Soluciones a preguntas sobre vectores 3D (R 3 )

Se presentan soluciones detalladas para preguntas sobre vectores 3D .

Soluciones detalladas Preguntas sobre vectores 3D.


1)
Encuentra los componentes de los vectores \( \vec{AB} \) and \( \vec{BA}\) donde A y B son puntos dados por sus coordenadas A(2,6,7) e B(0,-3,1) y muestra que \( \vec{AB} = -1 \vec{BA}\).
Solución
Los puntos dados A y B se definen por sus coordenadas: \( A (x_1 , y_1 ,z_1) = A(2,6,7) \) and B \( (x_2 , y_2 ,z_2) = B(0,-3,1) \) , usamos la fórmula
\( \vec{AB} = \lt x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1> = \lt0-2,-3-6,1-7> = \lt -2,-9,-6 >\)
\( \vec{BA} = \lt x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2> = \lt2-0,6-(-3),7-1> = \lt2,9,6>\)
\( \vec{AB} = \lt-2,-9,-6> = -1 \lt2,9,6> = -1\vec{BA} \)


2)
Vectores dados \(\vec{v_1} = \lt0,-3,2>\) e \( \vec{v_2} = \lt-3,4,5> \), encontrar:
a) \( \vec{v_1} + \vec{v_2} \)
b) \( \vec{v_1} - \vec{v_2} \)
c) \( -3\vec{v_1} \)
d) \( -2\vec{v_1} + 3\vec{v_2} \)
e) \( k \) tal que\( ||\vec{v_1} + k\vec{v_2}|| = \sqrt{67} \).
Solución
Vectores dados \( \vec{v_1} = \lt a_1,b_1,c_1> = \lt0,-3,2>\) e \( \vec{v_2} = \lt a_2,b_2,c_2> = \lt-3,4,5>\), la suma \( \vec{v_1} + \vec{v_2}\) , la diferencia \( \vec{v_1} - \vec{v_2}\) y multiplicación escalar \( k \vec{v_1} \), k un número real, son dados por
suma: \( \vec{v_1} + \vec{v_2} = \lt a_1+a_2,b_1+b_2,c_1+c_2> \)
diferencia: \( \vec{v_1} - \vec{v_2} = \lt a_1 - a_2,b_1 - b_2,c_1 - c_2> \)
multiplicar por un escalar: \( k \vec{v_1} = \lt k a_1,k b_1,k c_1> \).
a) Usa la fórmula de suma
\( \vec{v_1} + \vec{v_2} = \lt0,-3,2> + \lt-3,4,5> = \lt0+(-3) , -3+4 , 2 + 5 > = \lt-3 , 1 , 7>\)
b) Usa la fórmula de diferencia
\( \vec{v_1} - \vec{v_2} = \lt0,-3,2> - \lt -3,4,5> = \lt0 -(-3) , -3 - 4 , 2 - 5 > = \lt3 , -7 , -3> \)
c) Usa la fórmula de multiplicación escalar
\( -3\vec{v_1} = -3 \lt0,-3,2> = \lt-3\cdot0 , -3\cdot(-3) , -3\cdot2> = \lt0,9,-6> \)
d) Usa una combinación de fórmula escalar y suma
\( -2\vec{v_1} + 3\vec{v_2} = -2\lt0,-3,2> + 3\lt-3,4,5> = \lt0,6,-4> + \lt-9,12,15> = \lt-9,18,11> \)
e) Encuentra el vector \( \vec{v_1} + k\vec{v_2} \).
\( \vec{v_1} + k\vec{v_2} = \lt0,-3,2> + k\lt-3,4,5> = \lt-3k ,-3+4k ,2+5k>\)
Encuentra la magnitud de \( \vec{v_1} + k\vec{v_2} \) y hazlo igual \( \sqrt{67} \).
\( \sqrt{(-3k)^2 + (-3+4k)^2 + (2+5k)^2} = \sqrt{67}\)
Cuadrar ambos lados de la ecuación anterior.
\( (-3k)^2 + (-3+4k)^2 + (2+5k)^2 = 67\)
Expandir y agrupar.
\( 50k^2-4k+13 = 67 \)
Resuelve la ecuación cuadrática anterior para k para obtener.
\( k = -1 \) e \( k = 27/25\).


3)
Vector dado \(\vec{v} = \lt0,-3,2>\), encuentra el vector unitario en la misma dirección que \(\vec{v} \) y verificar que su magnitud sea igual a 1.
Solución
El vector unitario \( \vec{u} \) en la misma dirección que el vector \(\vec{v} \) es dado por.
\( \vec{u} = \dfrac{1}{|| \vec{v} ||} \vec{v} = \dfrac{1}{\sqrt{0^2+(-3)^2+2^2}} \lt0,-3,2> = \lt0,-3/\sqrt{13} , 2/\sqrt{13}> \)
Calcule la magnitud de \( \vec{u} \) y verifica que sea igual a 1.
\( || \vec{u} || = \sqrt{ 0^2 + (-3/\sqrt{13})^2 + (2/\sqrt{13})^2 } = \sqrt{ 9/13 + 4/13} = 1\)


4)
Dados los puntos A(2,6,7), B(0,-3,1) and C(0,3,4), encontrar los componentes de los vectores \( \vec{AB} \), \( \vec{AC}\) e \( \vec{BC}\) y muestra que \( \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\).
Solución
Los componentes de un vector definido por dos puntos vienen dados por la diferencia entre las coordenadas del terminal y los puntos iniciales.
\( \vec{AB} = \lt x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1> = \lt0-2,-3-6,1-7> = \lt-2,-9,-6>\)
\( \vec{BC} = \lt0-0,3-(-3),4-1> = \lt0,6,3>\)
\( \vec{AC} = \lt0-2,3-6,4-7> = \lt-2,-3,-3>\)
\( \vec{AB} + \vec{BC} = \lt-2,-9,-6> + \lt0,6,3> = \lt-2+0,-9+6,-6+3> = \lt-2,-3,-3> = \vec{AC} \)


5)
Dados los puntos A(-1,2,1), B(2,4,2) e C(5,6,3), encuentre los componentes de los vectores \( \vec{AB} \), \( \vec{BC}\) e \( \vec{AC}\) y determina cuáles de estos vectores son equivalentes y cuáles son paralelos.
Solución
Los componentes de un vector definido por dos puntos vienen dados por la diferencia entre las coordenadas del terminal y los puntos iniciales.
\( \vec{AB} = \lt2-(-1),4-2,2-1> = \lt3,2,1>\)
\( \vec{BC} = \lt5-2,6-4,3-2> = \lt3,2,1>\)
\( \vec{AC} = \lt5-(-1),6-2,3-1> = \lt6,4,2>\)
\( \vec{AB} \) e \( \vec{BC} \) tiene componentes iguales y por lo tanto son equivalentes.
Tenga en cuenta que
\( \vec{AC} = \lt6,4,2> = 2 \lt3,2,1> = 2\vec{BC}\)
Por lo tanto, \( \vec{AC} \) es paralelo a \( \vec{BC}\) e \( \vec{AB} \).


6)
Vectores dados \(\vec{v_1} = \lt-4,0,2>\) e \( \vec{v_2} = \lt-1,-4,2> \), encontrar vector \( \vec{v} \) tal que \(\vec{v_1} - 2 \vec{v} = 3 \vec{v} - 3 \vec{v_2} \)
Solución
Dejar \( \vec{v} = \lt x,y,z \gt \) y reescribe la ecuación vectorial \(\vec{v_1} - 2 \vec{v} = 3 \vec{v} - 3 \vec{v_2} \) usando los componentes.
\(\lt-4,0,2> - 2 \lt x,y,z \gt = 3 \lt x,y,z \gt - 3 \lt-1,-4,2> \)
Multiplicar, restar y agrupar cada lado de la ecuación vectorial.
\(\lt-4-2x,0-2y,2-2z> = \lt3x -3(-1) , 3y - 3(-4) , 3z - 3(2)> \)
\(\lt-4-2x,-2y,2-2z> = \lt3x + 3 , 3y + 12 , 3z - 6> \)
Dos vectores son iguales (o equivalentes) si sus componentes son iguales. De ahí las ecuaciones:
\( -4-2x = 3x + 3 \;\; , \;\; solución: x = -7/5 \)
\( -2y = 3y + 12 \;\; , \;\; solución: y = -12/5 \)
\( 2-2z = 3z - 6 \;\; , \;\; solución: z = 8/5 \)
\( \vec{v} = \lt -7/5,-12/5,8/5 \gt \)


7)
Encuentra un vector \( \vec{u} \) en la misma dirección que el vector \( \vec{v} = \lt-4,2,2> \) pero con el doble de longitud \( \vec{v} \).
Solución
\( \vec{u} \) es dos veces vector \( \vec{v} \). Por lo tanto
\( \vec{u} = 2 \vec{v} = 2\lt-4,2,2> = \lt-8 , 4 , 4> \)


8)
Encuentra un vector \( \vec{u} \) en la dirección opuesta del vector \( \vec{v} = \lt-1,2,2> \) pero con una longitud de 5 unidades.
Solución
El vector unitario en la dirección opuesta de \( \vec{v} \) es dado por
\(-\dfrac{1}{||\vec{v}||} \vec{v} \)
dónde \( ||\vec{v} || \) es la magnitud de \( \vec{v} \) y es dado por
\( ||\vec{u} || =\sqrt{(-1)^2+2^2+2^2} = 3\)
\( \vec{u} \) es dado por
\(5(-\dfrac{1}{3} \vec{v}) = (-5/3)\lt-1 , 2 , 2> = \lt5/3 , -10/3 , -10/3>\)


9)
Vector dado \( \vec{v} = \lt-1,2,2> \), encuentra un número real \( k \) tal que \( ||k \vec{v} || = 1/5 \).
Solución
Primero notamos que
\( ||k \vec{v} || = |k| || \vec{v} || \)
\( || \vec{v} || \) es dado por
\( || \vec{v} ||= \sqrt{(-1)^2+2^2+2^2} = 3\)
Sustituyendo en la ecuación \( ||k \vec{v} || = 1/5 \), obtenemos
\( 3 |k| = 1/5 \)
lo que da
|k| = 1/15
Dos soluciones.
k = 1/15 e k = - 1/15


10)
Encuentra \( b \) e \( c \) tal que los vectores \(\vec{v_1} = \lt-4,6,2>\) e \( \vec{v_2} = \lt2,b,c> \) son paralelos.
Solución
Vectores \(\vec{v_1} \) e \(\vec{v_2} \) son paralelas si existe k tal que
\(\vec{v_1} = k \vec{v_2} \)
De ahí la ecuación vectorial
\( \lt-4,6,2> = k \lt2,b,c> = \lt2k , k b , k c > \)
La ecuación vectorial anterior da 3 ecuaciones de componentes:
\( -4 = 2 k \) , por lo tanto \( k = -2 \)
\( 6 = k b = - 2 b\) , por lo tanto \( b = -3 \)
\( 2 = k c = -2 c \) , por lo tanto \( c = 1 \)


11)
¿Son los tres puntos A (2,6,7), B (1,4,5) y C (0,2,3) colineales?
Solución
Para que los puntos A, B e C sean colineales, necesitamos encontrar k tal que
\( \vec{AC} = k \vec{AB} \) , el vector AC e AB son colineales.
Encuentra los componentes de los vectores \( \vec{AC} \) e \( \vec{AB} \) usando las coordenadas de los puntos A, B e C.
\( \vec{AC} = \lt0 - 2 , 2-6 , 3 - 7> = \lt-2 , -4 , -4>\)
\( \vec{AB} = \lt1-2 , 4- 6 , 5 - 7> = \lt-1 , -2 , -2> \)
Tenga en cuenta que.
\( \vec{AC} = \lt-2 , -4 , -4> = 2 \lt-1 , -2 , -2> = 2 \vec{AB} \)
por lo tanto
\( \vec{AC} = 2 \vec{AB} \) , k = 2
Por lo tanto, los vectores \( \vec{AC} \) e \( \vec{AB} \) son colineales y, por lo tanto, los puntos A, B e C son colineales (en la misma línea) como se muestra a continuación en el sistema de coordenadas rectangular

puntos colineales en 3D (R3)


12)
A continuación se muestra un cubo de 2 unidades laterales.
a) Encuentra los componentes de los vectores \( \vec{AB} \), \( \vec{EF} \), \( \vec{DC} \), \( \vec{HG} \), \( \vec{AC} \) e \( \vec{AG} \).
b) ¿Cuáles de los vectores en la parte a) son equivalentes?
c) Demostrar algebraicamente que \( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} = \vec{AC} + \vec{CG} \).
d) Encontrar \( || \vec{AG} || \).
e) Encuentra el vector unitario en la misma dirección que el vector \( \vec{AG} \).
cubo
Solución
a) Primero necesitamos escribir las coordenadas de los puntos A, B, C, D, E, F, G e H.
A(0,0,0,), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), E(0,0,2), F(2,0,2), G(2,2,2), H(0,2,2).
\( \vec{AB} = \lt2-0,0-0,0-0> = \lt2,0,0>\)
\( \vec{EF} = \lt2-0,0-0,2-2> = \lt2,0,0>\)
\( \vec{DC} = \lt2-0, 2-2,0-0> = \lt2,0,0> \)
\( \vec{HG} = \lt2- 0 ,2 -2, 2-2 > =\lt2,0,0> \)
\( \vec{AC} = \lt2 - 0 , 2 - 0, 0 - 0> = \lt2,2,0>\)
\( \vec{AG} = \lt2-0,2-2,2-0> = \lt2,2,2>\)
b) Los vectores \( \vec{AB}\), \( \vec{EF} \), \( \vec{DC} \) and \( \vec{HG}\) tienen componentes iguales y son por lo tanto equivalentes (iguales).
c) Calcular \( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} \) e \( \vec{AC} + \vec{CG} \) y compara.
\( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} = \lt2,0,0> + \lt0,0,2> + \lt0,2,0> = \lt2,2,2> \)
\( \vec{AC} + \vec{CG} = \lt2,2,0> + \lt0,0,2> = \lt2,2,2>\)
Por lo tanto \( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} \) = \( \vec{AC} + \vec{CG} \).
d) Encontrar \( || \vec{AG} || = \sqrt{2^2+2^2+2^2} = 2\sqrt{3}\).
e) Vector de unidad en la misma dirección como vector \( \vec{AG} \) es dado por
\( \dfrac{1}{|| \vec{AG} ||} \vec{AG} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}}\lt2,2,2> = \lt1/\sqrt{3} ,1/\sqrt{3} ,1/\sqrt{3} > \)


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