Domina las Matemáticas de Grado 12: Problemas de Círculos y Trigonometría

Paso 1: Determinar el radio.
El punto A está en el eje x en \( (8,0) \). Debido a que el centro del círculo está en el origen \( (0,0) \), la distancia desde el origen hasta el punto A es exactamente el radio. Por lo tanto, \( R = 8 \).

Paso 2: Encontrar el ángulo central \( \theta \).
Usamos la fórmula de longitud de arco \( s = R \theta \). Nos dan \( s = 20 \) y sabemos que \( R = 8 \). Sustituye estos valores para resolver para \( \theta \) en radianes:

\[ 20 = 8 \theta \implies \theta = \dfrac{20}{8} = 2.5 \text{ radianes} \]

Paso 3: Calcular las coordenadas de P.
Usa las fórmulas estándar de coordenadas circulares \( x = R \cos(\theta) \) y \( y = R \sin(\theta) \). ¡Asegúrate de que tu calculadora esté configurada en modo Radianes!

\[ x = 8 \cos(2.5) \approx 8(-0.8011) \approx -6.40 \] \[ y = 8 \sin(2.5) \approx 8(0.5984) \approx 4.79 \]

Conclusión:
Las coordenadas del punto \( P \) son aproximadamente \( (-6.40, 4.79) \). (Esto tiene sentido lógico ya que el punto está en el segundo cuadrante, donde x es negativo e y es positivo).

Paso 1: Encontrar el radio \( R \).
El radio es la distancia desde el origen \( (0,0) \) hasta el punto P. Usamos la fórmula de distancia (o el teorema de Pitágoras):

\[ R = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} \] \[ R = \sqrt{(16 \cdot 2) + (25 \cdot 2)} = \sqrt{32 + 50} = \sqrt{82} \]

Paso 2: Encontrar el ángulo central \( \theta \).
Usamos la definición de tangente para encontrar el ángulo. Dado que tanto x como y son positivos, el punto está en el Cuadrante I, por lo que no necesitamos ajustar el ángulo.

\[ \tan(\theta) = \dfrac{y}{x} = \dfrac{5\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \dfrac{5}{4} = 1.25 \] \[ \theta = \arctan(1.25) \approx 0.8960 \text{ radianes} \]

Paso 3: Calcular la longitud de arco \( S \).
Usando la fórmula \( S = R\theta \):

\[ S = \sqrt{82} \cdot \arctan(1.25) \approx 9.055 \cdot 0.8960 \approx 8.11 \text{ unidades} \]

Paso 1: Determinar el tiempo transcurrido.
Desde las 11:10 PM hasta las 11:50 PM, el tiempo transcurrido es exactamente 40 minutos.

Paso 2: Encontrar el desplazamiento angular.
Un reloj es un círculo completo (\( 360^\circ \) o \( 2\pi \) radianes), que representa 60 minutos de tiempo. Necesitamos encontrar la fracción del círculo que cubrió el minutero.

\[ \text{Fracción del círculo} = \dfrac{40 \text{ min}}{60 \text{ min}} = \dfrac{2}{3} \text{ de una rotación completa} \]

Ahora, convierte esta fracción directamente a radianes. Una rotación completa es \( 2\pi \):

\[ \theta = \dfrac{2}{3} \times 2\pi = \dfrac{4\pi}{3} \text{ radianes} \]

Paso 3: Calcular la longitud del arco.
El radio \( R \) es la longitud del minutero, que es 4.5 cm. Aplica la fórmula de longitud de arco \( S = R \theta \):

\[ S = 4.5 \times \left( \dfrac{4\pi}{3} \right) = \dfrac{18\pi}{3} = \mathbf{6\pi \text{ cm}} \]

a) Encontrar las coordenadas de P:
Usando el radio \( R = 5 \) y el ángulo \( 35^\circ \), usamos las fórmulas estándar (asegúrate de que la calculadora esté en modo Grados para este paso):

\[ a = x = 5 \cos(35^\circ) \approx 4.096 \] \[ b = y = 5 \sin(35^\circ) \approx 2.868 \] \[ P(4.096, 2.868) \]

b) Encontrar la longitud de arco PQ:
Primero, debemos convertir el ángulo de grados a radianes porque la fórmula \( S=R\theta \) requiere radianes.

\[ \theta \text{ en radianes} = 35^\circ \times \left(\dfrac{\pi}{180^\circ}\right) = \dfrac{35\pi}{180} = \dfrac{7\pi}{36} \] \[ \text{Arco } PQ = R\theta = 5 \cdot \left(\dfrac{7\pi}{36}\right) = \dfrac{35\pi}{36} \approx 3.05 \text{ unidades} \]

c) Encontrar la coordenada x de M:
El punto M es \( (c, -1) \). Dado que M está en el círculo, su distancia al origen debe ser igual al radio (5).

\[ x^2 + y^2 = R^2 \implies c^2 + (-1)^2 = 5^2 \] \[ c^2 + 1 = 25 \implies c^2 = 24 \implies c = \pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6} \]

Observa el diagrama. El punto M está ubicado en el Cuadrante III, donde las coordenadas x deben ser negativas. Por lo tanto, rechazamos la raíz positiva:

\[ c = -2\sqrt{6} \approx -4.899 \]

d) Encontrar el ángulo \( \theta \):
Sea el ángulo total desde el eje x positivo hasta M igual a \( \alpha \). Según el diagrama, \( \alpha = \theta + 35^\circ \).

Encontramos \( \alpha \) usando la tangente del punto M \( (-2\sqrt{6}, -1) \):

\[ \tan(\alpha) = \dfrac{y}{x} = \dfrac{-1}{-2\sqrt{6}} = \dfrac{1}{2\sqrt{6}} \]

Dado que el punto está en el tercer cuadrante, la función \( \arctan \) de la calculadora (que devuelve un ángulo del Cuadrante I) estará desviada por \( 180^\circ \). Debemos sumar \( 180^\circ \):

\[ \alpha = 180^\circ + \arctan\left(\dfrac{1}{2\sqrt{6}}\right) \approx 180^\circ + 11.54^\circ = 191.54^\circ \]

Ahora, resta el desfase de \( 35^\circ \) para resolver para \( \theta \):

\[ \theta = \alpha - 35^\circ = 191.54^\circ - 35^\circ = \mathbf{156.54^\circ} \]

a) Calcular la longitud de arco DP:
Convierte el ángulo a radianes: \( \theta = 130^\circ \times (\dfrac{\pi}{180^\circ}) = \dfrac{130\pi}{180} = \dfrac{13\pi}{18} \).

\[ \text{Arco } DP = R \cdot \theta = 4 \cdot \dfrac{13\pi}{18} = \dfrac{26\pi}{9} \approx 9.08 \text{ unidades} \]

b) Encontrar las coordenadas de P:
Usando definiciones trigonométricas estándar con \( R = 4 \) y \( \theta = 130^\circ \):

\[ a = 4 \cos(130^\circ) \approx -2.57 \] \[ b = 4 \sin(130^\circ) \approx 3.06 \] \[ P(-2.57, 3.06) \]

c) Encontrar la longitud del segmento de línea PD:
El punto D se encuentra en el eje x positivo a distancia R, por lo que sus coordenadas son \( D(4, 0) \). Usa la fórmula de distancia en 2D \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \):

\[ PD = \sqrt{(4 \cos(130^\circ) - 4)^2 + (4 \sin(130^\circ) - 0)^2} \] \[ PD = \sqrt{(-2.57 - 4)^2 + (3.06)^2} = \sqrt{(-6.57)^2 + 9.36} \] \[ PD = \sqrt{43.16 + 9.36} = \sqrt{52.52} \approx \mathbf{7.25 \text{ unidades}} \]

(Alternativamente, podrías usar la Ley de los Cosenos en el triángulo OPD: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\theta) \implies PD^2 = 4^2 + 4^2 - 2(4)(4)\cos(130^\circ) \). ¡Esto produce exactamente el mismo resultado!)

Paso 1: Encontrar el ángulo \( \theta \) en radianes.
Reorganiza la fórmula de longitud de arco \( S = R\theta \) para despejar \( \theta \):

\[ \theta = \dfrac{S}{R} = \dfrac{12.5}{3} \approx 4.167 \text{ radianes} \]

(Nota: Dado que \( \pi \approx 3.14 \) y \( \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 \), un ángulo de 4.167 radianes cae perfectamente en el tercer cuadrante. Esto coincide con nuestro diagrama).

Paso 2: Encontrar las coordenadas.
Aplica las fórmulas de coordenadas directamente usando la medida en radianes. Asegúrate de que tu calculadora esté en modo Radianes.

\[ a = x = 3 \cos\left(\dfrac{12.5}{3}\right) \approx 3(-0.523) \approx -1.57 \] \[ b = y = 3 \sin\left(\dfrac{12.5}{3}\right) \approx 3(-0.852) \approx -2.56 \]

Las coordenadas de B son \( (-1.57, -2.56) \).

Paso 1: Encontrar el ángulo \( \theta \).
Nos dan la coordenada x (\( 4.1 \)) y el radio (\( 5 \)). Usamos la relación del coseno:

\[ \cos(\theta) = \dfrac{x}{R} = \dfrac{4.1}{5} = 0.82 \]

Debido a que el punto P se establece explícitamente en el Cuadrante I, el ángulo \( \theta \) es agudo (entre 0 y \( \pi/2 \)). Podemos usar directamente la función coseno inverso para encontrar el ángulo en radianes:

\[ \theta = \arccos(0.82) \approx 0.6094 \text{ radianes} \]

Paso 2: Calcular la longitud del arco.
Sustituye el ángulo en radianes en la fórmula de longitud de arco:

\[ S = R \theta = 5 \cdot \arccos(0.82) \approx 5 \cdot 0.6094 \approx \mathbf{3.05 \text{ unidades}} \]

Paso 1: Configurar las ecuaciones.
El perímetro de un sector está hecho de dos radios y la longitud de arco \( S \). Por lo tanto, \( P = 2R + S \). Dado que \( S = R\theta \), podemos escribir la ecuación del perímetro como:

\[ 100 = 2R + R\theta \]

El área de un sector viene dada por \( A = \frac{1}{2}R^2\theta \).

Paso 2: Expresar el Área en términos de una variable.
De la ecuación del perímetro, despeja \( \theta \):

\[ R\theta = 100 - 2R \implies \theta = \dfrac{100 - 2R}{R} \]

Sustituye esta \( \theta \) en la ecuación de área para crear una función únicamente en términos de \( R \):

\[ A(R) = \dfrac{1}{2}R^2 \left( \dfrac{100 - 2R}{R} \right) = \dfrac{1}{2}R(100 - 2R) = 50R - R^2 \]

Paso 3: Maximizar la función de Área.
La ecuación de área \( A(R) = -R^2 + 50R \) es una parábola que se abre hacia abajo. El máximo ocurre en el vértice. Usando la fórmula del vértice \( R = \frac{-b}{2a} \):

\[ R = \dfrac{-50}{2(-1)} = 25 \text{ cm} \]

(Alternativamente, toma la derivada: \( A'(R) = 50 - 2R = 0 \implies R = 25 \)).

Paso 4: Encontrar el ángulo central correspondiente \( \theta \).
Sustituye \( R = 25 \) de nuevo en nuestra ecuación para \( \theta \):

\[ \theta = \dfrac{100 - 2(25)}{25} = \dfrac{50}{25} = \mathbf{2 \text{ radianes}} \]

¡Sorprendentemente, para cualquier perímetro fijo, el área de un sector siempre se maximiza cuando el ángulo central es exactamente 2 radianes!

Paso 1: Encontrar la longitud de los segmentos rectos.
Dibuja una línea paralela al segmento de correa recto a través del centro del círculo más pequeño. Esto crea un triángulo rectángulo con una hipotenusa igual a la distancia entre los centros (\( d = 13 \)) y un cateto igual a la diferencia de radios (\( r_2 - r_1 = 8 - 3 = 5 \)).
Sea \( L \) la longitud de un segmento recto de la correa. Usando el teorema de Pitágoras:

\[ L^2 + 5^2 = 13^2 \implies L^2 + 25 = 169 \implies L^2 = 144 \implies L = 12 \text{ cm} \]

Dado que hay dos segmentos rectos (superior e inferior), su longitud combinada es \( 2 \times 12 = 24 \text{ cm} \).

Paso 2: Encontrar el ángulo central de los puntos de contacto.
Sea \( \alpha \) el ángulo en el triángulo rectángulo adyacente a los centros.
\( \cos(\alpha) = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{5}{13} \). Por lo tanto, \( \alpha = \arccos(\frac{5}{13}) \approx 1.176 \text{ radianes} \).

Paso 3: Calcular las longitudes de arco alrededor de las poleas.
A través de una deducción geométrica, el ángulo donde la correa toca la polea más pequeña es \( 2\alpha \).
Arco en la polea pequeña: \( S_1 = r_1(2\alpha) = 3(2 \times 1.176) = 3(2.352) = 7.056 \text{ cm} \).

El ángulo donde la correa toca la polea más grande es el arco mayor, que es \( 2\pi - 2\alpha \).
Ángulo mayor: \( 2\pi - 2.352 \approx 6.283 - 2.352 = 3.931 \text{ radianes} \).
Arco en la polea grande: \( S_2 = r_2(3.931) = 8(3.931) = 31.448 \text{ cm} \).

Paso 4: Sumar las partes.
Longitud Total = Segmentos Rectos + Arco Pequeño + Arco Grande
\[ \text{Longitud Total} \approx 24 + 7.056 + 31.448 = \mathbf{62.5 \text{ cm}} \]

Paso 1: Encontrar los puntos de intersección.
Sustituye la ecuación lineal en la ecuación del círculo:

\[ x^2 + (2x + 5)^2 = 25 \] \[ x^2 + (4x^2 + 20x + 25) = 25 \] \[ 5x^2 + 20x = 0 \]

Factoriza \( 5x \):

\[ 5x(x + 4) = 0 \implies x = 0 \text{ o } x = -4 \]

Encuentra los valores de y correspondientes usando \( y = 2x+5 \):
Si \( x = 0, y = 5 \). Punto 1: \( (0, 5) \).
Si \( x = -4, y = -3 \). Punto 2: \( (-4, -3) \).

Paso 2: Encontrar el ángulo central entre estos puntos.
Sean los vectores \( \vec{A} = (0, 5) \) y \( \vec{B} = (-4, -3) \). Podemos encontrar el ángulo \( \theta \) entre ellos usando la fórmula del producto punto: \( \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos(\theta) \).

Producto punto: \( (0)(-4) + (5)(-3) = -15 \)
Magnitudes (ambas son el radio): \( |\vec{A}| = 5 \), \( |\vec{B}| = 5 \).

\[ -15 = (5)(5) \cos(\theta) \implies \cos(\theta) = \dfrac{-15}{25} = -\dfrac{3}{5} \] \[ \theta = \arccos\left(-\dfrac{3}{5}\right) \approx 2.214 \text{ radianes} \]

Paso 3: Calcular la longitud del arco.
Sabemos que el radio es \( R = 5 \). Usando \( S = R\theta \):

\[ S = 5 \cdot \arccos\left(-\dfrac{3}{5}\right) \approx 5 \cdot 2.214 \approx \mathbf{11.07 \text{ unidades}} \]