Domina las matemáticas de 12º grado con esta guía paso a paso para crear tablas de signo para funciones polinómicas. Este recurso incluye preguntas prácticas desafiantes, soluciones detalladas e interpretaciones gráficas claras para ayudarte a comprender completamente el comportamiento de los polinomios.
Práctica gratuita para exámenes SAT, ACT
El polinomio p está dado por \[ p(x) = (x - 1)^2(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) \]
Elabora una tabla de signo de p y bosqueja una posible gráfica para \( p \).
Primero encontramos los ceros de la función polinómica \( p(x) \). \[ p(x) = (x - 1)^2 (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) = 0 \]
Para \( p(x) = 0 \), necesitamos que \[ (x - 1)^2 = 0 \quad \text{o} \quad (x - \sqrt{3}) = 0 \quad \text{o} \quad (x + \sqrt{3}) = 0 \] Resolvemos cada una de las ecuaciones anteriores para obtener los ceros de \( p(x) \). \[ x = 1 \;\; \text{(con multiplicidad 2)}, \quad x = \sqrt{3}, \quad \text{y} \quad x = -\sqrt{3} \]
c) Con la ayuda de la forma factorizada de \( p(x) \) y sus ceros encontrados anteriormente, ahora hacemos una tabla de signos usando:
\( (x - 1)^2 \) es positivo para todo \( x \) excepto en \( x = 1 \)
\( x - \sqrt{3} > 0 \) para \( x > \sqrt{3} \)
\( x + \sqrt{3} > 0 \) para \( x > -\sqrt{3} \)
Colocamos cada factor en la tabla y usamos las reglas de multiplicación de signos para completar el signo de p como se muestra a continuación.
Usamos los ceros de \( p(x) \), que gráficamente se muestran como intersecciones en x, la tabla de signos y la intersección en y \( (0, -3) \) para completar la gráfica como se muestra a continuación.
\( f(x) \) es un polinomio de grado seis con un coeficiente principal negativo \( k \). \( f \) tiene un cero de multiplicidad 1 en \( x = -1 \), un cero de multiplicidad 3 en \( x = 1 \), y un cero de multiplicidad 2 en \( x = 3 \). Elabora una tabla de signos para el polinomio \( f \).
Primero escribimos los factores del polinomio \( f \) con sus multiplicidades.
Cero de multiplicidad 1 en \( x = -1 \): factor: \( x + 1 \)
Cero de multiplicidad 3 en \( x = 1 \): factor: \( (x - 1)^3 \)
Cero de multiplicidad 2 en \( x = 3 \): factor: \( (x - 3)^2 \)
Sea \( k \) (negativo) el coeficiente principal de \( f \). Usando todos los factores anteriores, escribimos \( f(x) \) como \[ f(x) = k(x + 1)(x - 1)^3(x - 3)^2 \]
Primero estudiamos el signo de los diferentes factores de \( f \).
\( x + 1 > 0 \) para \( x > -1 \)
\( (x - 1)^3 > 0 \) para \( x > 1 \)
\( (x - 3)^2 > 0 \) para todo \( x \) excepto \( x = 3 \)
A continuación se muestra la tabla de signos de cada factor y del polinomio f(x) en la última fila.
