Vectores 3D (R 3 )

Las propiedades de y las operaciones en vectores 3D se explican.

¿Qué es un vector?

Un vector es una cantidad que tiene una magnitud y una dirección . Está representado geométricamente por un segmento de línea cuya longitud es la magnitud y una flecha que indica su dirección, como se muestra en la figura siguiente. Los vectores se usan en física para modelar cantidades con tamaños e instrucciones tales como velocidades, fuerzas, aceleraciones; en ingeniería, química, gráficos por computadora, robótica y muchos otros campos.

vectores

En lo anterior, el vector se define utilizando un punto A inicial y un punto terminal B. Por lo tanto, el vector se puede denotar como \(\vec{AB} \).

Vectores Equivalentes

Los vectores con las mismas magnitudes y la misma dirección son vectores equivalentes.

Vectores Equivalentes

Suma de dos vectores

Dado dos vectores \( \vec{v_1} \) and \( \vec{v_2} \), su suma es un vector obtenido por el primer vector de posicionamiento \( \vec{v_2} \) de modo que su punto inicial coincida con el punto terminal de \( \vec{v_1} \) y la suma \( \vec{v_1} + \vec{v_2} \) es el vector cuyo punto inicial es el punto inicial de \( \vec{v_1} \) y su punto terminal es el punto terminal de \( \vec{v_2} \). Tenga en cuenta que \( \vec{v_1} + \vec{v_2} = \vec{v_2} + \vec{v_1} \). También la suma de dos vectores coincide con la diagonal del paralelogramo determinado por \( \vec{v_1} \) and \( \vec{v_2} \).

agregar vectores

Diferencia de dos Vectores

Dado dos vectores \( \vec{v_1} \) and \( \vec{v_2} \), la diferencia \( \vec{v_2} - \vec{v_1} \) se puede definir como una suma \( \vec{v_2} + (- \vec{v_1}) \) y representado geométricamente como se muestra a continuación.

subtract vectors

Multiplicación de un vector por un escalar

Un vector \( \vec{v_1} \) multiplicado por un escalar \( k \) se define como un vector \( k\vec{v_1} \) Paralelo a \( \vec{v_1} \) y cuya dirección es la misma que la de \( \vec{v_1} \) si k> 0 y opuesto si k <0. La magnitud (longitud) de \( k\vec{v_1} \) is \( | k | \) veces la magnitud de \( \vec{v_1} \). La figura a continuación muestra los vectores \( \vec{v_1} \), \( 2\vec{v_1} \) e \( -3\vec{v_1} \).

Multiplicación de un vector por un escalar

Vectores en un Sistema de Coordenadas Rectangulares en 3D

Un vector unitario es un vector con una magnitud igual a 1. A continuación se muestra un sistema de coordenadas rectangulares en 3D con vectores unitarios \(\vec{i} \), \(\vec{j} \) e \(\vec{k} \) en la dirección positiva de los ejes x, y e z respectivamente. Vectores \(\vec{i} \), \(\vec{j} \) e \(\vec{k} \) se puede definir por sus componentes de la siguiente manera:

\(\vec{i} \) = <1,0,0> , una unidad a lo largo del eje x.

\(\vec{j} \) = <0,1,0> , una unidad a lo largo del eje y.

\(\vec{k} \) = <0,0,1> , una unidad a lo largo del eje z.

vectores unitarios

Componentes de un Vector

Los componentes de cualquier vector \(\vec{v} \) se definen expresando \(\vec{v} \) como una suma de múltiplos de los vectores unitarios \(\vec{i} \), \(\vec{j} \) e \(\vec{k} \) como sigue:

\(\vec{v} = 3\vec{i} + 4\vec{j} + 5\vec{k}\)

o en componentes de la siguiente manera:

\( \vec{v} = <3,4,5> \)

componentes vectoriales

Los componentes de un vector \(\vec{v} \) definido por su punto inicial \( A = (x_1 , y_1 ,z_1)\) y su punto terminal \( B = (x_2 , y_2 ,z_2) \) son dados por

\( \vec{v} = < x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1> \)

componentes vectoriales

Usa los componentes de un vector para calcular su magnitud y el vector de unidad en la misma dirección

Vector dado \( \vec{v} = < a,b,c> \), su magnitud (o longitud) viene dada por

\( ||\vec{v}|| = \sqrt{a^2+b^2+c^2} \).

La
unidad vector \( \vec{u} \) , definido como un vector de magnitud igual a 1, en la misma dirección que \( \vec{v} \) es dado por

\( u = \dfrac{1}{||\vec{v}||} \vec{v} \)

Utilice componentes de vectores para calcular la suma, la diferencia y la multiplicación escalar de vectores

Vectores dados \( \vec{v_1} = < a_1,b_1,c_1> \) and \( \vec{v_2} = < a_2,b_2,c_2> \), la suma \( \vec{v_1} + \vec{v_2}\) , la diferencia \( \vec{v_1} - \vec{v_2}\) y multiplicación escalar \( k \vec{v_1} \), k un número real, son dados por

\( \vec{v_1} + \vec{v_2} = < a_1+a_2,b_1+b_2,c_1+c_2> \)

\( \vec{v_1} - \vec{v_2} = < a_1 - a_2,b_1 - b_2,c_1 - c_2> \)

\( k \vec{v_1} = < k a_1,k b_1,k c_1> \)


Preguntas sobre vectores 3D.


Detallado
Soluciones y explicaciones a las preguntas a continuación están incluidas.

1) Encuentra los componentes de los vectores \( \vec{AB} \) and \( \vec{BA}\) donde A y B son puntos dados por sus coordenadas A(2,6,7) e B(0,-3,1) e muestra esa \( \vec{AB} = -1 \vec{BA}\).

2) Vectores dados \(\vec{v_1} = <0,-3,2>\) and \( \vec{v_2} = <-3,4,5> \), encontrar:

a) \( \vec{v_1} + \vec{v_2} \)

b) \( \vec{v_1} - \vec{v_2} \)

c) \( -3\vec{v_1} \)

d) \( -2\vec{v_1} + 3\vec{v_2} \)

e) \( k \) tal que \( ||\vec{v_1} + k\vec{v_2}|| = \sqrt{67} \).

3) Vector dado \(\vec{v} = <0,-3,2>\), encuentra el vector unitario en la misma dirección que \(\vec{v} \) y verificar que su magnitud sea igual a 1.

4) Dados los puntos A(2,6,7), B(0,-3,1) e C(0,3,4), encontrar los componentes de los vectores \( \vec{AB} \), \( \vec{AC}\) e \( \vec{BC}\) y muestra que \( \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\).

5) Dados los puntos A(-1,2,1), B(2,4,2) and C(5,6,3), encontrar los componentes de los vectores \( \vec{AB} \), \( \vec{BC}\) e \( \vec{AC}\) y determinar cuáles de estos vectores son equivalentes y cuáles son paralelos.



6) Vectores dados \(\vec{v_1} = <-4,0,2>\) e \( \vec{v_2} = <-1,-4,2> \), encontrar vector \( \vec{v} \) tal que \(\vec{v_1} - 2 \vec{v} = 3 \vec{v} - 3 \vec{v_2} \)

7) Encuentra un vector en la misma dirección que el vector \( \vec{v} = <-4,2,2> \) pero con el doble de longitud \( \vec{v} \).

8) Encuentra un vector en la dirección opuesta del vector \( \vec{v} = <-1,2,2> \) pero con una longitud de 5 unidades.

9) Vector dado \( \vec{v} = <-1,2,2> \), encuentra un número real \( k \) tal que \( ||k \vec{v} || = 1/5 \).

10) Encontrar \( b \) e \( c \) tal que los vectores \(\vec{v_1} = <-4,6,2>\) e \( \vec{v_2} = <2,b,c> \) son paralelas.

11) Son los tres puntos A(2,6,7), B(1,4,5) e C(0,2,3) colineal?

12) A continuación se muestra un cubo de 2 unidades laterales.

a) Encuentra los componentes de los vectores \( \vec{AB} \), \( \vec{EF} \), \( \vec{DC} \), \( \vec{HG} \), \( \vec{AC} \) e \( \vec{AG} \).

b) ¿Cuáles de los vectores en la parte a) son equivalentes?

c) Demostrar algebraicamente que \( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} = \vec{AC} + \vec{CG} \).

d) Encontrar \( || \vec{AG} || \).

e) Encuentra el vector unitario en la misma dirección que el vector \( \vec{AG} \).

cubo

Detallado Soluciones y explicaciones a estas preguntas.

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