Soluciones a preguntas sobre vectores 3D(R 3 )

Se presentan soluciones detalladas para preguntas sobre vectores 3D .

Soluciones detalladas Preguntas sobre vectores 3D.


1) Encuentra los componentes de los vectores \( \vec{AB} \) and \( \vec{BA}\) donde A y B son puntos dados por sus coordenadas A(2,6,7) e B(0,-3,1) y muestra que \( \vec{AB} = -1 \vec{BA}\).

Solución

Los puntos dados A y B se definen por sus coordenadas: \( A (x_1 , y_1 ,z_1) = A(2,6,7) \) and B \( (x_2 , y_2 ,z_2) = B(0,-3,1) \) , usamos la fórmula

\( \vec{AB} = < x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1> = <0-2,-3-6,1-7> = <-2,-9,-6>\)

\( \vec{BA} = < x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2> = <2-0,6-(-3),7-1> = <2,9,6>\)

\( \vec{AB} = <-2,-9,-6> = -1 <2,9,6> = -1\vec{BA} \)


2) Vectores dados \(\vec{v_1} = <0,-3,2>\) e \( \vec{v_2} = <-3,4,5> \), encontrar:

a) \( \vec{v_1} + \vec{v_2} \)

b) \( \vec{v_1} - \vec{v_2} \)

c) \( -3\vec{v_1} \)

d) \( -2\vec{v_1} + 3\vec{v_2} \)

e) \( k \) tal que\( ||\vec{v_1} + k\vec{v_2}|| = \sqrt{67} \).

Solución

Vectores dados \( \vec{v_1} = < a_1,b_1,c_1> = <0,-3,2>\) e \( \vec{v_2} = < a_2,b_2,c_2> = <-3,4,5>\), la suma \( \vec{v_1} + \vec{v_2}\) , la diferencia \( \vec{v_1} - \vec{v_2}\) y multiplicación escalar \( k \vec{v_1} \), k un número real, son dados por

suma: \( \vec{v_1} + \vec{v_2} = < a_1+a_2,b_1+b_2,c_1+c_2> \)

diferencia: \( \vec{v_1} - \vec{v_2} = < a_1 - a_2,b_1 - b_2,c_1 - c_2> \)

multiplicar por un escalar: \( k \vec{v_1} = < k a_1,k b_1,k c_1> \).

a) Usa la fórmula de suma

\( \vec{v_1} + \vec{v_2} = <0,-3,2> + <-3,4,5> = <0+(-3) , -3+4 , 2 + 5 > = <-3 , 1 , 7>\)

b) Usa la fórmula de diferencia

\( \vec{v_1} - \vec{v_2} = <0,-3,2> - <-3,4,5> = <0 -(-3) , -3 - 4 , 2 - 5 > = <3 , -7 , -3> \)

c) Usa la fórmula de multiplicación escalar

\( -3\vec{v_1} = -3 <0,-3,2> = <-3\cdot0 , -3\cdot(-3) , -3\cdot2> = <0,9,-6> \)

d) Usa una combinación de fórmula escalar y suma

\( -2\vec{v_1} + 3\vec{v_2} = -2<0,-3,2> + 3<-3,4,5> = <0,6,-4> + <-9,12,15> = <-9,18,11> \)

e) Encuentra el vector \( \vec{v_1} + k\vec{v_2} \).

\( \vec{v_1} + k\vec{v_2} = <0,-3,2> + k<-3,4,5> = <-3k ,-3+4k ,2+5k>\)

Encuentra la magnitud de \( \vec{v_1} + k\vec{v_2} \) y hazlo igual \( \sqrt{67} \).

\( \sqrt{(-3k)^2 + (-3+4k)^2 + (2+5k)^2} = \sqrt{67}\)

Cuadrar ambos lados de la ecuación anterior.

\( (-3k)^2 + (-3+4k)^2 + (2+5k)^2 = 67\)

Expandir y agrupar.

\( 50k^2-4k+13 = 67 \)

Resuelve la ecuación cuadrática anterior para k para obtener.

\( k = -1 \) e \( k = 27/25\).


3) Vector dado \(\vec{v} = <0,-3,2>\), encuentra el vector unitario en la misma dirección que \(\vec{v} \) y verificar que su magnitud sea igual a 1.

Solución

El vector unitario \( \vec{u} \) en la misma dirección que el vector \(\vec{v} \) es dado por.

\( \vec{u} = \dfrac{1}{|| \vec{v} ||} \vec{v} = \dfrac{1}{\sqrt{0^2+(-3)^2+2^2}} <0,-3,2> = <0,-3/\sqrt{13} , 2/\sqrt{13}> \)

Calcule la magnitud de \( \vec{u} \) y verifica que sea igual a 1.

\( || \vec{u} || = \sqrt{ 0^2 + (-3/\sqrt{13})^2 + (2/\sqrt{13})^2 } = \sqrt{ 9/13 + 4/13} = 1\)


4) Dados los puntos A(2,6,7), B(0,-3,1) and C(0,3,4), encontrar los componentes de los vectores \( \vec{AB} \), \( \vec{AC}\) e \( \vec{BC}\) y muestra que \( \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\).

Solución

Los componentes de un vector definido por dos puntos vienen dados por la diferencia entre las coordenadas del terminal y los puntos iniciales.

\( \vec{AB} = < x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1> = <0-2,-3-6,1-7> = <-2,-9,-6>\)

\( \vec{BC} = <0-0,3-(-3),4-1> = <0,6,3>\)

\( \vec{AC} = <0-2,3-6,4-7> = <-2,-3,-3>\)

\( \vec{AB} + \vec{BC} = <-2,-9,-6> + <0,6,3> = <-2+0,-9+6,-6+3> = <-2,-3,-3> = \vec{AC} \)


5) Dados los puntos A(-1,2,1), B(2,4,2) e C(5,6,3), encuentre los componentes de los vectores \( \vec{AB} \), \( \vec{BC}\) e \( \vec{AC}\) y determina cuáles de estos vectores son equivalentes y cuáles son paralelos.

Solución

Los componentes de un vector definido por dos puntos vienen dados por la diferencia entre las coordenadas del terminal y los puntos iniciales.

\( \vec{AB} = <2-(-1),4-2,2-1> = <3,2,1>\)

\( \vec{BC} = <5-2,6-4,3-2> = <3,2,1>\)

\( \vec{AC} = <5-(-1),6-2,3-1> = <6,4,2>\)

\( \vec{AB} \) e \( \vec{BC} \) tiene componentes iguales y por lo tanto son equivalentes.

Tenga en cuenta que

\( \vec{AC} = <6,4,2> = 2 <3,2,1> = 2\vec{BC}\)

Por lo tanto, \( \vec{AC} \) es paralelo a \( \vec{BC}\) e \( \vec{AB} \).


6) Vectores dados \(\vec{v_1} = <-4,0,2>\) e \( \vec{v_2} = <-1,-4,2> \), encontrar vector \( \vec{v} \) tal que \(\vec{v_1} - 2 \vec{v} = 3 \vec{v} - 3 \vec{v_2} \)

Solución

Dejar \( \vec{v} = \lt x,y,z \gt \) y reescribe la ecuación vectorial \(\vec{v_1} - 2 \vec{v} = 3 \vec{v} - 3 \vec{v_2} \) usando los componentes.

\(<-4,0,2> - 2 \lt x,y,z \gt = 3 \lt x,y,z \gt - 3 <-1,-4,2> \)

Multiplicar, restar y agrupar cada lado de la ecuación vectorial.

\(<-4-2x,0-2y,2-2z> = <3x -3(-1) , 3y - 3(-4) , 3z - 3(2)> \)

\(<-4-2x,-2y,2-2z> = <3x + 3 , 3y + 12 , 3z - 6> \)

Dos vectores son iguales (o equivalentes) si sus componentes son iguales. De ahí las ecuaciones:

\( -4-2x = 3x + 3 \;\; , \;\; solución: x = -7/5 \)

\( -2y = 3y + 12 \;\; , \;\; solución: y = -12/5 \)

\( 2-2z = 3z - 6 \;\; , \;\; solución: z = 8/5 \)

\( \vec{v} = \lt -7/5,-12/5,8/5 \gt \)


7) Encuentra un vector \( \vec{u} \) en la misma dirección que el vector \( \vec{v} = <-4,2,2> \) pero con el doble de longitud \( \vec{v} \).

Solución

\( \vec{u} \) es dos veces vector \( \vec{v} \). Por lo tanto

\( \vec{u} = 2 \vec{v} = 2<-4,2,2> = <-8 , 4 , 4> \)


8) Encuentra un vector \( \vec{u} \) en la dirección opuesta del vector \( \vec{v} = <-1,2,2> \) pero con una longitud de 5 unidades.

Solución

El vector unitario en la dirección opuesta de \( \vec{v} \) es dado por

\(-\dfrac{1}{||\vec{v}||} \vec{v} \)

dónde \( ||\vec{v} || \) es la magnitud de \( \vec{v} \) y es dado por

\( ||\vec{u} || =\sqrt{(-1)^2+2^2+2^2} = 3\)

\( \vec{u} \) es dado por

\(5(-\dfrac{1}{3} \vec{v}) = (-5/3)<-1 , 2 , 2> = <5/3 , -10/3 , -10/3>\)


9) Vector dado \( \vec{v} = <-1,2,2> \), encuentra un número real \( k \) tal que \( ||k \vec{v} || = 1/5 \).

Solución

Primero notamos que

\( ||k \vec{v} || = |k| || \vec{v} || \)

\( || \vec{v} || \) es dado por

\( || \vec{v} ||= \sqrt{(-1)^2+2^2+2^2} = 3\)

Sustituyendo en la ecuación \( ||k \vec{v} || = 1/5 \), obtenemos

\( 3 |k| = 1/5 \)

lo que da

|k| = 1/15

Dos soluciones.

k = 1/15 e k = - 1/15


10) Encuentra \( b \) e \( c \) tal que los vectores \(\vec{v_1} = <-4,6,2>\) e \( \vec{v_2} = <2,b,c> \) son paralelos.

Solución

Vectores \(\vec{v_1} \) e \(\vec{v_2} \) son paralelas si existe k tal que

\(\vec{v_1} = k \vec{v_2} \)

De ahí la ecuación vectorial

\( <-4,6,2> = k <2,b,c> = <2k , k b , k c > \)

La ecuación vectorial anterior da 3 ecuaciones de componentes:

\( -4 = 2 k \) , por lo tanto \( k = -2 \)

\( 6 = k b = - 2 b\) , por lo tanto \( b = -3 \)

\( 2 = k c = -2 c \) , por lo tanto \( c = 1 \)


11) ¿Son los tres puntos A (2,6,7), B (1,4,5) y C (0,2,3) colineales?

Solución

Para que los puntos A, B e C sean colineales, necesitamos encontrar k tal que

\( \vec{AC} = k \vec{AB} \) , el vector AC e AB son colineales.

Encuentra los componentes de los vectores \( \vec{AC} \) e \( \vec{AB} \) usando las coordenadas de los puntos A, B e C.

\( \vec{AC} = <0 - 2 , 2-6 , 3 - 7> = <-2 , -4 , -4>\)

\( \vec{AB} = <1-2 , 4- 6 , 5 - 7> = <-1 , -2 , -2> \)

Tenga en cuenta que.

\( \vec{AC} = <-2 , -4 , -4> = 2 <-1 , -2 , -2> = 2 \vec{AB} \)

por lo tanto

\( \vec{AC} = 2 \vec{AB} \) , k = 2

Por lo tanto, los vectores \( \vec{AC} \) e \( \vec{AB} \) son colineales y, por lo tanto, los puntos A, B e C son colineales (en la misma línea) como se muestra a continuación en el sistema de coordenadas rectangular



puntos colineales en 3D (R3)


12) A continuación se muestra un cubo de 2 unidades laterales.

a) Encuentra los componentes de los vectores \( \vec{AB} \), \( \vec{EF} \), \( \vec{DC} \), \( \vec{HG} \), \( \vec{AC} \) e \( \vec{AG} \).

b) ¿Cuáles de los vectores en la parte a) son equivalentes?

c) Demostrar algebraicamente que \( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} = \vec{AC} + \vec{CG} \).

d) Encontrar \( || \vec{AG} || \).

e) Encuentra el vector unitario en la misma dirección que el vector \( \vec{AG} \).

cubo



Solución

a)
Primero necesitamos escribir las coordenadas de los puntos A, B, C, D, E, F, G e H.

A(0,0,0,), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), E(0,0,2), F(2,0,2), G(2,2,2), H(0,2,2).

\( \vec{AB} = <2-0,0-0,0-0> = <2,0,0>\)

\( \vec{EF} = <2-0,0-0,2-2> = <2,0,0>\)

\( \vec{DC} = <2-0, 2-2,0-0> = <2,0,0> \)

\( \vec{HG} = <2- 0 ,2 -2, 2-2 > =<2,0,0> \)

\( \vec{AC} = <2 - 0 , 2 - 0, 0 - 0> = <2,2,0>\)

\( \vec{AG} = <2-0,2-2,2-0> = <2,2,2>\)

b) Los vectores \( \vec{AB}\), \( \vec{EF} \), \( \vec{DC} \) and \( \vec{HG}\) tienen componentes iguales y son por lo tanto equivalentes (iguales).

c)
Calcular \( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} \) e \( \vec{AC} + \vec{CG} \) y compara.

\( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} = <2,0,0> + <0,0,2> + <0,2,0> = <2,2,2> \)

\( \vec{AC} + \vec{CG} = <2,2,0> + <0,0,2> = <2,2,2>\)

Por lo tanto \( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} \) = \( \vec{AC} + \vec{CG} \).

d) Encontrar \( || \vec{AG} || = \sqrt{2^2+2^2+2^2} = 2\sqrt{3}\).

e) Vector de unidad en la misma dirección como vector \( \vec{AG} \) es dado por

\( \dfrac{1}{|| \vec{AG} ||} \vec{AG} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}}<2,2,2> = <1/\sqrt{3} ,1/\sqrt{3} ,1/\sqrt{3} > \)

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