Encontrar un polinomio dada su gráfica: Preguntas con soluciones

Paso 1: Identificar ceros y multiplicidades
La gráfica de la función cruza el eje x limpiamente en \( x = -1 \). Esto indica un cero de multiplicidad 1, correspondiente al factor \( (x + 1) \).
La gráfica toca el eje x y da la vuelta en \( x = 3 \). Esto indica un cero de multiplicidad 2 (forma parabólica), correspondiente al factor \( (x - 3)^2 \).

Paso 2: Configurar la ecuación
Basado en los factores, la función \( g \) tiene la forma general:
\[ g(x) = k(x + 1)(x - 3)^2 \] donde \( k \) es un multiplicador constante desconocido.

Paso 3: Resolver para \( k \)
Podemos encontrar \( k \) usando el punto marcado en la gráfica con coordenadas \( (1, 3) \):
\[ g(1) = k(1 + 1)(1 - 3)^2 = 3 \] \[ k(2)(-2)^2 = 3 \] \[ 8k = 3 \implies k = \dfrac{3}{8} \]

Conclusión:
La ecuación exacta para \( g(x) \) es:
\[ g(x) = \dfrac{3}{8}(x + 1)(x - 3)^2 \]

Paso 1: Identificar ceros y multiplicidades
Al analizar las intersecciones x, encontramos tres puntos de interacción claros:
* Un cruce directo en \( x = 2 \), lo que significa una multiplicidad de 1, dando el factor \( (x - 2) \).
* Un cruce directo en \( x = -2 \), lo que significa una multiplicidad de 1, dando el factor \( (x + 2) \).
* Un toque y vuelta en \( x = -1 \), lo que significa una multiplicidad de 2, dando el factor \( (x + 1)^2 \).

Paso 2: Configurar la ecuación
Multiplicar estos factores produce nuestro polinomio base de grado 4:
\[ f(x) = k(x - 2)(x + 2)(x + 1)^2 \] donde \( k \) es una constante.

Paso 3: Resolver para \( k \)
La gráfica revela una intersección y clara en \( (0, -1) \). Sustituye \( x = 0 \) e \( y = -1 \):
\[ f(0) = k(0 - 2)(0 + 2)(0 + 1)^2 = -1 \] \[ k(-2)(2)(1)^2 = -1 \] \[ -4k = -1 \implies k = \dfrac{1}{4} \]

Conclusión:
La ecuación es:
\[ f(x) = \dfrac{1}{4}(x - 2)(x + 2)(x + 1)^2 \]

Paso 1: Identificar ceros y multiplicidades
La gráfica tiene intersecciones x en \( x = 0 \) y \( x = \dfrac{5}{2} \). Debido a que la gráfica cruza el eje x en ambos puntos, ambos ceros deben tener una multiplicidad impar.
* En \( x = 0 \), la gráfica exhibe una forma de "S" aplanada o cúbica. Esto indica una multiplicidad de 3, produciendo el factor \( x^3 \).
* En \( x = \dfrac{5}{2} \), el cruce es directo y relativamente lineal, indicando una multiplicidad de 1, produciendo el factor \( \left(x - \dfrac{5}{2}\right) \).

Paso 2: Configurar la ecuación
Usando estas observaciones, escribimos la forma general:
\[ f(x) = k(x)^3 \left(x - \dfrac{5}{2}\right) \]

Paso 3: Resolver para \( k \)
Usamos el punto de referencia dado \( (2, -4) \) para encontrar \( k \):
\[ -4 = k(2)^3 \left(2 - \dfrac{5}{2}\right) \] \[ -4 = k(8) \left(-\dfrac{1}{2}\right) \] \[ -4 = -4k \implies k = 1 \]

Conclusión:
La ecuación del polinomio es:
\[ f(x) = x^3 \left(x - \dfrac{5}{2}\right) \]

Paso 1: Configurar la forma factorizada
El polinomio es de grado 3. La gráfica muestra un cero de multiplicidad 1 en \( x = -2 \) (factor: \( x + 2 \)), y un cero de multiplicidad 2 en \( x = 1 \) (factor: \( (x - 1)^2 \)).
\[ y = k(x + 2)(x - 1)^2 \]

Paso 2: Encontrar \( k \)
Usa la intersección y clara en \( (0, 1) \):
\[ 1 = k(0 + 2)(0 - 1)^2 \] \[ 1 = 2k \implies k = \dfrac{1}{2} = 0.5 \]

Paso 3: Expandir a la forma estándar
Ahora, expande el polinomio factorizado para revelar los coeficientes individuales:
\[ y = 0.5(x + 2)(x^2 - 2x + 1) \] \[ y = 0.5(x^3 - 2x^2 + x + 2x^2 - 4x + 2) \] \[ y = 0.5(x^3 - 3x + 2) \] \[ y = 0.5x^3 - 1.5x + 1 \]

Conclusión:
Comparando esto con \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \), deducimos:
\[ a = 0.5, \quad b = 0, \quad c = -1.5, \quad d = 1 \]

Paso 1: Aprovechar los conceptos de simetría
Dado que la gráfica es perfectamente simétrica respecto al eje y, la función debe ser una función par (donde \( f(x) = f(-x) \)).
Para que un polinomio sea una función par, solo puede contener potencias pares de \( x \). Los términos \( bx^3 \) y \( dx \) son funciones impares. Para que el polinomio general siga siendo par, sus coeficientes deben ser cero:
\[ b = 0, \quad d = 0 \]

Paso 2: Encontrar la constante \( e \)
El polinomio se simplifica a \( y = a x^4 + c x^2 + e \).
El coeficiente \( e \) representa la intersección y. Examinando la gráfica, la intersección y está claramente en \( (0, -2) \):
\[ -2 = a(0)^4 + c(0)^2 + e \] \[ e = -2 \]

Conclusión:
Los coeficientes requeridos son:
\[ b = 0, \quad d = 0, \quad e = -2 \]

Paso 1: Construcción de factores
* Cruza directamente en \( x = -2 \implies \) Multiplicidad 1: factor \( (x + 2) \).
* Tangente en \( x = 1 \implies \) Multiplicidad 2: factor \( (x - 1)^2 \).
* Tangente en \( x = 4 \implies \) Multiplicidad 2: factor \( (x - 4)^2 \).
(Verifica el grado: 1 + 2 + 2 = 5. Esto se alinea perfectamente con el grado establecido).

Paso 2: Configurar la ecuación
\[ P(x) = k(x + 2)(x - 1)^2(x - 4)^2 \]

Paso 3: Resolver para \( k \)
Usa la intersección y \( (0, -16) \):
\[ -16 = k(0 + 2)(0 - 1)^2(0 - 4)^2 \] \[ -16 = k(2)(-1)^2(-4)^2 \] \[ -16 = k(2)(1)(16) \] \[ -16 = 32k \implies k = -\dfrac{1}{2} \]

Conclusión:
\[ P(x) = -0.5(x + 2)(x - 1)^2(x - 4)^2 \]

Paso 1: Entender la simetría impar
Una función impar es simétrica respecto al origen (\( Q(-x) = -Q(x) \)). Esto significa que lo que sea que ocurra gráficamente en el eje x positivo debe reflejarse (diagonalmente) en el eje x negativo.
* Tangente en \( x = 2 \implies \) Tangente en \( x = -2 \).
* Pasa por el origen \( \implies \) Raíz en \( x = 0 \).

Paso 2: Construcción de factores (menor grado)
* Raíz en \( 0 \) cruzando \(\implies \) Multiplicidad 1: factor \( (x) \).
* Tangente en \( 2 \implies \) Multiplicidad 2: factor \( (x - 2)^2 \).
* Tangente en \( -2 \implies \) Multiplicidad 2: factor \( (x + 2)^2 \).
(El menor grado es 1 + 2 + 2 = 5).

Paso 3: Resolver para \( k \)
\[ Q(x) = k(x)(x - 2)^2(x + 2)^2 \]
Usa el punto \( (1, -9) \):
\[ -9 = k(1)(1 - 2)^2(1 + 2)^2 \] \[ -9 = k(1)(-1)^2(3)^2 \] \[ -9 = k(1)(1)(9) \] \[ 9k = -9 \implies k = -1 \]

Conclusión:
\[ Q(x) = -x(x - 2)^2(x + 2)^2 \]

Paso 1: Traducir forma a multiplicidad
* Toque parabólico en \( x = -3 \implies \) Multiplicidad par. Menor grado = 2. Factor: \( (x + 3)^2 \).
* Cruce en línea recta en \( x = 2 \implies \) Multiplicidad 1. Factor: \( (x - 2) \).
* Cruce con forma "S" plana en \( x = 5 \implies \) Multiplicidad impar mayor que 1. Menor grado = 3. Factor: \( (x - 5)^3 \).

Paso 2: Configurar la ecuación
Multiplicar estos factores crea un polinomio de sexto grado:
\[ H(x) = k(x + 3)^2(x - 2)(x - 5)^3 \]

Paso 3: Resolver para \( k \)
Sustituye el punto \( (3, -72) \):
\[ -72 = k(3 + 3)^2(3 - 2)(3 - 5)^3 \] \[ -72 = k(6)^2(1)(-2)^3 \] \[ -72 = k(36)(-8) \] \[ -72 = -288k \]
\[ k = \dfrac{-72}{-288} = \dfrac{1}{4} \]

Conclusión:
\[ H(x) = 0.25(x + 3)^2(x - 2)(x - 5)^3 \]