Soluciones detalladas a preguntas sobre vectores 3D.
Dados los puntos A y B definidos por sus coordenadas: \( A (x_1 , y_1 ,z_1) = A(2,6,7) \) y B \( (x_2 , y_2 ,z_2) = B(0,-3,1) \), usamos la fórmula:
\( \vec{AB} = \lt x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1 > = \lt 0-2,-3-6,1-7 > = \lt -2,-9,-6> \)
\( \vec{BA} = \lt x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2 > = \lt 2-0,6-(-3),7-1 > = \lt 2,9,6>\)
\( \vec{AB} = \lt -2,-9,-6> = -1 \lt 2,9,6> = -1\vec{BA} \)
Dados los vectores \( \vec{v_1} = \lt a_1,b_1,c_1> = \lt 0,-3,2>\) y \( \vec{v_2} = \lt a_2,b_2,c_2> = \lt -3,4,5>\), la suma \( \vec{v_1} + \vec{v_2}\), la diferencia \( \vec{v_1} - \vec{v_2}\) y la multiplicación escalar \( k \vec{v_1} \) (k un número real) están dadas por:
Suma: \( \vec{v_1} + \vec{v_2} = \lt a_1+a_2,b_1+b_2,c_1+c_2> \)
Diferencia: \( \vec{v_1} - \vec{v_2} = \lt a_1 - a_2,b_1 - b_2,c_1 - c_2> \)
Multiplicación por escalar: \( k \vec{v_1} = \lt k a_1,k b_1,k c_1> \).
a) Usando la fórmula de suma:
\( \vec{v_1} + \vec{v_2} = \lt 0,-3,2> + \lt -3,4,5> = \lt 0+(-3) , -3+4 , 2 + 5 > = \lt -3 , 1 , 7>\)
b) Usando la fórmula de diferencia:
\( \vec{v_1} - \vec{v_2} = \lt 0,-3,2> - \lt -3,4,5> = \lt 0 -(-3) , -3 - 4 , 2 - 5 > = \lt 3 , -7 , -3> \)
c) Usando la fórmula de multiplicación escalar:
\( -3\vec{v_1} = -3 \lt 0,-3,2> = \lt -3\cdot0 , -3\cdot(-3) , -3\cdot2> = \lt 0,9,-6> \)
d) Usando una combinación de escalar y suma:
\( -2\vec{v_1} + 3\vec{v_2} = -2\lt 0,-3,2> + 3\lt-3,4,5> = \lt 0,6,-4> + \lt-9,12,15> = \lt -9,18,11> \)
e) Encontrar el vector \( \vec{v_1} + k\vec{v_2} \):
\( \vec{v_1} + k\vec{v_2} = \lt 0,-3,2> + k \lt -3,4,5> = \lt -3k ,-3+4k ,2+5k>\)
Encontrar la magnitud de \( \vec{v_1} + k\vec{v_2} \) e igualarla a \( \sqrt{67} \):
\( \sqrt{(-3k)^2 + (-3+4k)^2 + (2+5k)^2} = \sqrt{67}\)
Elevando al cuadrado ambos lados:
\( (-3k)^2 + (-3+4k)^2 + (2+5k)^2 = 67\)
Expandir y agrupar:
\( 50k^2-4k+13 = 67 \)
Resolviendo la ecuación cuadrática para k:
\( k = -1 \) y \( k = 27/25\).
El vector unitario \( \vec{u} \) en la misma dirección que el vector \(\vec{v} \) está dado por:
\( \vec{u} = \dfrac{1}{|| \vec{v} ||} \vec{v} = \dfrac{1}{\sqrt{0^2+(-3)^2+2^2}} \lt 0,-3,2> = \lt 0,-3/\sqrt{13} , 2/\sqrt{13}> \)
Calculamos la magnitud de \( \vec{u} \) y verificamos que es igual a 1:
\( || \vec{u} || = \sqrt{ 0^2 + (-3/\sqrt{13})^2 + (2/\sqrt{13})^2 } = \sqrt{ 9/13 + 4/13} = 1\)
Las componentes de un vector definido por dos puntos están dadas por la diferencia entre las coordenadas del punto terminal e inicial.
\( \vec{AB} = \lt x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1> = \lt 0-2,-3-6,1-7> = \lt -2,-9,-6>\)
\( \vec{BC} = \lt 0-0,3-(-3),4-1> = \lt 0,6,3>\)
\( \vec{AC} = \lt 0-2,3-6,4-7> = \lt -2,-3,-3>\)
\( \vec{AB} + \vec{BC} = \lt -2,-9,-6> + \lt 0,6,3> = \lt -2+0,-9+6,-6+3> = \lt -2,-3,-3> = \vec{AC} \)
Las componentes de un vector definido por dos puntos están dadas por la diferencia entre las coordenadas del punto terminal e inicial.
\( \vec{AB} = \lt 2-(-1),4-2,2-1> = \lt 3,2,1>\)
\( \vec{BC} = \lt 5-2,6-4,3-2> = \lt 3,2,1>\)
\( \vec{AC} = \lt 5-(-1),6-2,3-1> = \lt 6,4,2>\)
\( \vec{AB} \) y \( \vec{BC} \) tienen componentes iguales y por lo tanto son equivalentes.
Nótese que:
\( \vec{AC} = \lt 6,4,2> = 2 \lt 3,2,1> = 2\vec{BC}\)
Por lo tanto, \( \vec{AC} \) es paralelo a \( \vec{BC} \) y \( \vec{AB} \).
Sea \( \vec{v} = \lt x,y,z \gt \) y reescribimos la ecuación vectorial \(\vec{v_1} - 2 \vec{v} = 3 \vec{v} - 3 \vec{v_2} \) usando las componentes.
\(\lt -4,0,2> - 2 \lt x,y,z \gt = 3 \lt x,y,z \gt - 3 \lt -1,-4,2> \)
Multiplicar, restar y agrupar cada lado de la ecuación vectorial:
\( \lt -4-2x,0-2y,2-2z> = \lt 3x -3(-1) , 3y - 3(-4) , 3z - 3(2)> \)
\( \lt -4-2x,-2y,2-2z> = \lt 3x + 3 , 3y + 12 , 3z - 6> \)
Dos vectores son iguales (o equivalentes) si sus componentes son iguales. Por lo tanto, las ecuaciones:
\( -4-2x = 3x + 3 \;\; , \;\; solución: x = -7/5 \)
\( -2y = 3y + 12 \;\; , \;\; solución: y = -12/5 \)
\( 2-2z = 3z - 6 \;\; , \;\; solución: z = 8/5 \)
\( \vec{v} = \lt -7/5,-12/5,8/5 \gt \)
\( \vec{u} \) es el doble del vector \( \vec{v} \). Por lo tanto:
\( \vec{u} = 2 \vec{v} = 2 \lt -4,2,2> = \lt -8 , 4 , 4> \)
El vector unitario en la dirección opuesta de \( \vec{v} \) está dado por:
\(-\dfrac{1}{||\vec{v}||} \vec{v} \)
donde \( ||\vec{v} || \) es la magnitud de \( \vec{v} \) y está dada por:
\( ||\vec{u} || =\sqrt{(-1)^2+2^2+2^2} = 3\)
\( \vec{u} \) está dado por:
\(5(-\dfrac{1}{3} \vec{v}) = (-5/3) \lt -1 , 2 , 2> = \lt 5/3 , -10/3 , -10/3>\)
Primero notamos que:
\( ||k \vec{v} || = |k| || \vec{v} || \)
\( || \vec{v} || \) está dada por:
\( || \vec{v} ||= \sqrt{(-1)^2+2^2+2^2} = 3\)
Sustituyendo en la ecuación \( ||k \vec{v} || = 1/5 \), obtenemos:
\( 3 |k| = 1/5 \)
lo cual da:
|k| = 1/15
Dos soluciones:
k = 1/15 y k = - 1/15
Los vectores \(\vec{v_1} \) y \(\vec{v_2} \) son paralelos si existe k tal que:
\(\vec{v_1} = k \vec{v_2} \)
Por lo tanto, la ecuación vectorial:
\( \lt -4,6,2> = k \lt 2,b,c> = \lt 2k , k b , k c > \)
La ecuación vectorial anterior da 3 ecuaciones de componentes:
\( -4 = 2 k \) , por lo tanto \( k = -2 \)
\( 6 = k b = - 2 b\) , por lo tanto \( b = -3 \)
\( 2 = k c = -2 c \) , por lo tanto \( c = 1 \)
Para que los puntos A, B y C sean colineales, necesitamos encontrar k tal que:
\( \vec{AC} = k \vec{AB} \) , es decir, que los vectores AC y AB sean colineales.
Encontramos las componentes de los vectores \( \vec{AC} \) y \( \vec{AB} \) usando las coordenadas de los puntos A, B y C.
\( \vec{AC} = \lt 0 - 2 , 2-6 , 3 - 7> = \lt -2 , -4 , -4>\)
\( \vec{AB} = \lt 1-2 , 4- 6 , 5 - 7> = \lt -1 , -2 , -2> \)
Nótese que:
\( \vec{AC} = \lt -2 , -4 , -4> = 2 \lt-1 , -2 , -2> = 2 \vec{AB} \)
Por lo tanto:
\( \vec{AC} = 2 \vec{AB} \) , k = 2
Por lo tanto, los vectores \( \vec{AC} \) y \( \vec{AB} \) son colineales y entonces los puntos A, B y C son colineales (están en la misma línea) como se muestra a continuación en el sistema rectangular de coordenadas.
a) Primero necesitamos escribir las coordenadas de los puntos A, B, C, D, E, F, G y H.
A(0,0,0,), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), E(0,0,2), F(2,0,2), G(2,2,2), H(0,2,2).
\( \vec{AB} = \lt 2-0,0-0,0-0> = \lt 2,0,0>\)
\( \vec{EF} = \lt2-0,0-0,2-2> = \lt2,0,0>\)
\( \vec{DC} = \lt2-0, 2-2,0-0> = \lt2,0,0> \)
\( \vec{HG} = \lt2- 0 ,2 -2, 2-2 > =\lt2,0,0> \)
\( \vec{AC} = \lt2 - 0 , 2 - 0, 0 - 0> = \lt2,2,0>\)
\( \vec{AG} = \lt2-0,2-2,2-0> = \lt2,2,2>\)
b) Los vectores \( \vec{AB}\), \( \vec{EF} \), \( \vec{DC} \) y \( \vec{HG}\) tienen componentes iguales y por lo tanto son equivalentes (iguales).
c) Calcular \( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} \) y \( \vec{AC} + \vec{CG} \) y comparar.
\( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} = \lt2,0,0> + \lt0,0,2> + \lt0,2,0> = \lt2,2,2> \)
\( \vec{AC} + \vec{CG} = \lt2,2,0> + \lt0,0,2> = \lt2,2,2>\)
Por lo tanto, \( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} \) = \( \vec{AC} + \vec{CG} \).
d) Encontrar \( || \vec{AG} || = \sqrt{2^2+2^2+2^2} = 2\sqrt{3}\).
e) El vector unitario en la misma dirección que el vector \( \vec{AG} \) está dado por:
\( \dfrac{1}{|| \vec{AG} ||} \vec{AG} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}}\lt2,2,2> = \lt1/\sqrt{3} ,1/\sqrt{3} ,1/\sqrt{3} > \)