Círculos, Sectores y Trigonometría Problemas con soluciones y respuestas

Se presentan círculos y sectores en problemas de trigonometría para el grado 12 junto con sus soluciones detalladas.

Al resolver los problemas a continuación, haremos uso de la definición de las funciones trigonométricas de ángulo θ en términos de las coordenadas del punto P(x, y) que está en el lado del terminal de un ángulo θ.

cos(θ) = x / R     tan(θ) = y / x     sec(θ) = R / x

sin(θ) = y / R     cot(θ) = x / y     CSC(θ) = R / y

R = √(x2 + y2)

También usaremos la relación entre la longitud del arco S, el radio R y el ángulo central θ de un sector: S = R θ     (θ in RADIANS)

coordenadas y ángulos .


  1. Si las coordenadas del punto A, en el círculo de abajo, son (8, 0) y el arco tiene una longitud de 20 unidades, encuentra las coordenadas del punto P en el siguiente diagrama.

    gráfico del círculo en la pregunta 1.



    Solución

    El radio R del círculo dado es igual a 8. Primero usamos la fórmula para el arco s en términos del radio R e el ángulo θ para encontrar θ en radianes.

    s = R θ

    20 = 8 θ

    θ = 20 / 8 = 2.5 radianes

    Ahora usamos las definiciones de seno y coseno para encontrar las coordenadas x e y de P.

    cos(θ) = x / R     and     sin(θ) = y / R

    cos(θ) = x / R     gives     x = R cos(θ) = 8 cos(2.5) = -6.40

    sin(θ) = y / R     gives     y = R sin(θ) = 8 sin(2.5) = 4.79

    El punto P tiene las coordenadas(-6.40 , 4.79).

  2. En un sistema de coordenadas rectangulares, un círculo con su centro en el origen pasa a través del punto (4√2 , 5√2).

    ¿Cuál es la longitud del arco S?

    gráfico del círculo en la pregunta 2.



    Solución

    Usamos la definición de tangente para encontrar el ángulo θ.

    tan(θ) = y / x = 5√2 / 4√2 = 5 / 4

    θ = arctan(5 / 4)

    Usa la fórmula para s en términos de θ e el radio R.

    S = R θ = √ (4√2)2 + (5√2)2 arctan(5 / 4) ≈ 8.11

  3. La longitud de los minutos en un reloj es de 4.5 cm. Encuentre la longitud del arco trazada al final de la manecilla de minutos entre 11:10 pm e 11:50 pm.

    gráfico del círculo en la pregunta 3.



    Solución

    De 11:10 p.m. a 11:50 p.m., hay

    11:50 - 11:10 = 40 minutos

    Una rotación completa de la manecilla de minutos corresponde a 60 minutos y a un ángulo de 360°. Por lo tanto, podemos escribir que hay

    360 ° / 60 minutos = 6 ° / minutos

    Si θ es el ángulo central correspondiente al arco trazado por la manecilla de los minutos, luego está dado por

    θ = (6 °/ minuto) × 40 minutos = 240 °

    El arco S trazado es luego dado por

    S = R θ , (θ en radianes).

    S = R θ = 4.5 cm 240 × π / 180 = 6π

  4. Los puntos P (a, b), Q (5, 0) e M (c, -1) están ubicados en el círculo con el centro O(0, 0) y el radio R de 5 unidades como se muestra a continuación. Calcula el:

    a) Las coordenadas (a, b) del punto P.

    b) La longitud del arco entre Q y P en sentido antihorario.

    c) La coordenada x c del punto M.

    d) Ángulo θ.

    gráfico del círculo en la pregunta 4.



    Solución

    a) El punto P es el lado del terminal de un ángulo en la posición estándar de 35°. Por lo tanto

    a = R cos (35°) = 5 cos (35°)     and     b = R sin(35°) = 5 sin (35°)

    b) El ángulo central QOP es conocido, por lo tanto, la longitud del arco PQ viene dada por

    arco PQ = r×35 × π / 180 = 5×35 × π / 180 ≈ 3.05 unidades

    c) El punto C está en el círculo, por lo tanto, la distancia desde el centro del círculo (0,0) al punto C es igual al radio.

    (c - 0)2 + (-1 - 0)2 = 5

    Cuadre ambos lados de la ecuación anterior y resuelva para c.

    (c - 0)2 + (-1 - 0)2 = 25

    c = ~+mn~ √ 24 = ~+mn~ 2√ 6

    El punto M está en el cuadrante III y, por lo tanto, c es negativo. Por lo tanto, el punto M tiene las coordenadas

    M(- 2√ 6, -1)

    d) El punto M está en el lado terminal del ángulo θ + 35°. Por lo tanto, usando la definición de la tangente de un ángulo en posición estándar en términos de las coordenadas de un punto en el lado del terminal, tenemos

    tan(θ + 35 °) = 1 / 2√ 6

    El punto M está en quadarnt III, por lo tanto θ + 35 ° es mayor que 180 ° e por lo tanto

    θ + 35 ° = 180 + arctan(1 / 2√ 6)

    θ = 180 + arctan(1 / 2√ 6) - 35 ° = 156.54°

  5. El círculo de radio R = 4 unidades y el centro O se muestran a continuación.

    a) Encuentra la longitud del arco entre D y P.

    b) Encuentre las coordenadas (a, b) de P.

    c) Encuentra la longitud del segmento PD.

    gráfico del círculo en la pregunta 5.



    Solución

    a) El ángulo central DOP es conocido, por lo tanto, la longitud del arco DP está dada por (no olvide convertir grados a radianes)

    arc DP = R 130 π / 180 = 4 × 130 π / 180 ≈ 9.08 unidades

    b) El punto P está en el lado del terminal de un ángulo en posición estándar. Por lo tanto, las coordenadas están dadas por:

    a = R cos(130°) = 4 cos(130°)     and     b = R sin(130°) = 4 sin(130°)

    c) Usa la fórmula de distancia entre dos puntos P e D para encontrar la longitud del segmento de línea PD.

    PD = √ (a - 4)2 + (b - 0)2

    = √ (4 cos(130°) - 4)2 + (4 sin(130°) - 0)2 ≈ 7.25

  6. En el círculo del centro O y el radio R = 3 que se muestran a continuación, la longitud del arco S entre A y B es de 12.5 unidades. Encuentra las coordenadas (a, b) del punto B.

    gráfico del círculo en la pregunta 6 .



    Solución

    Primero tenemos que encontrar el tamaño y la theta; del ángulo central AOB.

    S = R θ

    θ = S / R = 12.5/3 radianes

    Ahora calculamos las coordenadas a y b del punto B.

    a = R cosθ = 3 cos(12.5 / 3)

    b = R cosθ = 3 sin(12.5 / 3)

  7. Point P has coordinates (4.1 , b) and is located on the circle, of center O and radius R = 5, in quadrant I. Find the length of arc S. El punto P tiene coordenadas (4,1 , b) y está situado en el círculo, de centro O y de radio R = 5, en el cuadrante I. encontrar la longitud de arco S.

    gráfico del círculo en la pregunta 7.



    Solución

    Primero tenemos que calcular el tamaño θ del ángulo central DOP usando la coordenada x del punto P y el radio.

    4.1 = 5 cos(θ)

    cos(θ) = 4.1 / 5

    θ = arccos(4.1 / 5)

    Calculamos el arco S.

    S = R θ = 5 arccos(4.1 / 5)


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