Encuentre una función sinusoidal dado su gráfico

Cómo encontrar la ecuación de una función sinusoidal de la forma y = a sin(b(x - d)) + c o y = a cos(b(x - d)) + c dado su gráfico.


Encuentre una función sinusoidal para cada uno de los gráficos a continuación


  1. Gráfico de y = sec (2x - pi/3)


    Solución

    El escalado a lo largo del eje y es una unidad para una división grande y, por lo tanto, el valor máximo de y: y max = 1 y el valor mínimo de y: y min = - 7. La escala a lo largo del eje x es π para una gran división y π/5 para una pequeña división.

    Los puntos A y B marcan el inicio y el final de un período P que es igual a 5 π. Estos puntos son útiles porque son puntos máximos con coordenadas claras.

    Puesto que A y B son puntos máximos, es más fácil para escribir una ecuación para la gráfica como
    y = A cos[b(x - d)] + c suponiendo que originalmente es cos(x), cos que se inicia con un máximo a x = 0, que se transforma por desplazamiento vertical y horizontal (traducción) y Vertical y Horizontal extensión/shringking.


    Vamos a calcular a, y c.


    | a | = (y max - y min ) = (1 - (-7)) / 2 = 4. Lo que da dos posibles valores para a: a = 4 o a = - 4

    El gráfico entre A y B no tiene reflejo en comparación con el período de cos (x) entre 0 y 2 π y, por lo tanto, podemos tomar a = 4.

    c = (y max + y min ) = (1 + (-7)) / 2 = - 3

    Período: P = 2 π / | b | = 5 & pi;

    resuelve lo anterior para | b | para obtener: | b | = 2/5.

    Nuevamente aquí tenemos dos valores posibles para b: b = 2/5 yb = -2/5. Tomamos b = 2/5 para facilitar nuestros cálculos para d.

    Ahora escribimos la función para el gráfico de la siguiente manera:

    y = 4 cos[ (2/5)(x - d) ] - 3

    d indica el cambio. El cambio se determina comparando las gráficas de y = 4 cos[(2/5)(x)] - 3 (nota d = 0) y el gráfico dado. Observamos que el desplazamiento (coordenada x del punto A) d = - π/5 del gráfico (una división pequeña a la izquierda). Por lo tanto, la ecuación del gráfico es:

    y = 4 cos[ (2/5)(x - (-π/5) ] - 3 = 4 cos[ (2/5)(x + π/5) ] - 3


    Ahora comprobamos que la función encontrada corresponde al gráfico dado al verificar algunos puntos.

    Punto A: x = - π/5; evaluar y en este valor de x.

    y( - π/5)= 4 cos[ (2/5)( - π/5 + π/5) ] - 3 = 4 cos[ (2/5)( 0 ) ] - 3 = 1 que corresponde al valor en el gráfico.

    Punto B: x = 4π + 4 π/5 = 24π/5 ( 4 pequeña división después 4π)

    y( 24π/5 )= 4 cos[ (2/5)( 24π/5 + π/5) ] - 3 = 4 cos[ (2/5)( 25π/5) ] - 3 = 4 cos[ (2/5)( 5π) ] - 3 = 4 cos[ (2π) ] - 3 = 1

    que corresponde al valor en el gráfico.


  2. Gráfico de y = sec(2x - π/3)


    Solución

    Valor máximo de y: y max = 0.2 e el valor mínimo de y: y min = - 1.4 (una división grande a lo largo del eje y es igual a 1 unidad. pequeña división es 1/5 = 0.2). La escala a lo largo del eje x es π para una gran división y π/5 para una pequeña división.

    Los puntos A y B marcan el inicio y el final de un período P que es igual a 4π. Las coordenadas de los puntos A y B son: A(π/2, 0.2), B (9π/2, 0.2).

    El gráfico entre A y B se puede suponer que de un cos(x) que se ha transformado. Por lo tanto, una posible ecuación para el gráfico dado es: y = a cos[b(x - d)] + c.

    Vamos a calcular a y c.


    |a| = (ymax - ymin) = (0.2 - (-1.4)) / 2 = 0.8. Lo que da dos valores posibles para a: a = 0.8 or a = - 0.8

    El período entre A y B no tiene reflejo cuando se compara con el período de cos (x) entre 0 y 2π y, por lo tanto, podemos tomar a = 0.8.

    c = (ymax + ymin) = (0.2 + (-1.4)) / 2 = - 0.6

    Período: P = 2π / |b|= 4π

    resolver por | b | para obtener: | b | = 1/2. Nuevamente aquí tenemos dos valores posibles para b: b = 1/2 e b = - 1/2. Tomamos b = 1/2 para facilitar nuestros cálculos para d.

    Ahora escribimos la función para el gráfico de la siguiente manera:

    y = 0.8 cos[ (1/2)(x - d) ] - 0.6

    d indica el cambio. El cambio se determina al comparar los gráficos de y = 0.8 cos[(1/2)(x)] - 0.6 (nota d = 0) y el gráfico dado. Observamos que el desplazamiento (coordenada x del punto A) d = π/2 del gráfico (una mitad de una división grande a la derecha). Por lo tanto, la ecuación de la gráfica es:

    y = 0.8 cos[ (1/2)(x - π/2) ] - 0.6


    Ahora comprobamos que la función encontrada corresponde al gráfico dado al verificar algunos puntos.

    Punto A: x = π/2; evaluar y en este valor de x.

    y(π/2)= 0.8 cos[ (1/2)(π/2 - π/2) ] - 0.6 = 0.8 cos (0) - 0.6 = 0.2 , que corresponde al valor en el gráfico.

    Punto B: x = 4π + π/2 = 9π/2 ( media gran división después 4π)

    y( 9π/2 )= 0.8 cos[ (1/2)(9π/2 - π/2) ] - 0.6 = 0.8 cos (2π) - 0.6 = 0.2

    que es igual al valor en el gráfico.


  3. Gráfico de y = sec(2x - π/3)


    Solución

    Valor máximo de y: y max = 0 y el valor mínimo de y: y min = - 2 (una gran división a lo largo del eje y es igual a 1 unidad). La escala a lo largo del eje x es 1 unidad para una división grande e 1/5 = 0.2 para una división pequeña

    Los puntos A y B marcan el inicio y el final de un período P que se calcula de la siguiente manera: P = 2.6 - 0.6 = 2. Las coordenadas de los puntos A y B son: A(0.6 , 0 ) , B(2.6 , 0).

    El gráfico entre A y B se puede suponer que de un sin(x) eso ha sido transformado Por lo tanto, una posible ecuación para el gráfico dado es: y = a sin[b(x - d)] + c.

    Vamos a calcular a y c.


    |a| = (ymax - ymin) = (0 - (-2)) / 2 = 1. Dos valores posibles para a: a = 1 or a = - 1

    El período entre A y B no tiene reflejo cuando se compara con el período de sin(x) entre 0 y 2π e podemos tomar a = 1.

    c = (ymax + ymin) = (0 + (-2)) / 2 = - 1

    Período: P = 2π / |b|= 2;

    resolver por | b | para obtener: | b | = π. Nuevamente, aquí tenemos dos valores posibles para b: b = π e b = - π. Tomamos b = π para hacer nuestros cálculos para d más simple.

    Ahora escribimos la función de la siguiente manera:

    y = sin[ π(x - d) ] - 1

    d indica el cambio. El cambio se determina comparando los gráficos de y = sin[π(x)] - 1 (nota d = 0) y el gráfico dado. Observamos el desplazamiento (coordenada x de A) d = 0.6 del gráfico; cambiar a la derecha. Por lo tanto, la ecuación de la gráfica es:

    y = sin[ π (x - 0.6) ] - 1 = sin[ π(x - 3/5) ] - 1


    Ahora comprobamos que la función encontrada corresponde al gráfico dado al verificar algunos puntos.

    Punto A: x = 0.6; evaluar y en este valor de x.

    y( 0.6)= sin[ π(0.6 - 3/5) ] - 1 = sin[ π(0) ] - 1 = -1 , que corresponde al valor en el gráfico.

    Punto B: x = 1.6

    y( 1.6)= sin[ π(1.6 - 3/5) ] - 1 = sin(π) - 1 = -1 , que corresponde al valor en el gráfico.

    Comprobar los valores en A y B no es suficiente porque darían los mismos valores si se usara la función - sin[πx - 3π/5)] - 1. Necesitamos verificar un máximo o un mínimo al lado de A y B. El primer punto máximo después del punto A está en x = 1 + (1/2) 0.2 = 1.1

    y( 1.1)= sin[ π(1.1 - 3/5) ] - 1 = sin (0.5 π) - 1 = 0 , que corresponde al valor en el gráfico.


  4. Gráfico de y = sec(2x - π/3)


    Solución

    Valor máximo de y: y max = -1 y el valor mínimo de y: y min = - 3 (una gran división a lo largo del eje y es igual a 1 unidad. Una pequeña división es 1/5 = 0.2). La escala a lo largo del eje x es π/5 para una división grande y π/25 para una división pequeña.

    Los puntos A y B marcan el inicio y el final de un período P que es igual a 8π/5 - 3π/5 = π. Las coordenadas de los puntos A y B son: A (3π/5, - 1), B (8π/5, - 1).

    El período entre A y B se puede considerar como el de un cos (x) que se ha transformado. Por lo tanto, una posible ecuación para el gráfico dado es:
    y = a cos[ b(x - d) ] + c.

    Vamos a calcular a, and c.


    |a| = (ymax - ymin) = (-1 - (-3)) / 2 = 1. De ahí dos valores posibles para a: a = 1 or a = - 1 .

    El período entre A y B no tiene reflejo cuando se compara con el período de cos(x) entre 0 y 2π y podemos tomar a = 1.

    c = (ymax + ymin) = (-1 + (-3)) / 2 = - 2

    Período: P = 2π/|b|= π

    resolver por | b | para obtener: | b | = 2. Dos valores posibles para b: b = 2 y b = - 2. Tomamos b = 2 para facilitar nuestros cálculos para d.

    Ahora escribimos la función para el gráfico de la siguiente manera:

    y = cos[ 2(x - d) ] - 2

    La coordenada x del punto A indica el desplazamiento d que se determina comparando los gráficos de y = cos[2(x)] - 2 (nota d = 0) y el gráfico dado. Observamos que d = 3π/5 en el gráfico. Por lo tanto, la ecuación del gráfico es:

    y = cos[ 2(x - 3π/5) ] - 2


    Ahora comprobamos que la función encontrada corresponde al gráfico dado al verificar algunos puntos.

    Punto A: x = 3π/5 evaluar y en este valor de x.

    y( 3π/5 )= cos[ 2(3π/5 - 3π/5) ] - 2 = cos(0) - 2 = - 1 , que corresponde al valor en el gráfico.

    Punto B: x = 8π/5

    y( 8π/5 )= cos[ 2(8π/5 - 3π/5) ] - 2 = cos (2π) - 2 = - 1

    que es igual al valor en el gráfico.


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