) = -2 (2) = -4
Solución
a) Ecuación de línea que se encuentra: = < 1 , -2 , 3 > + t < a , b , c >
Perpendicular a : = < - 3 , 3 , -1 > + m <1 , 1 , 1 >
Aplica condiciones para encontrar a, b y c.
Intersección da 3 ecuaciones:
1 + a t = - 3 + m
-2 + b t = 3 + m
3 + c t = -1 + m
agregar lados de las tres ecuaciones para obtener
1 - 2 + 3 +t (a + b + c) = -1 + 3m
Vectores de dirección < a , b , c > and <1 , 1 , 1 > son ortogonales, por lo tanto, su producto escalar es cero.
a + b + c = 0
La ecuación anterior 1 - 2 + 3 +t (a + b + c) = -1 + 3m becomes 3m = 3
Resolver para m:
m = 1
Pon m = 1 en la primera de las tres ecuaciones: 1 + a t = - 3 + m to find a t = - 3
Dejar a = 1 Llegar t = - 3
Usa la ecuación para encontrar b: -2 + b t = 3 + m , -2 + b(-3) = 3 + 1 , b = - 6 / 3 = - 2
Usa la ecuación para encontrar c: 3 + c t = -1 + m , 3 + c(-3) = - 1 + 1 , c = 1
Ecuación de línea a través del punto (1 , -2 , 3) : < x , y , z > = < 1 , -2 , 3 > + t <1 , -2 , 1 >
b) Punto de intersección
Establezca t = -3 en la ecuación de la línea encontrada: < x , y , z > = < 1 , -2 , 3 > + t <1 , -2 , 1 > = < 1 , -2 , 3 > - 3<1 , -2 , 1 > = < -2 , 4 , 0 >
Para verificar, establezca m = 1 en la ecuación dada de la línea.
< x , y , z > = < - 3 , 3 , -1 > + m <1 , 1 , 1 > = < - 3 , 3 , -1 > + 1 <1 , 1 , 1 > = < -2 , 4 , 0 >
El es un punto de intersección dado por: < -2 , 4 , 0 >
