Cómo resolver ecuaciones exponenciales
Preguntas con soluciones detalladas

¿Cómo resolver ecuaciones exponenciales? Preguntas con soluciones detalladas para el grado 12.

En lo que sigue, las ecuaciones exponenciales se resuelven analíticamente usando el poderoso método de sustitución y las reglas de funciones exponenciales y logarítmicas. Las mismas ecuaciones también se resuelven gráficamente.

Para resolver gráficamente una ecuación de la forma f(x) = g(x), la reescribimos de manera que el lado derecho sea igual a cero de la siguiente manera:
f(x) - g (x) = 0. Luego graficamos el el lado izquierdo de la ecuación f(x) - g(x) e las soluciones de la ecuación dada están representadas por las x interceptaciones del gráfico.




Práctica gratuita para los exámenes SAT, ACT
y Compass Math

  1. Resuelve la ecuación:

    ejemplo de ecuación 1



    Solución
    Tenga en cuenta que 27, 9 y 3 pueden escribirse como potencias de 3 de la siguiente manera:

    27 = 33 , 9 = 32 e 3 = 31

    Usando lo anterior y también la fórmula \( \dfrac{1}{x^n} = x^{-n} \), reescribimos la ecuación dada de la siguiente manera:

    (33)2x (3-2)x - 2 = (32)-x (3-1)2 - x

    Ahora usamos la fórmula (xm)n = x m n para reescribir la ecuación anterior de la siguiente manera.

    36x 3-2x + 4 = 3-2x 3- 2 + x

    Usa la fórmula xm xn = xm + n para reescribir la ecuación de la siguiente manera

    36x- 2x + 4 = 3- 2x - 2 + x

    Simplifique los exponentes para obtener

    34x + 4 = 3- x - 2

    Usamos el hecho de que una función exponencial de la forma a x es una función uno a uno, lo que significa que si 3 m = 3 n , luego m = n para escribir una ecuación algebraica usando la ecuación anterior:

    4x + 4 = - x - 2

    Resuelve lo anterior para x para obtener la solución de la ecuación dada.

    5x = - 6 da la Solución x = - 6 / 5 = - 1.2

    A continuación se muestra el gráfico del lado izquierdo de la ecuación dada cuando se escribe con el lado derecho igual a cero de la siguiente manera: \( 27^{2x} \left( \dfrac{1}{9} \right)^{x-2} - 9^{-x} \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2-x} = 0 \). La intersección x es una aproximación a la solución analítica que se encuentra arriba. Verifique que estén cerca de su valor.

    pregunta de solución gráfica 1.


  2. Encuentra las soluciones a la ecuación $$ \sqrt{16^x} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{x^2-1} $$

    Solución

    Tenga en cuenta que √(16x) = (16x)1/2 = 16(1/2)x y usarlo para reescribir la ecuación dada como

    16(1/2)x = (1/2)x2-1

    Nota that 1/2 = 2-1 and 16 = 24 y usarlo para reescribir la ecuación anterior como

    (24)(1/2)x = (2-1)x2-1

    Usa la fórmula (xm)n = x m n para reescribir la ecuación anterior como

    22x = 2-x2 + 1

    Usamos el hecho de que una función exponencial de la forma ax es una función uno a uno para escribir.

    2x = - x2 + 1

    Reescribe en forma estándar y resuelve la ecuación cuadrática anterior.

    x2 + 2x - 1 = 0

    Δ = 22 - 4 (1)(-1) = 8

    Dos soluciones: x1 = - 1 - √ 2 ≈ -2.41 and x2 = - 1 + √ 2 ≈ 0.41

    El gráfico del lado izquierdo de la ecuación dada cuando se escribe con el lado derecho igual a cero de la siguiente manera: \( \sqrt{16^x} - \left( \dfrac{1}{2} \right)^{x^2-1} = 0 \) se muestra a continuación. Las intersecciones en x son aproximaciones a las soluciones analíticas de soluciones que se encuentran arriba. Verifique que tengan valores cercanos.

    pregunta de solución gráfica 2.


  3. ¿Cuáles son las soluciones a la ecuación? $$ 2^x - 6 \cdot 2^{-x} = 6 ? $$

    Solución

    Dejar u = 2x que también da 1/u = 2- x y reescribir la ecuación en términos de u.

    u - 6/u = 6

    u no puedes ser cero (porque 2x no puede ser menor o igual a cero), por lo tanto, multiplicamos todos los términos de la ecuación anterior por uy simplificamos

    u(u - 6/u) = 6 u

    u2 - 6 = 6 u

    u2 - 6 u - 6 = 0

    Resuelve para u

    Δ = (-6)2 - 4(1)(-6) = 60

    Dos soluciones: u1 = 3 + √15 e u2 = 3 - √15

    Ahora resolvemos x utilizando la sustitución anterior u = 2x.

    Primera ecuación: 2x = 3 + √15

    ln(2x) = ln(3 + √15)

    x ln(2) = ln(3 + √15)

    Solución: x = ln(3 + √15) / ln 2 ≈ 2.78

    Segunda ecuación: 2x = 3 - √15 no tiene solución porque 3 - √15 es menor que cero.

    A continuación se muestra el gráfico del lado izquierdo de la ecuación dada cuando se escribe con el lado derecho igual a cero de la siguiente manera: \( 2^x - 6 \cdot 2^{-x} - 6 = 0 \). La intersección x es una aproximación a la solución de la solución analítica encontrada arriba.

    pregunta de solución gráfica 3.


  4. Encuentra las soluciones a la ecuación $$ 5^{x+1} = 100 \cdot 3^x . $$

    Solución

    Tome el logaritmo natural (ln) de ambos lados

    ln (5x + 1) = ln (100 ⋅ 3x )

    Use reglas de registro para simplificar.

    (x + 1) ln 5 = ln 100 + x ln 3

    Expande los términos del lado izquierdo y del grupo con x.

    x ln 5 + ln 5 = ln 100 + x ln 3

    x (ln 5 - ln 3) = ln 100 - ln 5

    x = (ln 100 - ln 5) / (ln 5 - ln 3) ≈ 5.86

    A continuación se muestra el gráfico del lado izquierdo de la ecuación dada cuando se escribe con el lado derecho igual a cero de la siguiente manera: \( 5^{x+1} - 100 \cdot 3^x = 0 \). La intersección x es una aproximación a la solución de la solución analítica encontrada arriba.

    pregunta de solución gráfica 4.


  5. Resuelve la ecuación: $$ \dfrac{e^x-e^{-x}}{2} = 3 $$

    Solución

    Dejar u = ex que también da 1/u = e- x y reescribir la ecuación en u. (u = ex no puede ser menor o igual a cero)

    (u - 1/u) / 2 = 3

    Multiplica ambos lados por 2 y simplifica

    u - 1 / u = 6

    Multiplica ambos lados por ti y simplifica

    u2 - 1 = 6 u

    u2 - 6u - 1 = 0

    Resuelve para u

    Δ = (-6)2 - 4(1)(-1) = 40

    Two solutions: u1 = 3 + √10 and u2 = 3 - √10

    Ahora resolvemos x utilizando la sustitución anterior u = ex.

    Primera ecuación: ex = 3 + √10

    ln(ex) = ln(3 + √10)

    Solución: x = ln(3 + √10) ≈ 1.82

    Segunda ecuación: ex = 3 - √10 no tiene solución porque 3 - √10 es menor que cero.

    A continuación se muestra el gráfico del lado izquierdo de la ecuación dada cuando se escribe con el lado derecho igual a cero de la siguiente manera: \( \dfrac{e^x-e^{-x}}{2} - 3 = 0 \). La intersección x es una aproximación a la solución de la solución analítica encontrada arriba.

    pregunta de solución gráfica 5.


  6. ¿Cuáles son las soluciones a la ecuación? $$ 3^{2-3x} = 4^{2x+1} \,\,?$$

    Solución

    Tome el logaritmo natural (ln) de ambos lados

    ln (32 - 3x) = ln (42x + 1)

    Usa reglas de registro para simplificar.

    (2 - 3x) ln 3 = (2x + 1) ln 4

    Expande ambos lados de la ecuación y agrupa los términos con x.

    2 ln 3 - 3 x ln 3 = 2 x ln 4 + ln 4

    x (-3 ln 3 - 2 ln 4) = ln 4 - 2 ln 3

    x = (2 ln 3 - ln 4) / (3 ln 3 + 2 ln 4) ≈ 0.13

    A continuación se muestra el gráfico del lado izquierdo de la ecuación dada cuando se escribe con el lado derecho igual a cero de la siguiente manera: \( 3^{2-3x} - 4^{2x+1} = 0 \). La intersección x es una aproximación a la solución de la solución analítica encontrada arriba.

    pregunta de solución gráfica 6.


  7. Resuelve para x la ecuación: $$ 9^x −3^{x+1} + 2 = 0 $$

    Solución

    Tenga en cuenta que

    9x = (32)x = 32 x = (3x)2

    Reescribe la ecuación dada usando 9x = (3x)2 e 3x + 1 = 3⋅3x

    (3x)2 - 3⋅3x + 2 = 0

    Dejar u = 3x y reescribir la ecuación en u.

    u2 - 3 u + 2 = 0

    Resuelve para u factorizando

    (u - 2)(u - 1) = 0

    Dos soluciones: u1 = 2 and u2 = 1

    Ahora resolvemos x utilizando la sustitución anterior u = 3x.

    Primera ecuación: 3x = 2

    ln( 3x) = ln 2

    x ln 3 = ln 2

    Solución: x = ln 2 / ln 3 ≈ 0.63

    Segunda ecuación: 3x = 1 , solución x = 0.

    A continuación se muestra la gráfica del lado izquierdo de la ecuación dada. Las x interceptaciones son aproximaciones a las soluciones analíticas encontradas anteriormente.

    pregunta de solución gráfica 7.



Más Logaritmos y exponenciales preguntas con respuestas y soluciones

Más Matemáticas de secundaria (Grados 10, 11 y 12): preguntas gratuitas y problemas con respuestas

Más Matemáticas de la escuela intermedia (Grados 6, 7, 8, 9): preguntas gratuitas y problemas con las respuestas

Más Matemáticas primarias (Grados 4 y 5) con preguntas gratuitas y problemas con respuestas

Autor - correo electrónico

Página de inicio