Cómo hacer una tabla de signos para polinomios

1. Encuentra los ceros:
Primero encontramos los ceros de la función polinómica $p(x)$ igualándola a cero:

$$ (x - 1)^2 (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) = 0 $$

Para que $p(x) = 0$, necesitamos tener:

$$ (x - 1)^2 = 0 \quad \text{o} \quad (x - \sqrt{3}) = 0 \quad \text{o} \quad (x + \sqrt{3}) = 0 $$

Resuelve cada ecuación para obtener los ceros de $p(x)$:

$$ x = 1 \text{ (con multiplicidad 2)}, \quad x = \sqrt{3}, \quad \text{y} \quad x = -\sqrt{3} $$

2. Analiza los factores:
Con la ayuda de la forma factorizada y sus ceros, estudiamos el signo de cada factor:

• $(x - 1)^2$ es siempre positivo para todo $x$ excepto en $x = 1$.
• $x - \sqrt{3} > 0$ para $x > \sqrt{3}$.
• $x + \sqrt{3} > 0$ para $x > -\sqrt{3}$.

3. Construye la tabla de signos:
Ponemos cada factor en la tabla y usamos las reglas de multiplicación de signos para completar el signo para $p(x)$.

4. Bosqueja la gráfica:
Usamos los ceros de $p(x)$ (que actúan como interceptos en x), la tabla de signos y el intercepto en y $(0, -3)$ para completar la gráfica.

1. Escribe los factores:
Primero escribimos los factores del polinomio $f$ junto con sus respectivas multiplicidades:

• Cero de multiplicidad 1 en $x = -1 \implies \text{factor: } (x + 1)$
• Cero de multiplicidad 3 en $x = 1 \implies \text{factor: } (x - 1)^3$
• Cero de multiplicidad 2 en $x = 3 \implies \text{factor: } (x - 3)^2$

2. Formula la ecuación:
Sea $k$ (negativo) el coeficiente principal de $f$. Usando todos los factores anteriores, escribimos $f(x)$ como:

$$ f(x) = k(x + 1)(x - 1)^3(x - 3)^2 $$

3. Estudia los signos de los factores:

• $x + 1 > 0$ para $x > -1$
• $(x - 1)^3 > 0$ para $x > 1$
• $(x - 3)^2 > 0$ para todo $x$ excepto $x = 3$
• $k < 0$ significa que invertirá los signos finales del producto.

4. Construye la tabla de signos:
A continuación se muestra la tabla de signos para cada factor y el polinomio final $f(x)$ en la fila inferior.

1. Factoriza el polinomio:
Primero, extrae el máximo común divisor, que es $-2x^3$:

$$ g(x) = -2x^3(x^2 - 4) $$

Ahora, factoriza la diferencia de cuadrados:

$$ g(x) = -2x^3(x - 2)(x + 2) $$

2. Encuentra los ceros:
Igualar $g(x) = 0$ nos da ceros en $x = 0$ (multiplicidad 3), $x = 2$ (multiplicidad 1), y $x = -2$ (multiplicidad 1). Estos dividen la recta numérica en cuatro intervalos: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$ y $(2, \infty)$.

3. Construye la tabla de signos:
Usa una matriz LaTeX para determinar el signo del polinomio general en los intervalos críticos.

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, \infty) \\ \hline -2x^3 & + & + & + & 0 & - & - & - \\ \hline x+2 & - & 0 & + & + & + & + & + \\ \hline x-2 & - & - & - & - & - & 0 & + \\ \hline g(x) & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline \end{array} $$

Conclusión:
Al observar la fila inferior de la tabla de signos, el polinomio $g(x)$ es positivo en los intervalos $\mathbf{(-\infty, -2) \cup (0, 2)}$.

1. Factoriza por agrupación:
Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos:

$$ h(x) = x^2(x - 3) - 4(x - 3) $$

Factoriza el binomio común $(x - 3)$:

$$ h(x) = (x^2 - 4)(x - 3) $$

Factoriza la diferencia de cuadrados:

$$ h(x) = (x - 2)(x + 2)(x - 3) $$

2. Encuentra ceros e intervalos:
Las raíces son $x = -2, 2, \text{ y } 3$. Dado que todas tienen una multiplicidad impar de 1, el signo alternará en cada raíz.

3. Construye la tabla de signos:

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 2) & 2 & (2, 3) & 3 & (3, \infty) \\ \hline x+2 & - & 0 & + & + & + & + & + \\ \hline x-2 & - & - & - & 0 & + & + & + \\ \hline x-3 & - & - & - & - & - & 0 & + \\ \hline h(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \end{array} $$

Conclusión:
Basado en la tabla, $h(x) < 0$ en los intervalos $\mathbf{(-\infty, -2) \cup (2, 3)}$.

1. Analiza cada factor:

• $x^2 + 1$: Esta es una cuadrática irreducible. Es estrictamente positiva ($>0$) para todos los números reales $x$.
• $x^4$: Esta es una potencia par. Es positiva para todo $x$, excepto en $x = 0$ donde es igual a 0.
• $(x - 5)^3$: Esta es una potencia impar. Es negativa cuando $x < 5$, cero en $x = 5$, y positiva cuando $x > 5$.

2. Construye la tabla de signos:
Colocamos los puntos críticos $x=0$ y $x=5$ en nuestros intervalos.

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 5) & 5 & (5, \infty) \\ \hline x^4 & + & 0 & + & + & + \\ \hline x^2+1 & + & + & + & + & + \\ \hline (x-5)^3 & - & - & - & 0 & + \\ \hline P(x) & - & 0 & - & 0 & + \\ \hline \end{array} $$

Conclusión:

• $P(x) < 0$ para $\mathbf{x \in (-\infty, 0) \cup (0, 5)}$
• $P(x) = 0$ en $\mathbf{x = 0}$ y $\mathbf{x = 5}$
• $P(x) > 0$ para $\mathbf{x \in (5, \infty)}$