Resuelva ecuaciones que incluyen funciones trigonométricas inversas

¿Cómo resolver ecuaciones que involucran funciones trigonométricas inversas? Las preguntas para el grado 12 se presentan junto con soluciones detalladas. Las soluciones a las ecuaciones también se controlan gráficamente..

  1. Resuelve para x la ecuación: 3 arcsin(x) = π / 2.

    Solución

    Divida ambos lados de la ecuación por 3.

    arcsin(x) = (π / 2) / 3

    arcsin(x) = π / 6

    Aplicar la función seno a ambos lados y simplificar.

    sin(arcsin(x)) = sin(π / 6)

    Lo anterior simplifica a

    x = 1 / 2

    Debido al dominio de arcsin (x), necesitamos verificar que la solución obtenida sea válida.

    x = 1 / 2

    Lado derecho de la ecuación: 3 arcsin(1 / 2) = 3 (π6) = π / 2.

    Lado izquierdo de la ecuación: π / 2.

    La solución a la ecuación anterior es: x = 1 / 2.

    La aproximación gráfica a la solución a la ecuación dada se muestra a continuación. La coordenada x del punto de intersección de los gráficos formados por el lado izquierdo y el derecho de la ecuación dada es 0.5, que es la solución que se encuentra analíticamente.

    solución gráfica a la ecuación en cuestión 1.


  2. Resuelve para x la ecuación: 6 cot(arccos(x)) = 4.

    Solución

    Divide both sides of the given equation by 6 and simplify.

    cot(arccos(x)) = 2 / 3

    Dejar

    A = arccos(x)

    y aplicar la función del coseno a ambos lados para obtener.

    cos(A) = cos(arccos(x)) = x

    Usando la definición de A arriba, la ecuación puede escribirse como.

    cot(A) = 2 / 3

    Usa cot(A) = 2/3 para construir un triángulo rectángulo y encontrar cos(A). Encuentre hipotenusa h primero.

    triángulo rectángulo en la pregunta 2.



    h = √(13)

    Ahora usamos el mismo triángulo que se muestra arriba para encontrar cos (A).

    x = cos(A) = 2 / √(13) ≈ 0.55

    La aproximación gráfica a la solución a la ecuación dada se muestra a continuación.

    solución gráfica a la ecuación en cuestión 2.


  3. Resuelve para x la ecuación: arcsin(x) = arccos(x).

    Solución

    Aplicar función seno a ambos lados.

    sin(arcsin(x)) = sin(arccos(x))

    Simplifique el lado izquierdo usando la identidad sin(arcsin (A)) = A.

    x = sin(arccos(x))

    dejar A = arccos(x)

    cos A = x

    sin(arccos(x)) = sin (A) = ~+mn~ √ (1 - x 2)

    Usa lo anterior para reescribir la ecuación dada en forma algebraica.

    x = ~+mn~ √ (1 - x 2)

    Cuadrado ambos lados.

    x 2 = (1 - x 2)

    2 x 2 = 1

    x = ~+mn~ 1 / √(2)

    Debido al dominio de la función arccos y también al cuadrado de ambos lados de la ecuación, necesitamos verificar las soluciones y eliminar las inválidas (extrañas).

    1) x = 1 / √(2)

    lado izquierdo: arcsin( 1 / √(2) ) = π / 4

    lado derecho: arccos( 1 / √(2) ) = π / 4

    x = 1 / √(2)     es una solución a la ecuación dada.

    2) x = - 1 / √(2)

    lado izquierdo: arcsin( - 1 / √(2) ) = - π / 4

    lado derecho: arccos( - 1 / √(2) ) = 3 &pi / 4

    x = - 1 / √(2)       no es una solución a la ecuación dada.

    La aproximación gráfica a la solución a la ecuación dada se muestra a continuación. La coordenada x del punto de intersección 0.71 está cerca de 1/√2.

    solución gráfica a la ecuación en cuestión 3.


  4. Resuelve para x la ecuación: arccos(x) = arcsin(x) + π / 2.

    Solución

    Aplicar la función del coseno a ambos lados.

    cos(arccos(x)) = cos( arcsin(x) + π / 2 )

    Simplifique el lado izquierdo usando la identidad cos(arccos(A)) = A.

    x = cos( arcsin(x) + π / 2 )

    Expande el lado derecho usando la identidad: cos(a + b) = cos(a).cos(b) - sin(a)sin(b).

    x = cos( arcsin(x)) cos(π / 2) - sin( arcsin(x)) sin(π / 2)

    Utilizar cos(π / 2) = 0 , sin( arcsin(x)) = x e sin(π / 2) = 1 para simplificar el lado derecho de la ecuación.

    x = - x

    2 x = 0

    x = 0

    Verificar la solución encontrada.

    Lado izquierdo: arccos(0) = π / 2

    Lado derecho: arcsin(0) + π / 2 = π / 2

    x = 0 es una solución a la ecuación dada

    La aproximación gráfica a la solución a la ecuación dada se muestra a continuación. La coordenada x del punto de intersección es igual a 0 exactamente como el valor calculado analíticamente arriba.

    solución gráfica a la ecuación en cuestión 4.


  5. Resuelve para x la ecuación: arccos(2x) = π/3 + arccos(x).

    Solución

    Aplicar la función del coseno a ambos lados.

    cos(arccos(2x)) = cos(π/3+ arccos(x))

    Simplifique el lado izquierdo usando la identidad cos(arccos (A)) = A e expanda el lado derecho usando la identidad: cos(a + b) = cos(a).cos(b) - sin(a)sin(b).

    lado izquierdo: cos(arccos(2x)) = 2 x

    lado derecho: cos(π/3+ arccos(x)) = cos(π/3)cos(arcos(x)) - sin(π/3)sin(arccos(x))

    = cos(π/3)x - sin(π/3)sin(arccos(x))

    Volver a escribir sin(arccos(x)) y el lado derecho de la ecuación como una expresión algebraica.

    dejar A = arccos(x) ,

    cos(A) = cos(cos(x)) = x

    sin(arcos(x)) = sin(A) = ~+mn~ √ (1 - cos 2A) = ~+mn~ √ (1 - x 2)

    lado derecho: cos(π/3) x ~+mn~ sin(π/3)√ (1 - x 2)

    Utilizar cos(π/3) = 1 / 2 and sin(π/3) = √3 / 2 e reescribe la ecuación usando expresiones algebraicas.

    2 x = x / 2 ~+mn~ √3 / 2√ (1 - x 2)

    Reescribe la ecuación con radical en el lado derecho.

    3 x / 2 = ~+mn~ (√3 / 2) √ (1 - x 2)

    Cuadre ambos lados de la ecuación y simplifique.

    9 x 2 / 4 = [ ~+mn~ (√3 / 2)√ (1 - x 2) ] 2

    9 x 2 / 4 = (3 / 4)(1 - x 2)

    Solución para x.

    12 x 2 / 4 = 3 / 4

    x 2 = 1 / 4

    x = ~+mn~ 1 / 2

    Debido al dominio de la función arccos y también al cuadrado de ambos lados de la ecuación, necesitamos verificar las soluciones y eliminar las inválidas (extrañas).

    1) x = 1 / 2

    lado izquierdo: cos(arccos(2x)) = cos(arccos(2(1/2))) = cos(arccos(1)) = 0

    lado derecho: π/3 + arccos(x) = π/3+ arccos(1 / 2) = π/3 + π/3 = 2 π/3

    x = 1 / 2       no es una solución a la ecuación dada.

    2) x = - 1 / 2

    lado izquierdo: cos(arccos(2x)) = cos(arccos(2( - 1/2))) = cos(arccos( - 1)) = π

    lado derecho: π/3 + arccos(x) = π/3+ arccos(- 1 / 2) = π/3 + 2 π/3 = π

    x = - 1 / 2       es una solución a la ecuación dada.

    La aproximación gráfica a la solución a la ecuación dada se muestra a continuación. El punto de intersección tiene una coordenada x igual a -0.5 que es exactamente la solución que se encuentra analíticamente.

    solución gráfica a la ecuación en cuestión 5.



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