Problemas y Preguntas de Álgebra con Soluciones - Grado 12

Reescribimos las expresiones dadas a la misma potencia para que podamos compararlas fácilmente. Para hacer esto, usamos la regla de potencia de una potencia: \( (x^a)^b = x^{a \cdot b} \).

Reescribamos todas las expresiones para tener un exponente exterior de 100:

\[ 25^{100} \text{ (Ya tiene un exponente de 100)} \]

\[ 2^{300} = (2^3)^{100} = 8^{100} \]

\[ 3^{400} = (3^4)^{100} = 81^{100} \]

\[ 4^{200} = (4^2)^{100} = 16^{100} \]

\[ 2^{600} = (2^6)^{100} = 64^{100} \]

Ahora que los exponentes son idénticos, los ordenamos de mayor a menor simplemente comparando las bases (81, 64, 25, 16, 8):

\[ \mathbf{3^{400} , \quad 2^{600}, \quad 25^{100} , \quad 4^{200} , \quad 2^{300}} \]

De acuerdo con el Teorema de la Raíz Racional, los posibles ceros racionales de un polinomio \( P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \) vienen dados por:

\[ \dfrac{\text{factores del término constante } a_0}{\text{factores del coeficiente principal } a_n} \]

Identificamos el coeficiente principal y el término constante del polinomio dado:

El coeficiente principal es \( 1 \), y sus factores son: \( \pm 1 \)

El término constante es \( 6 \), y sus factores son: \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \)

Por lo tanto, dividir los factores del término constante por los factores del coeficiente principal nos da los posibles ceros racionales:

\[ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \]

Probamos los Ceros Racionales, usando sustitución directa y cálculos para ver cuáles son iguales a 0:

\[ P(1) = (1)^3 - 7(1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0 \]

\[ P(2) = (2)^3 - 7(2) + 6 = 8 - 14 + 6 = 0 \]

\[ P(-3) = (-3)^3 - 7(-3) + 6 = -27 + 21 + 6 = 0 \]

Dado que estos valores satisfacen \( P(x) = 0 \), son los ceros de \( P(x) \). El polinomio \( P(x) \) tiene los siguientes ceros racionales:

\[ \mathbf{x = 1, \quad x = 2, \quad x = -3} \]

Por lo tanto, el polinomio se puede factorizar completamente usando estas raíces en la forma \( (x - \text{raíz}) \):

\[ \mathbf{P(x) = (x-1)(x-2)(x+3)} \]

Analizamos las intersecciones con x (ceros) en el gráfico para determinar los factores y sus multiplicidades. Si el gráfico toca el eje y cambia de dirección, tiene una multiplicidad par. Si cruza directamente, tiene una multiplicidad impar.

• En el gráfico, en \( x = -3 \), la curva toca el eje x y cambia de dirección. Esto significa que \( x = -3 \) es un cero de multiplicidad 2. Esto nos da el factor \( (x + 3)^2 \).
• En \( x = 0 \), la curva cruza directamente el eje. Esto significa que \( x = 0 \) es un cero de multiplicidad 1. Esto nos da el factor \( x \).
• En \( x = 2 \), la curva toca el eje x y cambia de dirección nuevamente. Esto significa que \( x = 2 \) es un cero de multiplicidad 2. Esto nos da el factor \( (x - 2)^2 \).

Sumando las multiplicidades (\( 2 + 1 + 2 \)), el polinomio tiene un grado mínimo posible de 5.

A continuación, determinamos el signo del coeficiente principal observando el comportamiento en los extremos. El gráfico cae a la derecha y sube a la izquierda. Un polinomio de grado impar con este comportamiento en los extremos debe tener un coeficiente principal negativo.

Se nos dice que el valor absoluto del coeficiente principal es 1, por lo que el coeficiente principal debe ser exactamente \( -1 \).

Combinando el coeficiente principal y los factores, \( P(x) \) viene dado por:

\[ \mathbf{P(x) = - x (x + 3)^2 (x - 2)^2} \]

De acuerdo con el Teorema del Conjugado Complejo, dado que los coeficientes del polinomio \( P(x) \) son números reales, cualquier raíz compleja debe ocurrir en pares conjugados. Por lo tanto, si \( 2 - i \) es un cero, entonces \( 2 + i \) también es un cero de \( P(x) \).

A continuación, encontramos el factor cuadrático correspondiente a estas dos raíces complejas multiplicándolas entre sí:

\[ (x - (2 - i))(x - (2 + i)) \]

Expandir esta expresión es más fácil si la reagrupamos para formar una diferencia de cuadrados:

\[ = (x - 2 + i)(x - 2 - i) \]

\[ = (x - 2)^2 - i^2 \]

Recordemos que la unidad imaginaria al cuadrado es \( -1 \) (es decir, \( i^2 = -1 \)). Sustituye esto en la ecuación:

\[ = (x - 2)^2 - (-1) = (x - 2)^2 + 1 \]

Ahora expande el cuadrado perfecto:

\[ = x^2 - 4x + 4 + 1 = x^2 - 4x + 5 \]

Dado que \( P(x) \) es divisible por este factor cuadrático \( x^2 - 4x + 5 \), realizamos la división larga de polinomios para encontrar los factores restantes:

\[ (x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 8x - 10) \div (x^2 - 4x + 5) \]

Al dividir, obtenemos un resto de 0 y el cociente \( x^2 - 2 \). Este cociente se puede factorizar más como una diferencia de cuadrados:

\[ x^2 - 2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \]

Igualar estos factores a cero nos da las raíces restantes. Por lo tanto, el conjunto completo de ceros de \( P(x) \) es:

\[ \mathbf{2 - i, \quad 2 + i, \quad -\sqrt{2}, \quad \sqrt{2}} \]

Utilizamos la forma de vértice de una función cuadrática, lo que facilita insertar directamente las coordenadas del vértice:

\[ f(x) = a(x - h)^2 + k \]

Sustituye el vértice dado \( (h, k) = (-2,1) \) en la ecuación:

\[ f(x) = a (x + 2)^2 + 1 \]

Ahora, usa el punto dado \( (0, -3) \) para resolver el multiplicador desconocido \( a \). Sustituye \( x = 0 \) y \( f(0) = -3 \):

\[ -3 = a(0 + 2)^2 + 1 \]

Simplifica el término al cuadrado:

\[ -3 = 4a + 1 \]

Resta 1 de ambos lados y resuelve para \( a \):

\[ 4a = -4 \implies a = -1 \]

Sustituir \( a = -1 \) en la forma de vértice nos da nuestra ecuación completa:

\[ f(x) = -(x + 2)^2 + 1 \]

Para encontrar los valores de \( a \), \( b \) y \( c \), debemos expandir esta ecuación a la forma estándar \( ax^2 + bx + c \):

\[ f(x) = -(x^2 + 4x + 4) + 1 \]

Distribuye el signo negativo:

\[ f(x) = -x^2 - 4x - 4 + 1 \]

Combina los términos constantes:

\[ f(x) = -x^2 - 4x - 3 \]

Comparando esto con la forma cuadrática estándar \( f(x) = ax^2 + bx + c \), encontramos:

\[ \mathbf{a = -1, \quad b = -4, \quad c = -3} \]

Método 1: Sustitución Algebraica

La forma estándar de una función cuadrática es:

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

Dado que \( f(1) = 3 \), sustituimos \( x = 1 \) para crear nuestra primera ecuación:

\[ 3 = a(1)^2 + b(1) + c \implies 3 = a + b + c \quad \text{(Ecuación B)} \]

Dado que \( f(5) = 3 \), sustituimos \( x = 5 \) para crear nuestra segunda ecuación:

\[ 3 = a(5)^2 + b(5) + c \implies 3 = 25a + 5b + c \quad \text{(Ecuación C)} \]

Restar la Ecuación B de la Ecuación C nos permite eliminar la variable \( c \):

\[ (25a + 5b + c) - (a + b + c) = 3 - 3 \]

\[ 24a + 4b = 0 \]

Divide por 4 para simplificar: \( 6a + b = 0 \), lo que implica \( b = -6a \).

La coordenada x del vértice para cualquier cuadrática viene dada por la fórmula \( \dfrac{-b}{2a} \). Sustituyendo \( -6a \) por \( b \):

\[ \dfrac{-(-6a)}{2a} = \dfrac{6a}{2a} = \mathbf{3} \]

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Ten en cuenta que este problema podría resolverse mucho más rápido usando geometría de la siguiente manera:

Dado que \( f(x) \) es una función cuadrática tal que \( f(1) = 3 \) y \( f(5) = 3 \), los dos puntos \( (1, 3) \) y \( (5, 3) \) se encuentran en la parábola. Debido a que tienen exactamente la misma coordenada y (3), representan puntos horizontalmente simétricos en el gráfico.

Dado que la función es cuadrática, la coordenada x del vértice se encuentra exactamente a mitad de camino entre dos puntos simétricos cualesquiera. Por lo tanto, es igual a la coordenada x del punto medio de estos dos puntos.

Calcula la coordenada x del punto medio:

\[ x_{\text{vértice}} = \dfrac{1 + 5}{2} = \dfrac{6}{2} = \mathbf{3} \]

La coordenada \( x \) del vértice del gráfico de \( f(x) \) es 3.

La asíntota oblicua (o inclinada) de una función racional es el cociente resultante de la división larga de polinomios del numerador por el denominador.

Realicemos la división larga de \( a x^4 + b x^3 + 3 \) por \( x^3 - 2 \):

1. Divide el término principal \( ax^4 \) por \( x^3 \), lo que da \( ax \). Este es el primer término del cociente.

2. Multiplica \( ax \) por todo el denominador \( (x^3 - 2) \), lo que da \( ax^4 - 2ax \).

3. Resta esto del numerador: \( (ax^4 + bx^3 + 3) - (ax^4 - 2ax) = bx^3 + 2ax + 3 \).

4. Ahora, divide el nuevo término principal \( bx^3 \) por \( x^3 \), lo que da \( b \). Este es el segundo término del cociente.

Usando la división larga, obtenemos la expresión completa:

\[ \dfrac{ax^4 + bx^3 + 3}{x^3 - 2} = ax + b + \dfrac{2ax + (3 + 2b)}{x^3 - 2} \]

El cociente \( ax + b \) es la asíntota oblicua. Nos dicen que la asíntota oblicua debe ser igual a la recta \( 2x - 3 \).

Por lo tanto, los igualamos entre sí:

\[ ax + b = 2x - 3 \]

Dado que dos polinomios son iguales si y solo si sus coeficientes correspondientes son iguales, comparamos los términos y obtenemos:

\[ \mathbf{a = 2, \quad b = -3} \]

Dada la ecuación:

\[ \log_9 (x^3) = \log_2(8) \]

Primero, simplifica el lado derecho de la ecuación dada. Dado que 8 se puede escribir como \( 2^3 \), el logaritmo se simplifica fácilmente:

\[ \log_2(8) = \log_2 (2^3) = 3 \]

Reescribe la ecuación original sustituyendo este nuevo valor:

\[ \log_9 (x^3) = 3 \]

Para resolver para \( x \), podemos reescribir el número 3 usando un logaritmo con base 9 de modo que ambos lados coincidan, usando la regla \( c = \log_b(b^c) \):

\[ \log_9 (x^3) = \log_9(9^3) \]

Dado que las bases logarítmicas en ambos lados son idénticas, podemos eliminar los logaritmos y escribir la ecuación algebraica para los argumentos:

\[ x^3 = 9^3 \]

Toma la raíz cúbica de ambos lados para resolver para \( x \):

\[ \mathbf{x = 9} \]

Dada la ecuación logarítmica inicial:

\[ \log_x(y^3) = 2 \]

Para establecer una relación algebraica entre \( x \) e \( y \), reescribe la ecuación de la forma logarítmica a la forma exponencial (\( \text{base}^{\text{respuesta}} = \text{argumento} \)):

\[ x^2 = y^3 \]

La expresión objetivo que queremos evaluar es \( \log_y(x^4) \), que contiene un \( x^4 \). Necesitamos manipular nuestra ecuación exponencial para crear un \( x^4 \). Eleva ambos lados de la ecuación al cuadrado:

\[ (x^2)^2 = (y^3)^2 \]

Simplifica usando la regla de potencia de una potencia:

\[ x^4 = y^6 \]

Ahora, sustituye este valor de \( x^4 \) de nuevo en la expresión objetivo que queremos evaluar. Toma el logaritmo de base \( y \) de ambos lados y simplifica:

\[ \log_y(x^4) = \log_y(y^6) \]

Usando la propiedad de los logaritmos \( \log_b(b^k) = k \), la expresión se evalúa a:

\[ \mathbf{6} \]

Dada la ecuación logarítmica:

\[ \log_x (8e^3) = 3 \]

Para resolver para la base \( x \), reescribe la ecuación de la forma logarítmica a la forma exponencial (\( \text{base}^{\text{respuesta}} = \text{argumento} \)):

\[ x^3 = 8e^3 \]

Para aislar \( x \), invertimos la potencia cúbica tomando la raíz cúbica en ambos lados de la ecuación:

\[ x = \sqrt[3]{8e^3} \]

Podemos simplificar la expresión dentro del radical. Dado que \( 8 \) es un cubo perfecto (\( 8 = 2^3 \)), lo sustituimos y agrupamos los términos:

\[ x = \sqrt[3]{2^3 e^3} = \sqrt[3]{(2 e)^3} \]

La raíz cúbica y la potencia cúbica se cancelan entre sí, dejando la respuesta final:

\[ \mathbf{x = 2e} \]

Dada la ecuación exponencial:

\[ 16^x + 16^{x - 1} = 10 \]

Primero, usa las reglas exponenciales para separar y reescribir los términos de manera que compartan una base común de 4. Sabemos que \( 16 = 4^2 \):

\[ 16^x = (4^2)^x = 4^{2 x} \]

Para el segundo término, usa la regla \( a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} \) y la sustitución de arriba:

\[ 16^{x - 1} = 16^x \cdot 16^{-1} = \dfrac{4^{2x}}{16} \]

Sustituye estos términos simplificados de nuevo en la ecuación dada:

\[ 4^{2x} + \dfrac{4^{2x}}{16} = 10 \]

Factoriza el término común \( 4^{2x} \) para aislarlo. \( 4^{2x}(1 + \frac{1}{16}) = 10 \), lo que se convierte en \( 4^{2x}(\frac{17}{16}) = 10 \). Multiplica ambos lados por \( \frac{16}{17} \) para resolver para \( 4^{2x} \):

\[ 4^{2x} = \dfrac{160}{17} \]

Para reducir la base de 4 a 2, toma la raíz cuadrada positiva de ambos lados de la ecuación anterior (las funciones exponenciales son siempre positivas):

\[ \sqrt {4^{2x}} = \sqrt {(4^x)^2} = 4^x = \dfrac{\sqrt{160}}{\sqrt{17}} = \dfrac{4\sqrt{10}}{\sqrt{17}} \]

Por lo tanto, dado que \( 4^x \) es matemáticamente idéntico a \( 2^{2x} \) (porque \( 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \)), tenemos nuestra respuesta:

\[ \mathbf{2^{2x} = \dfrac{4\sqrt{10}}{\sqrt{17}}} \]

Nota: Esta pregunta también podría resolverse comenzando convirtiendo directamente a base 2.

Sustituye \( 16^x = (2^4)^x = 2^{4 x} \) directamente en la ecuación y sigue pasos de factorización similares a los de la solución dada anteriormente.

Dada la primera ecuación:

\[ a^2 - b^2 = 8 \]

Debido a que queremos encontrar la suma de términos elevados a la potencia de 4, debemos elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación dada para generar esas potencias más altas:

\[ (a^2 - b^2)^2 = 8^2 \]

Expande el lado izquierdo usando la regla del binomio al cuadrado perfecto \( (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \):

\[ a^4 - 2a^2b^2 + b^4 = 64 \]

Reordenando los términos, obtenemos una expresión que contiene nuestro objetivo deseado \( a^4 + b^4 \):

\[ a^4 + b^4 - 2a^2b^2 = 64 \quad \text{(I)} \]

Ahora usamos la segunda pieza de información dada:

\[ ab = 2 \]

Eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación anterior para que coincida con el término medio de nuestra expresión expandida:

\[ (ab)^2 = a^2b^2 = 2^2 = 4 \]

Sustituye este valor de \( 4 \) en lugar de \( a^2b^2 \) en la ecuación (I):

\[ a^4 + b^4 - 2(4) = 64 \]

Multiplica para simplificar:

\[ a^4 + b^4 - 8 = 64 \]

Suma 8 a ambos lados para encontrar el valor final. Por lo tanto:

\[ \mathbf{a^4 + b^4 = 72} \]

Para encontrar los valores mínimos y máximos de una función trigonométrica compleja, la construimos de adentro hacia afuera. Sabemos que el rango fundamental de una función seno básica siempre está entre -1 y 1, independientemente de sus argumentos internos:

\[ -1 \leq \sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) \leq 1 \]

Multiplica todos los términos de la desigualdad doble por el coeficiente de amplitud 2:

\[ -2 \leq 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) \leq 2 \]

Suma el desplazamiento vertical de -5 a todos los términos de la desigualdad:

\[ -2 - 5 \leq 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \leq 2 - 5 \]

Simplifica los límites:

\[ -7 \leq 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \leq -3 \]

Ahora, cambia la desigualdad anterior aplicando la operación de valor absoluto. Debido a que toda la expresión dentro de las barras de valor absoluto varía estrictamente en los números negativos (de -7 a -3), tomar el valor absoluto invierte los signos a positivo e invierte el orden numérico de los límites:

\[ |-3| \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| \leq |-7| \]

\[ 3 \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| \leq 7 \]

Finalmente, suma la constante exterior 3 a todos los términos de la desigualdad doble para completar la función \( f(x) \):

\[ 3 + 3 \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| + 3 \leq 7 + 3 \]

Simplifica los límites para revelar el rango final:

\[ 6 \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| + 3 \leq 10 \]

Por lo tanto, el valor máximo de \( f(x) \) es igual a 10 y el valor mínimo de \( f(x) \) es igual a 6.

Al simplificar valores absolutos anidados, trabajamos de adentro hacia afuera. Usamos la condición de dominio dada para determinar el signo de la expresión dentro de las barras. Si la expresión es negativa, la multiplicamos por -1 para evaluar el valor absoluto.

Nos dan la condición: Si \( x \lt -7 \), entonces al sumar 4 a ambos lados, sabemos que:

\[ x \lt -3 \]

Suma 3 a la desigualdad anterior y simplifica para determinar el signo de la expresión interna \( (3 + x) \):

\[ x + 3 \lt 0 \]

Dado que \( (3+x) \) es definitivamente menor que cero, de acuerdo con la definición del valor absoluto, debemos multiplicarlo por -1 para eliminar las barras:

\[ |3 + x| = -(3 + x) \]

Sustituye esto de nuevo. La expresión dada se simplifica a:

\[ |4 - |3 + x|| = |4 - (- (3 + x))| = |4 + 3 + x| = |x + 7| \]

Ahora evaluamos el valor absoluto exterior \( |x + 7| \). Regresamos a nuestra condición original \( x \lt -7 \). Sumar 7 a ambos lados revela que:

\[ x + 7 \lt 0 \]

Dado que la nueva expresión también es definitivamente negativa, multiplicamos nuevamente por -1 para evaluar el valor absoluto:

\[ |x + 7| = - (x + 7) = - x - 7 \]

Y por lo tanto, la expresión completamente simplificada es:

\[ \mathbf{|4 - |3 + x|| = -x - 7} \]

La velocidad promedio no se calcula simplemente promediando dos velocidades juntas; debe calcularse usando la fórmula: Distancia Total dividida por Tiempo Total. Debemos establecer expresiones para la distancia y el tiempo.

Sea \( d \) la distancia entre \( A \) y \( B \). El tiempo empleado en viajar el primer tramo de A a B se calcula dividiendo la distancia por la velocidad:

\[ t_1 = \dfrac{d}{50} \]

donde 50 km/hora es la velocidad promedio de \( A \) a \( B \).

Sea \( v \) la velocidad promedio desconocida para el viaje de regreso (de \( B \) a \( A \)). El tiempo empleado para el viaje de regreso es:

\[ t_2 = \dfrac{d}{v} \]

El tiempo total para el viaje completo de ida y vuelta es la suma de ambos tiempos:

\[ t_{\text{total}} = t_1 + t_2 = \dfrac{d}{50} + \dfrac{d}{v} \]

La distancia total recorrida (ida y vuelta) es simplemente el doble de la distancia:

\[ d + d = 2d \]

La velocidad promedio para todo el viaje viene dada por la distancia total sobre el tiempo total. Igualamos esta fórmula a nuestra velocidad promedio objetivo de 60 km/hora:

\[ \text{Velocidad promedio} = \dfrac{\text{Distancia Total}}{\text{Tiempo Total}} = \dfrac{2d}{t_{\text{total}}} \]

Sustituimos las expresiones que construimos en la fórmula:

\[ \dfrac{2d}{\dfrac{d}{50} + \dfrac{d}{v}} = 60 \]

Observa que la distancia \( d \) está presente en todos los términos. Cancela \( d \) tanto del numerador como del denominador dividiéndolo:

\[ \dfrac{2}{\dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{v}} = 60 \]

Para eliminar la fracción, multiplica ambos lados por la expresión del denominador \( \left( \dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{v} \right) \):

\[ 2 = 60 \left( \dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{v} \right) \]

Distribuye el 60 para simplificar los términos dentro del paréntesis:

\[ 2 = \dfrac{60}{50} + \dfrac{60}{v} \]

\[ 2 = 1.2 + \dfrac{60}{v} \]

Resta 1.2 de ambos lados para aislar el término con la variable:

\[ 0.8 = \dfrac{60}{v} \]

Resuelve para \( v \) multiplicando por \( v \) y dividiendo por 0.8:

\[ v = \dfrac{60}{0.8} = 75 \]

Por lo tanto, la velocidad promedio para el viaje de regreso de \( B \) a \( A \) debe ser de 75 km/hora para promediar 60 km/hora en todo el viaje.

Dada la ecuación no lineal, podemos usar la identidad algebraica para una diferencia de cuadrados para factorizarla en binomios más simples:

\[ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = -12 \]

Nos dan una segunda ecuación: \( x + y = 6 \). Sustituye la expresión \( (x + y) \) en nuestra ecuación factorizada con el número 6:

\[ (x - y)(6) = -12 \]

Divide ambos lados por 6 para resolver para \( x - y \):

\[ (x - y) = -2 \]

Ahora tenemos un sistema lineal simple de ecuaciones para resolver usando eliminación o sustitución:

\[ \begin{cases} x - y = -2 \\ x + y = 6 \end{cases} \]

Suma las dos ecuaciones verticalmente para eliminar la variable \( y \): \( (x+x) + (y-y) = -2 + 6 \), lo que da \( 2x = 4 \), lo que significa que \( x = 2 \).

Sustituye \( x = 2 \) en la segunda ecuación: \( 2 + y = 6 \), lo que da \( y = 4 \).

Resolver el sistema anterior nos da la respuesta final:

\[ \mathbf{x = 2, \quad y = 4} \]

Dada la ecuación funcional:

\[ f(x) + 3f(8 - x) = x \]

Para evaluar un valor específico como \( f(2) \), necesitamos sustituir valores estratégicos para \( x \) para construir un sistema de ecuaciones resoluble. Primero, sustituye \( x = 2 \) en la ecuación dada:

\[ f(2) + 3 f(8-2) = 2 \]

\[ f(2) + 3 f(6) = 2 \tag{A} \]

Esto crea una ecuación con una nueva incógnita, \( f(6) \). Para encontrar una forma de eliminarla, sustituye \( x = 6 \) en la ecuación original dada:

\[ f(6) + 3 f(8-6) = 6 \]

\[ f(6) + 3 f(2) = 6 \tag{B} \]

Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones. Podemos resolver la ecuación (B) para aislar \( f(6) \):

\[ f(6) = 6 - 3f(2) \tag{C} \]

Sustituye esta expresión para \( f(6) \) de nuevo en la ecuación (A):

\[ f(2) + 3(6 - 3f(2)) = 2 \]

Expande la expresión distribuyendo el 3 y agrupa los términos semejantes:

\[ f(2) + 18 - 9f(2) = 2 \]

\[ - 8 f(2) + 18 = 2 \]

Resta 18 de ambos lados y resuelve para \( f(2) \):

\[ -8 f(2) = -16 \]

\[ \mathbf{f(2) = 2} \]

Dada la ecuación funcional recursiva:

\[ f(2x + 1) = 2 f(x) + 1 \tag{A} \]

Debemos usar el valor conocido \( f(0) = 2 \) como trampolín para encontrar \( f(3) \). Necesitamos determinar qué valores de \( x \) producirán las evaluaciones de función que necesitamos.

Para encontrar el siguiente paso en la cadena desde \( x=0 \), sea \( x = 0 \) en la ecuación \( A \):

\[ f(2(0) + 1) = 2 f(0) + 1 \]

Sustituye el valor conocido \( f(0) = 2 \) en la ecuación:

\[ f(1) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 \]

Ahora sabemos que \( f(1) = 5 \). Queremos encontrar \( f(3) \). Necesitamos que el argumento interno del lado izquierdo, \( (2x+1) \), sea igual a 3. Esto ocurre cuando \( x = 1 \). Sea \( x = 1 \) en la ecuación \( A \):

\[ f(2(1) + 1) = 2 f(1) + 1 \]

\[ f(3) = 2 f(1) + 1 \tag{B} \]

Sustituye nuestro valor recién calculado \( f(1) = 5 \) en la ecuación \( B \) para obtener la respuesta final:

\[ f(3) = 2(5) + 1 \]

\[ \mathbf{f(3) = 11} \]

Encontremos los puntos de intersección del círculo y la recta resolviendo el sistema de las dos ecuaciones dadas. Una recta que es tangente a un círculo lo interseca en exactamente un punto, lo que significa que el sistema resultante debe tener exactamente una solución.

Sustituye la expresión para \( y \), que es \( 2 x + b \), en la ecuación del círculo:

\[ x^2 + (2 x + b)^2 = 4 \]

Expande el binomio al cuadrado y simplifica la ecuación combinando términos semejantes:

\[ x^2 + 4x^2 + 4bx + b^2 = 4 \]

\[ 5 x^2 + 4 b x + (b^2 - 4) = 0 \]

El número de puntos de intersección viene dado por el número de soluciones de la ecuación cuadrática anterior. La recta y el círculo son tangentes si la ecuación cuadrática anterior tiene una sola solución. Una ecuación cuadrática tiene exactamente una solución cuando su discriminante (\( \Delta = B^2 - 4AC \)) es igual a cero.

Encuentra el discriminante \( \Delta \) como una función de \( b \), usando \( A=5 \), \( B=4b \), y \( C=(b^2 - 4) \):

\[ \Delta = ( 4 b )^2 - 4 (5)(b^2 - 4) \]

Iguala el discriminante a cero y resuelve para \( b \):

\[ ( 4 b )^2 - 4 (5)(b^2 - 4) = 0 \]

\[ 16b^2 - 20b^2 + 80 = 0 \]

\[ -4b^2 + 80 = 0 \]

\[ -4b^2 = -80 \implies b^2 = 20 \]

Toma la raíz cuadrada de ambos lados. Resuelve para \( b \) para obtener dos soluciones:

\[ b = \pm \sqrt{20} = \pm \sqrt{4 \cdot 5} \]

\[ \mathbf{b = \pm 2 \sqrt{5}} \]

Sea el polinomio del numerador \( P(x) = x^{100} - x^{99} - x + 1 \) y el polinomio divisor \( D(x) = x^2 - 3x + 2 \).

La división de los dos polinomios puede escribirse algebraicamente como:

\[ P(x) = D(x) Q(x) + r(x) \]

donde \( Q(x) \) es el cociente y \( r(x) \) es el resto. Por definición de división polinomial, el resto tendrá un grado igual a uno o menor porque el divisor \( D(x) \) tiene un grado de 2. Por lo tanto, podemos expresar el resto como una ecuación lineal \( r(x) = ax + b \).

Ahora necesitamos encontrar los valores de \( a \) y \( b \) que definen el resto.

Observa que \( D(x) \) puede factorizarse en binomios de la siguiente manera:

\[ D(x) = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \]

Por lo tanto, sustituimos el divisor factorizado y el resto lineal en nuestra ecuación de división:

\[ P(x) = (x - 1)(x - 2) Q(x) + ax + b \]

Usando los ceros de \( D(x) \) (que son 1 y 2), podemos evaluar \( P(x) \). Debido a que sustituir un cero del divisor hará que todo el término del cociente se multiplique por cero, esto aísla nuestros términos del resto. Primero, escribimos la ecuación para \( x=1 \):

\[ P(1) = (1 - 1)(1 - 2) Q(1) + a(1) + b \]

Esto se simplifica a:

\[ a + b = P(1) \]

Del mismo modo, escribimos la ecuación para \( x=2 \):

\[ P(2) = (2 - 1)(2 - 2) Q(2) + a(2) + b \]

Esto se simplifica a:

\[ 2a + b = P(2) \]

Ahora necesitamos evaluar \( P(1) \) y \( P(2) \) usando la ecuación polinomial original.

Sustituye \( x=1 \) en \( P(x) \):

\[ P(1) = 1^{100} - 1^{99} - 1 + 1 = 1 - 1 - 1 + 1 = 0 \]

A continuación, reescribimos \( P(x) \) factorizándolo ligeramente para facilitar la evaluación de números más grandes:

\[ P(x) = x^{99}(x - 1) - (x - 1) \]

Por lo tanto, calculamos \( P(2) \) sustituyendo \( x=2 \):

\[ P(2) = 2^{99}(2 - 1) - (2 - 1) = 2^{99}(1) - 1 = 2^{99} - 1 \]

Ahora tenemos un sistema lineal de ecuaciones para resolver para \( a \) y \( b \):

\[ \begin{cases} a + b = 0 \\ 2a + b = 2^{99} - 1 \end{cases} \]

De la primera ecuación, sabemos que \( b = -a \). Sustituye esto en la segunda ecuación: \( 2a - a = 2^{99} - 1 \implies a = 2^{99} - 1 \).

Resolviendo el sistema, obtenemos:

\[ a = 2^{99} - 1 \quad \text{y} \quad b = -(2^{99} - 1) = 1 - 2^{99} \]

Así, sustituyendo \( a \) y \( b \) de nuevo en \( r(x) = ax+b \), el resto es:

\[ \mathbf{r(x) = (2^{99} - 1)x + 1 - 2^{99}} \]

Podemos resolver este radical anidado igualando toda la expresión infinita a una variable.

Sea \( y = \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \cdots}}} \).

Eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación para eliminar la raíz cuadrada más externa:

\[ y^2 = \dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \cdots}}} \]

Debido a que la serie de raíces cuadradas es infinita, la expresión debajo del primer radical es idéntica a nuestra definición original de la variable \( y \). Por lo tanto, podemos sustituir \( y \) en el lado derecho de la ecuación. Podemos escribir:

\[ y^2 = \dfrac{1}{3} + y \]

Esta es una ecuación cuadrática estándar. Reordénala para igualarla a cero para que podamos resolverla. Multiplica por 3 para eliminar las fracciones, lo que da \( 3y^2 = 1 + 3y \), que se convierte en:

\[ 3y^2 - 3y - 1 = 0 \]

Usa la fórmula cuadrática (\( y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)) para resolver la ecuación cuadrática anterior y obtener:

\[ y = \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 12}}{6} \]

\[ y = \dfrac{3 \pm \sqrt{21}}{6} \quad \text{o} \quad y = \dfrac{3 - \sqrt{21}}{6} \]

Dado que la expresión original es una raíz cuadrada principal, \( y \) debe evaluarse como un número positivo. La segunda opción arroja un resultado negativo porque \( \sqrt{21} > 3 \). Dado que \( y \) es positivo, la solución es la raíz positiva:

\[ \mathbf{\sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \cdots}}} = y = \dfrac{3 + \sqrt{21}}{6}} \]

Podemos determinar la solubilidad de un sistema extrayendo sus matrices y evaluando sus determinantes. La matriz de coeficientes \(A\), compuesta por los multiplicadores de las variables, es:

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -5 & 3 & 2 \\ 3 & -4 & 1 \end{bmatrix} \]

La matriz de constantes \(b\), compuesta por los valores en el lado derecho del signo igual, es:

\[ b = \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 8 \end{bmatrix} \]

La Regla de Cramer da la solución para cada variable en términos de los determinantes de las matrices derivadas de la matriz de coeficientes \(A\) y modificadas reemplazando columnas con las constantes del lado derecho. Si el determinante de \(A\) es cero, pero un determinante modificado no lo es, el sistema no tiene solución.

Para encontrar \(x\), reemplaza la primera columna de \(A\) con el vector de constantes \(b\):

\[ A_x = \begin{bmatrix} 5 & 1 & -3 \\ 7 & 3 & 2 \\ 8 & -4 & 1 \end{bmatrix} \]

Entonces, la solución para \(x\) viene dada por la fracción: \( x = \dfrac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)} \)

Para encontrar \(y\), reemplaza la segunda columna de \(A\) con el vector de constantes \(b\):

\[ A_y = \begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 \\ -5 & 7 & 2 \\ 3 & 8 & 1 \end{bmatrix} \implies y = \dfrac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)} \]

Para encontrar \(z\), reemplaza la tercera columna de \(A\) con el vector de constantes \(b\):

\[ A_z = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 5 \\ -5 & 3 & 7 \\ 3 & -4 & 8 \end{bmatrix} \implies z = \dfrac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)} \]

Ahora, necesitamos calcular los determinantes de las matrices \(A\) y \(A_x\). Primero, evalúa la matriz \(A\):

\[ \text{det}(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -5 & 3 & 2 \\ 3 & -4 & 1 \end{vmatrix} \]

Usando la expansión de cofactores a lo largo de la primera fila (multiplicando cada elemento de la fila superior por el determinante de la matriz 2x2 que queda al tachar su fila y columna):

\[ \text{det}(A) = 2 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + (-3) \begin{vmatrix} -5 & 3 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} \]

Calculando los determinantes 2x2 usando la fórmula \( (ad - bc) \):

\[ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} = 3(1) - 2(-4) = 3 + 8 = 11 \]

\[ \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = (-5)(1) - (2)(3) = -5 - 6 = -11 \]

\[ \begin{vmatrix} -5 & 3 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} = (-5)(-4) - (3)(3) = 20 - 9 = 11 \]

Sustituye estos valores calculados de nuevo en la fórmula principal del determinante:

\[ \text{det}(A) = 2(11) - 1(-11) + (-3)(11) = 22 + 11 - 33 = 0 \]

Entonces, hemos establecido que \(\text{det}(A) = 0\). Esto significa que el sistema no tiene una solución única. Ahora verificamos el determinante de la matriz modificada \(A_x\):

\[ \text{det}(A_x) = \begin{vmatrix} 5 & 1 & -3 \\ 7 & 3 & 2 \\ 8 & -4 & 1 \end{vmatrix} \]

Calculamos esto usando la expansión de cofactores a lo largo de la primera fila de la misma manera:

\[ \text{det}(A_x) = 5 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ 8 & 1 \end{vmatrix} + (-3) \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 8 & -4 \end{vmatrix} \]

Calcula los determinantes 2x2:

\[ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} = 11, \quad \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ 8 & 1 \end{vmatrix} = 7 - 16 = -9, \quad \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 8 & -4 \end{vmatrix} = -28 - 24 = -52 \]

Sustituyendo estos valores en la fórmula de expansión:

\[ \text{det}(A_x) = 5(11) - 1(-9) + (-3)(-52) = 55 + 9 + 156 = 220 \]

No hay necesidad de continuar calculando \(A_y\) o \(A_z\). Debido a que la Regla de Cramer requiere la división por \( \text{det}(A) \), evaluar \( x \) daría como resultado \( \dfrac{220}{0} \), lo cual no está definido. Si uno de los determinantes de \(A_x\), \(A_y\) o \(A_z\) no es cero mientras que el determinante principal es cero, el sistema de ecuaciones es inconsistente y no tiene solución.

Para combinar y sumar logaritmos, deben compartir exactamente la misma base. Podemos usar la fórmula de cambio de base, \( \log_b(a) = \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)} \), para convertir todos los logaritmos de la ecuación a base 2.

Primero, convierte el término de base 4. Sabemos que \( \log_2(4) = 2 \):

\[ \log_4(x) = \dfrac{\log_2(x)}{\log_2(4)} = \dfrac{\log_2(x)}{2} = \dfrac{1}{2}\log_2(x) \]

A continuación, convierte el término de base 16. Sabemos que \( \log_2(16) = 4 \):

\[ \log_{16}(x) = \dfrac{\log_2(x)}{\log_2(16)} = \dfrac{\log_2(x)}{4} = \dfrac{1}{4}\log_2(x) \]

Ahora sustituye estos términos convertidos de nuevo en la ecuación original:

\[ \log_2(x) + \dfrac{1}{2}\log_2(x) + \dfrac{1}{4}\log_2(x) = 7 \]

Dado que todos los términos ahora comparten la variable \( \log_2(x) \), podemos factorizarla:

\[ \log_2(x) \left(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\right) = 7 \]

Busca un denominador común (que es 4) para sumar las fracciones dentro del paréntesis:

\[ \log_2(x) \left(\dfrac{4}{4} + \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4}\right) = 7 \]

\[ \dfrac{7}{4}\log_2(x) = 7 \]

Multiplica ambos lados por el recíproco \( \frac{4}{7} \) para aislar el logaritmo:

\[ \log_2(x) = 4 \]

Finalmente, convierte la ecuación de la forma logarítmica a la forma exponencial (\( \text{base}^{\text{respuesta}} = \text{argumento} \)) para resolver para \( x \):

\[ x = 2^4 \]

\[ \mathbf{x = 16} \]

Este sistema parece intimidante, pero podemos usar la identidad algebraica estándar para la suma de dos cubos para factorizar la primera ecuación y simplificar el sistema:

\[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \]

Sustituye los valores conocidos de las ecuaciones originales en esta identidad. Sabemos que los cubos suman 35, y las variables base suman 5:

\[ 35 = (5)(x^2 - xy + y^2) \]

Divide ambos lados por 5 para aislar la expresión cuadrática:

\[ x^2 - xy + y^2 = 7 \quad \text{(Ecuación A)} \]

Necesitamos otra ecuación para compararla con esta. Veamos la expresión \( (x+y)^2 \). Si tomamos la segunda ecuación dada \( (x+y = 5) \) y elevamos ambos lados al cuadrado, obtenemos:

\[ (x+y)^2 = 5^2 \]

Expande el binomio al cuadrado perfecto:

\[ x^2 + 2xy + y^2 = 25 \quad \text{(Ecuación B)} \]

Ahora podemos restar la Ecuación A de la Ecuación B para eliminar los términos al cuadrado y aislar \( xy \):

\[ (x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - xy + y^2) = 25 - 7 \]

\[ 3xy = 18 \]

Divide por 3:

\[ xy = 6 \]

Hemos simplificado el complejo sistema cúbico en un rompecabezas mucho más simple: estamos buscando dos números cuya suma es 5 (\( x+y=5 \)) y cuyo producto es 6 (\( xy=6 \)). Geométricamente, estas son las raíces de una ecuación cuadrática en la forma \( t^2 - (\text{suma})t + (\text{producto}) = 0 \).

\[ t^2 - 5t + 6 = 0 \]

Factorizar la cuadrática resulta en \( (t-2)(t-3) = 0 \), lo que significa que los dos números deben ser 2 y 3.

Dado que el sistema original de ecuaciones es perfectamente simétrico para \( x \) e \( y \), cualquier variable puede tomar cualquiera de los valores. Las soluciones son los pares de coordenadas:

\[ \mathbf{(2, 3) \quad \text{y} \quad (3, 2)} \]

Para resolver una desigualdad racional, primero debemos encontrar todos los puntos críticos factorizando completamente tanto el numerador como el denominador.

Tanto las expresiones superiores como las inferiores son diferencias de cuadrados. Factoricémoslas:

\[ \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 2)(x + 2)} \leq 0 \]

Los puntos críticos ocurren donde el numerador es cero (representando las intersecciones con x) y donde el denominador es cero (representando asíntotas verticales donde la función no está definida).

• Ceros del numerador: \( x = 3, x = -3 \). Debido a que la desigualdad es "menor o igual a" (\( \leq \)), se permite que la función sea igual a cero. Por lo tanto, estos puntos se incluirán en nuestra solución final (usando corchetes sólidos).
• Ceros del denominador: \( x = 2, x = -2 \). Debido a que la división por cero no está definida matemáticamente, la función nunca puede existir en estos puntos. Por lo tanto, estos puntos nunca se incluirán en nuestra solución final (usando paréntesis).

Colocamos estos cuatro puntos críticos en una recta numérica en orden numérico: -3, -2, 2, 3. Esto divide la recta numérica en cinco intervalos distintos. Debemos probar un valor aleatorio dentro de cada intervalo para ver si la expresión fraccionaria general se evalúa a un número positivo o negativo:

• Intervalo \( (-\infty, -3) \): Prueba \( x = -4 \). Los signos de los términos factorizados son \( \frac{(-)(-)}{(-)(-)} \). Un negativo dividido por un negativo es positivo.
• Intervalo \( (-3, -2) \): Prueba \( x = -2.5 \). Los signos son \( \frac{(-)(+)}{(-)(-)} \). Un negativo dividido por un positivo es negativo.
• Intervalo \( (-2, 2) \): Prueba \( x = 0 \). Los signos son \( \frac{(-)(+)}{(-)(+)} \). Un negativo dividido por un negativo es positivo.
• Intervalo \( (2, 3) \): Prueba \( x = 2.5 \). Los signos son \( \frac{(-)(+)}{(+)(+)} \). Un negativo dividido por un positivo es negativo.
• Intervalo \( (3, \infty) \): Prueba \( x = 4 \). Los signos son \( \frac{(+)(+)}{(+)(+)} \). Un positivo dividido por un positivo es positivo.

La desigualdad nos pide encontrar dónde la expresión es menor o igual a 0, lo que significa que queremos los intervalos Negativos. Estos son los intervalos entre -3 y -2, y entre 2 y 3.

Aplicando nuestras reglas de inclusión (corchetes para las raíces del numerador, paréntesis para las raíces indefinidas del denominador), escribimos la notación de intervalo final:

\[ \mathbf{[-3, -2) \cup (2, 3]} \]