Círculos, Sectores y Trigonometría Problemas con soluciones y respuestas

Se presentan círculos y sectores en problemas de trigonometría para el grado 12 junto con sus soluciones detalladas.
Al resolver los problemas a continuación, haremos uso de la definición de las funciones trigonométricas de ángulo θ en términos de las coordenadas del punto P(x, y) que está en el lado del terminal de un ángulo θ.
cos(θ) = x / R     tan(θ) = y / x     sec(θ) = R / x
sin(θ) = y / R     cot(θ) = x / y     CSC(θ) = R / y
R = √(x² + y²)
También usaremos la relación entre la longitud del arco S, el radio R y el ángulo central θ de un sector: S = R θ     (θ in RADIANS)

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1. 
   Si las coordenadas del punto A, en el círculo de abajo, son (8, 0) y el arco tiene una longitud de 20 unidades, encuentra las coordenadas del punto P en el siguiente diagrama.
   
   

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   Solución
   El radio R del círculo dado es igual a 8. Primero usamos la fórmula para el arco s en términos del radio R e el ángulo θ para encontrar θ en radianes.
   s = R θ
   
   20 = 8 θ
   
   θ = 20 / 8 = 2.5 radianes
   
   Ahora usamos las definiciones de seno y coseno para encontrar las coordenadas x e y de P.
   cos(θ) = x / R     and     sin(θ) = y / R
   cos(θ) = x / R     gives     x = R cos(θ) = 8 cos(2.5) = -6.40
   sin(θ) = y / R     gives     y = R sin(θ) = 8 sin(2.5) = 4.79
   El punto P tiene las coordenadas(-6.40 , 4.79).
   

2. 
   En un sistema de coordenadas rectangulares, un círculo con su centro en el origen pasa a través del punto (4√2 , 5√2).
   ¿Cuál es la longitud del arco S?
   

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   Solución
   Usamos la definición de tangente para encontrar el ángulo θ.
   tan(θ) = y / x = 5√2 / 4√2 = 5 / 4
   θ = arctan(5 / 4)
   
   Usa la fórmula para s en términos de θ e el radio R.
   
   S = R θ = √ (4√2)² + (5√2)² arctan(5 / 4) ≈ 8.11
   

3. 
   La longitud de los minutos en un reloj es de 4.5 cm. Encuentre la longitud del arco trazada al final de la manecilla de minutos entre 11:10 pm e 11:50 pm.
   
   

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   Solución
   De 11:10 p.m. a 11:50 p.m., hay
   
   11:50 - 11:10 = 40 minutos
   
   Una rotación completa de la manecilla de minutos corresponde a 60 minutos y a un ángulo de 360°. Por lo tanto, podemos escribir que hay
   
   360 ° / 60 minutos = 6 ° / minutos
   
   Si θ es el ángulo central correspondiente al arco trazado por la manecilla de los minutos, luego está dado por
   
   θ = (6 °/ minuto) × 40 minutos = 240 °
   
   El arco S trazado es luego dado por
   
   S = R θ , (θ en radianes).
   
   S = R θ = 4.5 cm 240 × π / 180 = 6π
   

4. 
   Los puntos P (a, b), Q (5, 0) e M (c, -1) están ubicados en el círculo con el centro O(0, 0) y el radio R de 5 unidades como se muestra a continuación. Calcula el:
   a) Las coordenadas (a, b) del punto P.
   b) La longitud del arco entre Q y P en sentido antihorario.
   c) La coordenada x c del punto M.
   d) Ángulo θ.
   

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   Solución
   a) El punto P es el lado del terminal de un ángulo en la posición estándar de 35°. Por lo tanto
   a = R cos (35°) = 5 cos (35°)     and     b = R sin(35°) = 5 sin (35°)
   b) El ángulo central QOP es conocido, por lo tanto, la longitud del arco PQ viene dada por
   
   arco PQ = r×35 × π / 180 = 5×35 × π / 180 ≈ 3.05 unidades
   c) El punto C está en el círculo, por lo tanto, la distancia desde el centro del círculo (0,0) al punto C es igual al radio.
   
   √ (c - 0)² + (-1 - 0)² = 5
   Cuadre ambos lados de la ecuación anterior y resuelva para c.
   
   (c - 0)² + (-1 - 0)² = 25
   c = ± √ 24 = ± 2√ 6
   El punto M está en el cuadrante III y, por lo tanto, c es negativo. Por lo tanto, el punto M tiene las coordenadas
   M(- 2√ 6, -1)
   d) El punto M está en el lado terminal del ángulo θ + 35°. Por lo tanto, usando la definición de la tangente de un ángulo en posición estándar en términos de las coordenadas de un punto en el lado del terminal, tenemos
   tan(θ + 35 °) = 1 / 2√ 6
   El punto M está en quadarnt III, por lo tanto θ + 35 ° es mayor que 180 ° e por lo tanto
   θ + 35 ° = 180 + arctan(1 / 2√ 6)
   θ = 180 + arctan(1 / 2√ 6) - 35 ° = 156.54°
   

5. 
   El círculo de radio R = 4 unidades y el centro O se muestran a continuación.
   a) Encuentra la longitud del arco entre D y P.
   b) Encuentre las coordenadas (a, b) de P.
   c) Encuentra la longitud del segmento PD.
   
   

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   Solución
   a) El ángulo central DOP es conocido, por lo tanto, la longitud del arco DP está dada por (no olvide convertir grados a radianes)
   
   arc DP = R 130 π / 180 = 4 × 130 π / 180 ≈ 9.08 unidades
   b) El punto P está en el lado del terminal de un ángulo en posición estándar. Por lo tanto, las coordenadas están dadas por:
   a = R cos(130°) = 4 cos(130°)     and     b = R sin(130°) = 4 sin(130°)
   c) Usa la fórmula de distancia entre dos puntos P e D para encontrar la longitud del segmento de línea PD.
   
   PD = √ (a - 4)² + (b - 0)²
   = √ (4 cos(130°) - 4)² + (4 sin(130°) - 0)² ≈ 7.25
   

6. 
   En el círculo del centro O y el radio R = 3 que se muestran a continuación, la longitud del arco S entre A y B es de 12.5 unidades. Encuentra las coordenadas (a, b) del punto B.
   
   

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   Solución
   Primero tenemos que encontrar el tamaño y la theta; del ángulo central AOB.
   S = R θ
   θ = S / R = 12.5/3 radianes
   Ahora calculamos las coordenadas a y b del punto B.
   a = R cosθ = 3 cos(12.5 / 3)
   b = R cosθ = 3 sin(12.5 / 3)
   

7. 
   El punto P tiene coordenadas (4,1 , b) y está situado en el círculo, de centro O y de radio R = 5, en el cuadrante I. encontrar la longitud de arco S.
   
   

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   Solución
   Primero tenemos que calcular el tamaño θ del ángulo central DOP usando la coordenada x del punto P y el radio.
   4.1 = 5 cos(θ)
   cos(θ) = 4.1 / 5
   θ = arccos(4.1 / 5)
   Calculamos el arco S.
   S = R θ = 5 arccos(4.1 / 5)